1、1小专题(六) 特殊平行四边形的性质与判定1 如图，四边形 ABCD，DEFG 都是正方形，连接 AE，CG.(1)求证：AECG；(2)观察图形，猜想 AE与 CG之间的位置关系，并证明你的猜想解：(1)证明：四边形 ABCD，DEFG 都是正方形，ADCD，DEDG，ADCGDE90 .ADCADGGDEADG，即CDGADE.ADECDG(SAS)AECG.(2)猜想：AECG.证明：设 AE与 CG相交于点 M，AD 与 CG相交于点 N.ADECDG，DAEDCG.又ANMCND，AMNADC90 .AECG.22如图，在ABCD 中，过点 D作 DEAB 于点 E，点 F在边 CD
2、上，CFAE，连接 AF，BF.(1)求证：四边形 BFDE是矩形；(2)若 CF6，BF8，DF10，求证：AF 是DAB 的平分线证明：(1)四边形 ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD.CFAE，BEDF.四边形 BFDE为平行四边形DEAB，DEB90 .四边形 BFDE是矩形(2)四边形 BFDE是矩形，BFD90 .BFC90 .在 RtBFC 中，由勾股定理得BC 10.CF2 BF2 62 82ADBC10.又DF10，ADDF.DAFDFA.ABCD，DFAFAB.DAFFAB.AF 是DAB 的平分线33(2018北京)如图，在四边形 ABCD中，ABDC，ABAD，对
3、角线 AC，BD 相交于点O，AC 平分BAD，过点 C作 CEAB 交 AB的延长线于点 E，连接 OE.(1)求证：四边形 ABCD是菱形；(2)若 AB ，BD2，求 OE的长5解：(1)证明：ABDC，BACDCA.AC 平分BAD，DACBAC.DACDCA.ADCD.ABAD，ABCD.四边形 ABCD是平行四边形又ABAD，四边形 ABCD是菱形(2)由(1)知四边形 ABCD是菱形，BDAC.AOB90 ，BO BD1.12在 RtAOB 中，由勾股定理，得AO 2.AB2 BO2CEAB，AEC90 .在 RtACE 中，点 O是斜边 AC的中点，OEAO2.44.如图，在菱
4、形 ABCD中，AB2，DAB60，点 E是 AD边的中点，点 M是 AB边上一点(不与点 A重合)，延长 ME交射线 CD于点 N，连接 MD，AN. (1)求证：四边形 AMDN是平行四边形； (2)请求出 AM的长为何值时，四边形 AMDN是矩形，并说明理由解：(1)证明：四边形 ABCD是菱形，NDAM.NDEMAE，DNEAME.又点 E是 AD边的中点，DEAE.NDEMAE(AAS)NDMA.四边形 AMDN是平行四边形(2)当 AM的长为 1时，四边形 AMDN是矩形理由如下：AM1 ADAE，DAB60 ，12AEM 是等边三角形AMEAEM60 ，EMAEED.EMDEDM
5、30 .AMDAMEEMD90 .四边形 AMDN是矩形55如图 1，在ABCD 中，AF 平分BAD 交 BC于点 F，CE 平分BCD 交 AD于点 E.(1)求证：四边形 AFCE是平行四边形；(2)如图 2，若 BEEC，求证：四边形 ABFE是菱形图 1 图 2证明：(1)AF 平分BAD，CE 平分BCD，FAE BAE，FCE FCD.12 12四边形 ABCD是平行四边形，BAEFCD，ADBC.FAEFCE，FCECED.FAECED.AFEC.又AECF，四边形 AFCE为平行四边形(2)AFEC，BEEC，AFBE.AOEAOB90 .在ABO 和AEO 中，6 BAO
6、EAO，AO AO， AOB AOE， )ABOAEO(ASA)BOEO.ADBC，EAFAFB.AF 平分BAD，BAFEAF.AFBBAF.又AOBFOB90 ，BOBO，ABOFBO(AAS)AOFO.四边形 ABFE是平行四边形又AFBE，四边形 ABFE是菱形6如图所示，在ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点，AF 与 DE相交于点 G，CE 与 BF相交于点 H.(1)你能说明四边形 EHFG是平行四边形吗？(2)当四边形 ABCD满足什么条件时，四边形 EHFG是一个菱形？(3)四边形 EHFG会成为一个正方形吗？解：(1)能说明四边形 EHFG是平行四边形四边形 A
7、BCD是平行四边形，7AB CD./而 AE AB，CF CD，12 12AE CF./四边形 AECF是平行四边形GFEH.同理可得 GEHF.四边形 EHFG是平行四边形(2)当四边形 ABCD是矩形时，四边形 EHFG是菱形由(1)知，四边形 EHFG是平行四边形连接 EF.当四边形 ABCD是矩形时，四边形 EBCF也是矩形，EHFH，四边形 EHFG是菱形(3)当四边形 ABCD是矩形且 AB2AD 时，四边形 EHFG是正方形由(2)知，当四边形 ABCD是矩形时，四边形 EHFG是菱形又由 AB2AD 可知，四边形 EBCF是正方形根据正方形的性质知，ECBF，即EHF90 ，四边形 EHFG是正方形8
