1、1等差数列与等比数列【2019 年高考考纲解读】1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力【重点、难点剖析】一、等差数列、等比数列的运算1通项公式等差数列： an a1( n1) d；等比数列： an a1qn1 .2求和公式等差数列： Sn na1 d；n a1 an2 n n 12等 比数列： Sn (q1)a1 1 qn1 q a1 anq1 q3性质若 m n p q，在等差数列中 am an ap aq；在等比数列中 aman apaq.二 等差数列、等比数列的判定与
2、证明证明数列 an是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列 an是等差数列的两种基本方法：利用定义，证明 an1 an(nN *)为一常数；利用等差中项，即证明 2an an1 an1 (n2， nN *)(2)证明数列 an是等比数列的两种基本方法：利用定义，证明 (nN *)为一常数；an 1an利用等比中项，即证明 a an1 an1 (n2， nN *)2n三、等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解【高考题型示例】2题型一、等差数列、等比数列的运算例 1
3、、(1)(2018全国)记 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 3S3 S2 S4， a12，则 a5等于( )A12 B10C10 D12答案 B解析 设等差数列 an的公差为 d，由 3S3 S2 S4，得 3 2 a1 d4 a1 d，将 a12 代入上式，3a13 3 12 d 2 2 12 4 4 12解得 d3，故 a5 a1(51) d24(3)10.故选 B.(2) (2018全国)等比数列 an中， a11， a54 a3.求 an的通项公式；记 Sn为 an的前 n 项 和，若 Sm63，求 m.【感悟提升】在进行 等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明
4、显，则均可化成关于 a1和 d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量【变式探究】(1)设公比为 q(q0)的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S23 a22， S43 a42，则 a1等于( )A2 B1 C. D.12 23答案 B解析 S4 S2 a3 a43 a43 a2，3即 3a2 a32 a40，即 3a2 a2q2 a2q20，即 2q2 q30，解得 q1(舍)或 q ，32当 q 时，代入 S23 a22，32得 a1 a1q3 a1q2，解得 a11.(2) 设各项均为正数的等比数列 an中，若 S480， S28，则公比 q_， a5_.答案
5、3 162解析 由题意可得， S4 S2 q2S2，代入得 q29.等比数列 an的各项均为正数， q3，解得 a12，故 a5162. 题型二 等差数列、等比数列的判定与证明例 2、已知 数列 an， bn，其中 a13， b11，且满足 an (3an1 bn1 )， bn (an1 3 bn1 )，12 12nN *， n2.(1)求证：数列 an bn为等比数列；(2)求数列 的前 n 项和 Tn.2nanan 1(1)证明 an bn (3an1 bn1 ) (an1 3 bn1 )2( an1 bn1 )，12 ( 12)又 a1 b13(1)4，所以 an bn是首项为 4，公比
6、为 2 的等比数列 (2)解 由(1)知， an bn2 n1 ，又 an bn (3an1 bn1 ) (an1 3 bn 1) an1 bn1 ，12 ( 12)又 a1 b13(1)2，所以 an bn为常数数列， an bn2，联立得， an2 n1， ，2nanan 1 2n 2n 1 2n 1 1 12n 1 12n 1 1所以 Tn (121 1 122 1) ( 122 1 123 1) ( 12n 1 12n 1 1) (nN *)121 1 12n 1 1 13 12n 1 1【感悟提升】(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前 n 项和公式，但不能作为证
7、明方法4(2)a an1 an1 (n2)是数列 an为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零2n【变式探究】已知 an是各项都为正数的数列，其前 n 项和为 Sn，且 Sn为 an与 的等差中项1an(1)求证：数列 S 为等差数列；2n(2)求数列 an的通项公式；(3)设 bn ，求 bn的前 n 项和 Tn. 1 nan(2)解 由(1)可得 S 1 n1 n，2n数列 an的各项都为正数， Sn ，n当 n2 时， an Sn Sn1 ，n n 1又 a1 S11 满足上式， an (nN *)n n 1(3)解 由(2)得 bn 1 nan 1 nn n 1(1) n(
8、 )，n n 1当 n 为奇数时，Tn1( 1)( )( )( ) ，2 3 2 n 1 n 2 n n 1 n当 n 为偶数时，Tn1( 1)( )( )( ) ，2 3 2 n 1 n 2 n n 1 n数列 bn的前 n 项和 Tn(1) n (nN *)n题型三 等差数列、等比数列的综合问题例 3、已知等差数列 an的公差为1，且 a2 a7 a126.(1)求数列 an的通项公式 an与其前 n 项和 Sn；(2)将数列 an的前 4 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列 bn的前 3 项，记 bn的前 n5项和为 Tn，若存在 mN *，使得对任意 nN *，总有 Sn
9、2.即实数 的取值范围为(2，)【感悟提升】(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解 ，但有时灵活地运用性质，可使运算简便(2)数列的项或前 n 项和 可以看作关于 n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解【变式探究】已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn13( an1)， nN *.(1)求数列 an的通项公式；(2)设数列 bn满足 an1 32nab，若 bn t 对于任意正整数 n 都成立，求实数 t 的取值范围解 (1)由已知得 Sn3 an2，令 n1，得 a11，又 an1 Sn1 Sn3 an1 3 an，得 an1 an，326所以数列 an是以 1 为首项， 为公比的等比数列，32所以 an n1 (nN *)(32)
