1、1第 9 讲 立体几何的综合问题1.设 , 是三个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,在命题“=m,n,且 ,则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ,n;m,n;n,m .可以填入的条件有 . 2.(2017 江苏南京一中质检)设 l 是一条直线, 是不同的平面,则在下面命题中,假命题是 . 如果 ,那么 内一定存在直线平行于 ;如果 不垂直于 ,那么 内一定不存在直线垂直于 ;如果 ,=l,那么 l;如果 ,l 与 , 都相交,那么 l 与 , 所成的角互余.3.以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把ABD 和ACD 折成互相垂直的两个平
2、面后,某学生得出下列四个结论:BDAC;BAC 是等边三角形;三棱锥 D-ABC 是正三棱锥;平面 ADC平面 ABC.其中正确的是 . 4.将一个真命题中的“平面”换成“直线”,“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题:垂直于同一平面的两直线平行;垂直于同一平面的两平面平行;平行于同一直线的两直线平行;平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是 . 5.(2017 江苏兴化中学调研)如图,在四面体 A-BCD 中,AD=BD,ABC=90,点 E,F 分别为棱 AB,AC 上的点,点G 为棱 AD 的中点,且平面 EFG平面 BCD.(1)求 ;E
3、FBC(2)求证:平面 EFD平面 ABC.26.(2017 江苏运河中学月考)如图,已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,BAD=60,Q 为 AD 的中点.(1)若 PA=PD,求证:平面 PQB平面 PAD;(2)点 M 在线段 PC 上,PM=tPC,试确定 t 的值,使 PA平面 MQB.7.(2017 江苏楚州中学月考)在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,点 D 是 BC 的中点,BC=BB 1.(1)求证:A 1C平面 AB1D;(2)试在棱 CC1上找一点 M,使 MBAB 1.3答案精解精析1.答案 或解析 由面面平行的性质定理可知,正确;当 n,m 时,因为
4、 n 和 m 在同一平面内,且没有公共点,所以 mn,故正确.2.答案 解析 如果 ,那么 与 一定相交,所以在 内一定存在直线平行于 ,正确;如果 不垂直于 , 又不同,那么 与 相交不垂直或者平行,所以 内一定不存在直线垂直于 ,正确;如果 ,=l,根据面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理,可以得到 l,正确;如果 ,l 与 , 都相交,当 l 与 , 的交线垂直时,l 与 , 所成的角互余;当直线 l 与, 的交线不垂直时,l 与 , 所成的角不互余,错误.综上,填.3.答案 解析 由题意知,BD平面 ADC,故 BDAC,正确;由 AD 为等腰直角三角形 ABC 斜边 B
5、C 上的高,平面ABD平面 ACD,易知,AB=AC=BC,所以BAC 是等边三角形,正确;易知 DA=DB=DC,又BAC 为等边三角形,则正确;不能得出平面 ADC平面 ABC,错.4.答案 解析 由线面垂直的性质定理可知是真命题,且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题,故是“可换命题”;因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交,所以是假命题,不是“可换命题”;显然,是真命题,且平行于同一平面的两平面平行也是真命题,故是“可换命题”;因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面,故是假命题,不是“可换命题”.综上,填.5.解析 (1)因为平面 EFG平面 BCD,平面 ABD平面 EF
6、G=EG,平面 ABD平面 BCD=BD,所以 EGBD.又 G 为 AD 的中点,所以 E 为 AB 的中点,同理可得,F 为 AC 的中点,所以 = .EFBC12(2)证明:因为 AD=BD,4由(1)知,E 为 AB 的中点,所以 ABDE.又ABC=90,即 ABBC,由(1)知,EFBC,所以 ABEF.又 DEEF=E,DE,EF平面 EFD,所以 AB平面 EFD,又 AB平面 ABC,故平面 EFD平面 ABC.6.解析 (1)证明:连接 BD.四边形 ABCD 是菱形,BAD=60,ABD 为正三角形,ADBQ.PA=PD,Q 为 AD 的中点,ADPQ.又 BQPQ=Q,
7、AD平面 PQB.AD平面 PAD,平面 PQB平面 PAD.(2)当 t= 时,PA平面 MQB.理由如下:13连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN.由 AQBC 可得,ANQCNB, = = .AQBCANNC12PA平面 MQB,PA平面 PAC,平面 PAC平面 MQB=MN,PAMN, = = ,即 PM= PC,t= .PMPCANAC13 13 137.解析 (1)证明:连接 A1B,交 AB1于点 O,连接 OD.O、D 分别是 A1B、BC 的中点,A 1COD.A 1C平面 AB1D,OD平面 AB1D,A 1C平面 AB1D.5(2)M 为 CC1的中点.证明如下:在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,BC=BB 1,四边形 BCC1B1是正方形.由 M 为 CC1的中点,D 是 BC 的中点,易证B 1BDBCM,BB 1D=CBM.又BB 1D+BDB 1= ,CBM+BDB 1= ,BMB 1D. 2 2ABC 是正三角形,D 是 BC 的中点,ADBC.平面 ABC平面 BB1C1C,平面 ABC平面 BB1C1C=BC,AD平面 BB1C1C.BM平面 BB1C1C,ADBM,ADB 1D=D,BM平面 AB1D.AB 1平面 AB1D,MBAB 1.
