1、1安徽省阜阳市第三中学 2018-2019 学年高二竞培中心下学期开学考试数学（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 ， ，则21Px1QxPQA B C D,0,20,12若复数 满足 ，则ziz2izA B C D3102123下列函数中，既是奇函数，又在 上单调递增的是0,A B C D2sinxy12xxysinyxcosyx4某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2015 年 1 月至2017 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图根据该折线
2、图，下列结论错误的是A年接待游客量逐年增加B各年的月接待游客量高峰期在 8 月C2015 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30 万人D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳5.九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为2A B 6863C D8246已知 的边 上有一点 满足 ，则 可表示为BCCADA B 134DA314C D 557已知双曲线 的中心为坐标原点，离心率为 ，点 在 上，则 的方32,
3、PC程为A B C D214xy2174xy214xy2147yx8由 的图象向左平移 个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长sin(6)3到原来的 2 倍后， 所得图象对应的函数解析式为A B 1sin(3)6yx12sin()6yxC D29抛物线 上有一动弦 ，中点为 ，且弦 的长度为 ，则点 的纵坐标的yxAMAB3M最小值为A B C D 18542110. 若实数 ， 满足不等式组 则 的取值范围是xy1500xy， 2zxyA B C D 5,35,35,11已知三棱锥 中， ， ， ， ，且二PAC2AB32PAB面角的大小为 ，则三棱锥 外接球的表面积为B150PA B C
4、 D10810112已知数列 满足 设 ， 为数列na123(2)3nnaa 4nbaS的前 项和若 （常数）， ，则 的最小值是nbnS*N3A B C D3294312318二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知 ，则 13a2loga14设 为第二象限角，若 ，则 = 1tn42cos15已知点 及圆 ，一光线从点 出发，经 轴上一点 反射(1,2)P2(3)()xyPxQ后与圆相切于点 ，则 的值为 T|PQT16已知函数 满足 ，则 的单调递减32()fab(1)()20fxf()f区间是三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17
5、（本小题满分 12 分）设 为数列 的前 项和，已知 ， nSna37a12nan（1）证明：数列 为等比数列；1（2）求数列 的通项公式，并判断 ， ， 是否成等差数列？n nS18 （本小题满分 12 分）在某市高中某学科竞赛中，某一个区 名考生的参赛成绩统计如图所示.40（1）求这 名考生的竞赛平均成绩 （同一组中数据用该组区间中点作代表） ；40x（2）由直方图可认为考生竞赛成绩 服正态分布 ，其中 ， 分别取考生的z2(,)N2平均成绩 和考生成绩的方差 ，那么该区 名考生成绩超过 分（含 分）x2s4084.1.8的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参
6、赛考生的成绩情况，现从全市参赛考4生中随机抽取 名考生，记成绩不超过 分的考生人数为 ，求 .（精确到484.1(3)P）0.1附： ， ； ，则2.75s2032(,)zN:， ；()68Pz(20.954P.40.81319 （本小题满分 12 分）如图甲，设正方形 的边长为 3，点 、 分别在 、 上，且满足ABCDEFABCD， 如图乙，将直角梯形 沿 折到 的位置，使得点2AEB2FAD1E在平面 上的射影 恰好在 上（1）证明： 平面 ；（2）求平面1 G1:F与平面 所成二面角的余弦值C120.（本小题满分 12 分）已知动圆 过定点 ，且与定直线 相切C(1,0)F1x（1）求
7、动圆圆心 的轨迹 的方程；E（2）过点 的任一条直线 与轨迹 交于不同的两点 ，试探究在 轴上是2,Ml ,PQx否存在定点 N（异于点 ） ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，QPNMN说明理由21.（本小题满分 12 分）已知函数 e .fxlnxa（1）若 e，求 的单调区间；（2）当 0a时，记 ()fx的最小值为 m，求a()fm的最大值ABCEF1A1DCBGEF图 甲 图 乙522.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 13fxaR（1）当 时，解不等式 ；2a1xf（2）设不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取值范13xfM,32a围6安徽省阜阳市第三中
