1、116.1 二次根式第 1 课时 二次根式的概念教学目标一、基本目标 【知识与技能】理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围【过程与方法】经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识二、重难点目标【教学重点】二次根式的概念，二次根式有意义的条件【教学难点】求二次根式中字母的取值范围教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P2P3 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1一个正数有
2、两个平方根；0 的平方根为 0；在实数范围内，负数没有平方根因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或 0.2一般地，我们把形如 (a0)的式子叫做二次根式， “ ”称为二次根号a3下列式子中，不是二次根式的是( B )A B45 3C Da2 323环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？2， ， ， ， ，11 5 7 231315 16(x3)， (x0)， ，3 x x a 1 2， (ab0) x2 5 a b 2【互动探索】(引发学生思考)要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方
3、数是不是非负数【解答】因为 ， ， ， (x3)，11 7 215 16 130 3 x， (ab0)中的根指数都是 2，且被开方数均为非负数，所以都是二 a 1 2 a b 2次根式. 的根指数不是 2， ， (x0)， 的被开方数都小于 0，所以不是313 5 x x2 5二次根式【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号；(2)被开方数是非负数【例 2】当 x_， 在实数范围内有意义x 31x 1【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？【分析】要使 在实数范围内有意义，必须同时
4、满足被开方数 x30 和分x 31x 1母 x10，解得 x3 且 x1.【答案】3 且 x1【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数为非负数，三是零次幂的底数不为零活动 2 巩固练习(学生独学)1下列式子中，是二次根式的是( A )A B7 37C D xx2使式子 有意义的未知数 x 有( B ) x 5 2A0 个 B1 个C2 个 D无数个3当 x 是多少时， x2在实数范围内有意义？2x 3x解：依题意，得Error!解得Error!当 x 且 x0 时， x2在实数范围内没有意义32 2x 33
5、3活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 3】若实数 x、 y 满足 y 3，求| y3| 的值x 2 6 3x x y 2【互动探索】要求| y3| 的值，需确定出 x、 y 的取值范围根据式子 x y 2y ，可以确定出 x、 y 的取值范围x 2 6 3x 3【解答】由题意，得 x20 且 63 x0，解得 x2，则 y3.故| y3| y3 y2231. x y 2【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式有意义的条件求出 x 的值，从而确定y 的取值范围，然后利用二次根式的性质化简代数式环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式Error!练习设计请完成本课时对应训练
6、！第 2 课时 二次根式的性质教学目标一、基本目标 【知识与技能】理解 (a0)是一个非负数、( )2 a(a0)和 a(a0)，并利用它们进行计算和a a a2化简；了解代数式的概念【过程与方法】在明确( )2 a(a0)和 a(a0)的算理的过程中，感受数学的实用性；通过小组a a2合作交流，培养学生的合作意识【情感态度与价值观】通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力二、重难点目标【教学重点】二次根式的性质【教学难点】运用二次根式的性质进行有关计算教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P3P4 的内容，完成下面练习4【3 min 反
7、馈】1(1)当 a0 时， 表示 a 的算术平方根，因此 0；a a(2)当 a0 时， 表示 0 的算术平方根，因此 0.a a概括：一般地， (a0)是一个非负数a2教材 P3“探究” ，根据算术平方根的意义填空：(1)( )24； ( )22；4 22 ； ( )20.(13) 13 0(2)一般地，( )2 a(a0)a3教材 P4“探究” ，填空：(1) 2； 0.01；22 0.012 ； 0.(23)2 23 02(2)一般地， a(a0)a2教师点拨：二次根式的三个性质：(1) (a0)是一个非负数；(2)( )2 a(a0)；(3)a a a(a0)a24用基本运算符号把数或
8、表示数的字母连结起来的式子，我们称这样的式子为代数式5计算： 21； .0.019 622 500549 73环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】计算：(1)( )2； (2)(2 )2；1.5 5(3) ； (4) .16 5 2【互动探索】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的平方等于什么？当二次根式的被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？【解答】(1) 2 1.5. (2)(2 )22 2( )24520. (3) ( )4.(1.5) 5 5 16 42(4) 5.( 5)2 52【互动总结】(学生总结，老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于
9、这个非负数当二次根式的被开方数是一个完全平方数时， Error!a2 |a|【例 2】化简下列二次根式(1) (a0， b0)；8a3b(2) . 36 169 9【互动探索】(引发学生思考)根据开方的定义化简注意：二次根式的结果是最简二次5根式【解答】(1) 2 a .8a3b 22a22ab 2a 2 2ab 2ab(2) 6133234. 36 169 9 361699【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数；(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(式)，即化为最简二次根式活动 2 巩固练习(学生独学)1下列各式正确的是(
10、 D )A 4 9 4 9B 16 94 16 94C 449 4 49D 49 4 92计算：(1)( )2； (2)( )2；9 3(3) ； (4) .64 a2 2a 1解：(1)9. (2)3. (3)8.(4) .当 a1 时，原式 a1；当 a1 时，原式a2 2a 1 (a 1)2 |a 1| a1.3已知实数 a、 b 在数轴上的位置如图所示，化简： 2 | a b|. a 1 2 b 1 2解：从数轴上 a、 b 的位置关系，可知2 a1,1 b2，且 b a，故a10， b10， a b0，原式| a1|2| b1| a b|( a1)2( b1)( a b) b3.活动
11、 3 拓展延伸(学生对学)【例 3】 已知 a、 b、 c 是 ABC 的三边长，化简 a b c 2 b c a 2. c b a 2【互动探索】根据三角形的三边关系，得出 b c a， b a c.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，然后去绝对值符号合并即可【解答】 a、 b、 c 是 ABC 的三边长， b c a， b a c，原式| a b c| b c a| c b a| a b c( b c a)( b a c) a b c b c a b a c3 a b c.6【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，进行变换后，结合二次根式的性质进行化简环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式的性质Error!练习设计请完成本课时对应训练！
