1、1第 3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系基础题组练1已知异面直线 a， b分别在平面 ， 内，且 c，那么直线 c一定( )A与 a， b都相交B只能与 a， b中的一条相交C至少与 a， b中的一条相交D与 a， b都平行解析：选 C.若 c与 a， b都不相交，则 c与 a， b都平行，根据公理 4，知 a b，与a， b异面矛盾2已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A空间四边形 B矩形C菱形 D正方形解析：选 B.如图所示，易证四边形 EFGH为平行四边形因为 E， F分别为 AB， BC的中点，所以 EF AC.又 FG BD，所以 EFG或其补
2、角为 AC与 BD所成的角而 AC与 BD所成的角为 90，所以 EFG90，故四边形 EFGH为矩形3已知直线 a， b分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a和直线 b相交”是“平面 和平面 相交”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A.若直线 a， b相交，设交点为 P，则 P a， P b.又 a ， b ，所以P ， P ，故 ， 相交反之，若 ， 相交，则 a， b可能相交，也可能异面或平行故“直线 a和直线 b相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要条件4(2019广州市高中综合测试(一)在四面体 ABCD中， E， F分别为
3、 AD， BC的中点，AB CD， AB CD，则异面直线 EF与 AB所成角的大小为( )A. B.6 4C. D.3 22解析：选 B.取 BD的中点 O，连接 OE， OF，因为 E， F分别为 AD， BC的中点，AB CD，所以 EO AB， OF CD，且 EO OF CD，又 AB CD，所以 EO OF， OEF为异面12直线 EF与 AB所成的角，由 EOF为等腰直角三角形，可得 OEF ，故选 B.45已知棱长为 a的正方体 ABCDA B C D中， M， N分别为 CD， AD的中点，则 MN与 A C的位置关系是_解析：如图，由题意可知 MN AC.又因为 AC A
4、C，所以 MN A C.答案：平行6给出下列四个命题：平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；若平面 内的一条直线 a与平面 内的一条直线 b相交，则 与 相交；若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；若三条直线两两相交，则这三条直线共面其中真命题的序号是_解析：正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点正确， a， b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内答案：7.如图，在正方体 A
5、BCDA1B1C1D1中， O为正方形 ABCD的中心， H为直线 B1D与平面 ACD1的交点求证： D1、 H、 O三点共线证明：如图，连接 BD， B1D1，则 BD AC O，因为 BB1綊 DD1，所以四边形 BB1D1D为平行四边形，又 H B1D，B1D平面 BB1D1D，3则 H平面 BB1D1D，因为平面 ACD1平面 BB1D1D OD1，所以 H OD1.即 D1、 H、 O三点共线8在正方体 ABCDA1B1C1D1中，(1)求 AC与 A1D所成角的大小；(2)若 E， F分别为 AB， AD的中点，求 A1C1与 EF所成角的大小解：(1)如图，连接 B1C， AB
6、1，由 ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1D B1C，从而 B1C与 AC所成的角就是 AC与 A1D所成的角因为 AB1 AC B1C，所以 B1CA60.即 A1D与 AC所成的角为 60.(2)连接 BD，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， AC BD， AC A1C1.因为 E， F分别为 AB， AD的中点，所以 EF BD，所以 EF AC.所以 EF A1C1.即 A1C1与 EF所成的角为 90.综合题组练1如图所示，平面 平面 l， A ， B ， AB l D， C ， Cl，则平面 ABC与平面 的交线是( )A直线 AC B直线 ABC直线 CD D直线 B
7、C解析：选 C.由题意知， D l， l ，所以 D ，又因为 D AB，所以 D平面 ABC，所以点 D在平面 ABC与平面 的交线上又因为 C平面 ABC， C ，所以点 C在平面 与平面 ABC的交线上，所以平面 ABC平面 CD.2在正三棱柱 ABCA1B1C1中，| AB| |BB1|，则 AB1与 BC1所成角的大小为( )2A. B.6 34C. D.512 2解析：选 D.将正三棱柱 ABCA1B1C1补为四棱柱 ABCDA1B1C1D1，连接 C1D， BD，则C1D B1A， BC1D为所求角或其补角设| BB1| ，则| BC| CD|2，2 BCD120，| BD|2
8、，3又因为| BC1| C1D| ，所以 BC1D .623.(2019长沙模拟)如图，在三棱柱 ABCA B C中，点E， F， H， K分别为 AC， CB， A B， B C的中点， G为 ABC的重心从 K， H， G， B四点中取一点作为 P，使得该棱柱恰有 2条棱与平面 PEF平行，则 P为_ 解析：取 A C的中点 M，连接 EM， MK， KF， EF，则 EM綊 CC12綊 KF，得四边形 EFKM为平行四边形，若取点 K为 P，则 AA BB CC PF，故与平面 PEF平行的棱超过 2条；因为 HB MK， MK EF，所以 HB EF，若取点 H或 B为P，则平面 PE
9、F与平面 EFB A为同一平面，与平面 EFB A平行的棱只有 AB，不符合题意；连接 BC，则 EF A B AB，若取点 G为 P，则 AB， A B与平面 PEF平行答案： G4如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形， C是圆柱下底面弧 AB的中点， C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，那么异面直线 AC1与 BC所成角的正切值为_解析：取圆柱下底面弧 AB的另一中点 D，连接 C1D， AD，因为 C是圆柱下底面弧 AB的中点，所以 AD BC，所以直线 AC1与 AD所成角等于异面直线 AC1与 BC所成角，因为 C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，所以 C1D圆柱下底面，所以
10、 C1D AD，因为圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，所以 C1D AD，2所以直线 AC1与 AD所成角的正切值为 ，2所以异面直线 AC1与 BC所成角的正切值为 .25答案： 25.如图所示， A是 BCD所在平面外的一点， E， F分别是 BC， AD的中点(1)求证：直线 EF与 BD是异面直线；(2)若 AC BD， AC BD，求 EF与 BD所成的角解：(1)证明：假设 EF与 BD不是异面直线，则 EF与 BD共面，从而 DF与 BE共面，即 AD与 BC共面，所以 A， B， C， D在同一平面内，这与 A是 BCD所在平面外的一点相矛盾故直线 EF与 BD是异面直线(2
11、)取 CD的中点 G，连接 EG， FG，则 AC FG， EG BD，所以相交直线 EF与 EG所成的角，即为异面直线 EF与 BD所成的角又因为 AC BD，则 FG EG.在 Rt EGF中，由 EG FG AC，求得 FEG45，即异面直线 EF12与 BD所成的角为 45.6.(综合型)如图， E， F， G， H分别是空间四边形 ABCD各边上的点，且 AE EB AH HD m， CF FB CG GD n.(1)证明： E， F， G， H四点共面；(2)m， n满足什么条件时，四边形 EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若 AC BD，试证明： EG FH.解：(1
12、)证明：因为 AE EB AH HD，所以 EH BD.又 CF FB CG GD，所以 FG BD.所以 EH FG.所以 E， F， G， H四点共面(2)当 EH FG，且 EH FG时，四边形 EFGH为平行四边形因为 ，所以 EH BD.EHBD AEAE EB mm 1 mm 1同理可得 FG BD，由 EH FG，得 m n.nn 1故当 m n时，四边形 EFGH为平行四边形(3)证明：当 m n时， AE EB CF FB，所以 EF AC，又 EH BD，所以 FEH是 AC与 BD所成的角(或其补角)，因为 AC BD，所以 FEH90，从而平行四边形 EFGH为矩形，所以 EG FH.1