8、学 2018-2019 学年高二竞培中心下学期开学考试试题数学（理科）参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C B C A D B A A A D C二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 14 15 16331043(1,3)三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 解：（1）证明： ， ， , 37a32a21 分 ， 12na2 分 ， 13 分， 112nna25 分 是首项为 ，公比为 的等比数列 na1a6 分（2）解：由（1）知， ，
9、 2nn7 分 ， na8 分 ， 1212nnnS9 分 ， 1210nnna710 分 . 2nSa11 分即 ， ， 成等差数列 n12 分18解：解：（1）由题意知：中间值 45565758595概率 0.10.10.20.30.10.1 ，.627.3x819 名考生的竞赛平均成绩 为 分.40x5（2）依题意 服从正态分布 ，其中 ，z2(,)N70.5x， ，.75D14.3 服从正态分布 ，z22(,)(70.5,1)而 ，(6984.0.6PzPz .1.884.)2竞赛成绩超过 分的人数估计为 人 人 15734.8（3）全市竞赛考生成绩不超过 分的概率 .4.0.1而 ，
10、(4,0.813)B: .44(.813PC.54912 分19 解：（1）在图甲中，易知 ，从而在图乙中有/AEDF，/AEDF平面 ， 平面 ，1C1C平面 1: 4 分（2）如图，在图乙中作 ,垂足为 ,GHEF OGFEDCB A8连接 ,由于 平面 ，则 ,1AH1GEBCF1AGE平面 ,则 ，图甲中有 ，EF1HH又 ，则 、 、 三点共线 设 的中点为 ,则 ,可证 ，CMMF，则 ，1B0又由 ，得， ，AE:1 610ABEG于是, ，40HG在 中, ， 1Rt 211H 8 分作 交 于点 ，则 /TBEFTC以点 为原点,分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴,建立如
11、图丙所示的空G1Axyz间直角坐标系，则 , , , ，(0)G(10)(2,0)(,2)则 , , 是平面 的一个法向量，3A1BEF易求得平面 的一个法向量 , 1EFD3n 10 分设平面 与平面 所成二面角为 ，可以看出， 为锐角，BC1，2cos|,|3nGA所以，平面 与平面 所成二面角的余弦值EF1为 12 分2312 分20 （1）解法 1：依题意动圆圆心 到定点 的距离，与到定直线 的距离相等，C(1,0)F1x1 分由抛物线的定义，可得动圆圆心 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线， (,)2 分其中 动圆圆心 的轨迹 的方程为 2pCE24yx3 分解法 2：设动圆圆心
12、，依题意： . ,xy2112 分化简得： ，即为动圆圆心 的轨迹 的方程 24CE3 分（2）解：假设存在点 满足题设条件0,Nx丙 图9由 可知，直线 与 的斜率互为相反数，即 QNMPPNQ0PNQk4 分直线 的斜率必存在且不为 ，设 , 0:2xmy5 分由 得 24yxm28y6 分由 ,得 或 202m7 分设 ，则 12(,)(,)PxyQ12124,8yy8 分由式得 ,1200PNQkxx120210xyx,即 12021yxy121012y消去 ，得 , , 204x9 分, 1220124yxy10 分, 12,012411 分存在点 使得 ,NQMPN12 分21 （
13、1）解：当 时， ， ()fx的定义域是 (0,) ae()(lnxfe1 分， 1()()x xfx2 分当 时， ；当 时， 0()0f()0f3 分所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ()fx,11,104 分（2）由（1）得 ()fx的定义域是 (0,)， 1()xfxea，令 ()gxea，则 1xge， )g在 0,上单调递增，5 分因为 ,0所以 ()， ，ae故存在 ，使得 00()xg 0,xa6 分当 0(,)时， ()x， 1()()0xfea， ()fx单调递减；当 x时， 0g， ， 单调递增；故 0时， ()fx取得最小值，即 , 000lnxmfex8
14、分由 0xea得 ， 00lnlxxeaea9 分令 ， ，则 ，lh1lnlhx当 (0,1)x时， ， 单调递增， n0xx10 分当 (,)时， ， 单调递减，lhlnhx11 分故 1x，即 a时， 取最大值 1，故 m lnxx12 分22 解：（1）当 时，原不等式可化为 ， 2a3123x1 分当 时， ，解得 ，所以 ； 13x23x0xx2 分当 时， ，解得 ，所以 ； 1123 分11当 时， ，解得 ，所以 2x3123x2xx4 分综上所述，当 时，不等式的解集为 a|01或5 分（2）不等式 可化为 ，13xfx33xa依题意不等式 在 上恒成立，a1,26 分所以 ，即 ，即 ， 313xx11ax8 分所以 ，解得 ，312a43a故所求实数 的取值范围是 a1,210 分12
