1、1圆锥曲线的综合问题1已知椭圆 1( ab0)的离心率 e ，左、右焦点分别为 F1， F2，且 F2与抛物线 y24 x 的焦点x2a2 y2b2 33重合(1)求椭圆的标准方程；(2)若过 F1的直线交椭圆于 B， D 两点，过 F2的直线交椭圆于 A， C 两点，且 AC BD，求| AC| BD|的最小值解 (1)抛物线 y24 x 的焦点坐标为(1,0)，所以 c1，又因为 e ，所以 a ，ca 1a 33 3所以 b22，所以椭圆的标准方程为 1.x23 y22(2) 当直线 BD 的斜率 k 存在且 k0 时，直线 BD 的方程为 y k(x1)，代入椭圆方程 1，x23 y2
2、2并化简得(3 k22) x26 k2x3 k260. 36 k44(3 k22)(3 k26)48( k21)0 恒成立设 B(x1， y1)， D(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，6k23k2 2 3k2 63k2 2|BD| |x1 x2|1 k2 (1 k2) x1 x2 2 4x1x2 .4 3(k2 1)3k2 2由题意知 AC 的斜率为 ，1k所以| AC| .4 3(1k2 1)31k2 2 4 3(k2 1)2k2 3|AC| BD|4 3(k2 1)(13k2 2 12k2 3) 20 3(k2 1)2(3k2 2)(2k2 3) 20 3(k2 1)2(3
3、k2 2) (2k2 3)2 22 .20 3(k2 1)225 k2 1 24 16 35当且仅当 3k222 k23，即 k1 时，上式取等号，故| AC| BD|的最小值为 .16 35当直线 BD 的斜率不存在或等于零时，可得| AC| BD| .10 33 16 35综上，| AC| BD|的最小值为 . 16 355已知椭圆 C： 1( ab0)的上顶点为点 D，右焦点为 F2(1,0)，延长 DF2交椭圆 C 于点 E，且满足x2a2 y2b2|DF2|3| F2E|.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 F2作与 x 轴不重合的直线 l 和椭圆 C 交于 A， B 两点，设
4、椭圆 C 的左顶点为点 H，且直线 HA， HB分别与直线 x3 交于 M， N 两点，记直线 F2M， F2N 的斜率分别为 k1， k2，则 k1与 k2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解 (1)椭圆 C 的上顶点为 D(0， b)，右焦点 F2(1,0)，点 E 的坐标为( x， y)| DF2|3| F2E|，可得 3 ，DF2 F2E 又 (1， b)， ( x1， y)，DF2 F2E Error!代入 1，x2a2 y2b2可得 1，(43)2a2 ( b3)2b2又 a2 b21，解得 a22， b21，即椭圆 C 的标准方程为 y21.x223 yM .y
5、1(3 2)x1 2同理可得 yN ，y2(3 2)x2 2 M， N 的坐标分别为 ， ，(3， y1(3 2)x1 2)(3， y2(3 2)x2 2) k1k2 yMyNyM 03 1 yN 03 1 14 14 y1(3 2)x1 2 y2(3 2)x2 2y1y2 3 2 24(my1 1 2)(my2 1 2)y1y2 3 2 24m2y1y2 (1 2)m(y1 y2) (1 2)2 . 11 6 2m2 24 m2m2 2 2(1 2)m2m2 2 3 2 2 11 6 2m2 246 4 2m2 2 4 2 98 k1与 k2之积为定值，且该定值是 .4 2 986已知平面上
6、动点 P 到点 F 的距离 与到直线 x 的距离之比为 ，记动点 P 的轨迹为曲线( 3， 0)4 33 32E.(1)求曲线 E 的方程；4(2)设 M(m， n)是曲线 E 上的动点，直线 l 的方程为 mx ny1.设直线 l 与圆 x2 y21 交于不同两点 C， D，求| CD|的取值范围；求与动直线 l 恒相切的定椭圆 E的方程，并探究：若 M(m， n)是曲线 ： Ax2 By21( AB0)上的动点，是否存在与直线 l： mx ny1 恒相切的定曲线 ？若存在，直接写出曲线 的方程；若不存在，说明理由解 (1)设 P(x， y)，由题意，得 .(x 3)2 y2|x 4 33|
7、 32整理，得 y21，x24曲线 E 的方程为 y21.x24(2)圆心到直线 l 的距离 d ，1m2 n2直线与圆有两个不同交点 C， D，| CD|24 .(11m2 n2)又 n2 1(m0)，m24| CD|24 .(143m2 4)| m|2，0 m24，01 .43m2 4 34| CD|2(0，3，| CD| ，(0， 3即| CD|的取值范围为 .(0， 3当 m0， n1 时，直线 l 的方程为 y1；当 m2， n0 时，直线 l 的方程为 x .12根据椭圆对称性，猜想 E的方程为 4x2 y21.下面证明：直线 mx ny1( n0)与 4x2 y2 1 相切，其中
8、 n21，即 m24 n24.m24由Error!消去 y 得(m24 n2)x22 mx1 n20，即 4x22 mx1 n20， 4 m216 4 0 恒成立，从而直线 mx ny1 与椭圆 E：4 x2 y21 恒相(1 n2) (m2 4n2 4)5切若点 M 是曲线 ： Ax2 By21 上的动点，则直线 l： mx ny1 与定曲线 ： (m， n) (AB 0)x2A1 恒相切y2B (AB 0)7. 已知椭圆 C： 1( a b0)的左、右顶点分别为 A1， A2，右焦点为 F2(1,0)，点 B 在椭圆x2a2 y2b2 (1， 32)C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)若
9、直线 l： y k(x4)( k0)与椭圆 C 由左至右依次交于 M， N 两点，已知直线 A1M 与 A2N 相交于点 G，证明：点 G 在定直线上，并求出定直线的方程解析：(1)由 F2(1,0)，知 c1，由题意得Error!所以 a2， b ，所以椭圆 C 的方程为 1.3x24 y23(2)因为 y k(x4)，所以直线 l 过定点(4,0)，由椭圆的对称性知点 G 在直线 x x0上当直线 l 过椭圆 C 的上顶点时， M(0， )，3所以直线 l 的斜率 k ，由Error!得Error!或Error!所以 N ，34 (85， 3 35)由(1 )知 A1(2,0)， A2(2
10、,0)，所以直线 lA1M 的方程为 y (x2)，直线 lA2N 的方程为 y (x2)，所以 G ，所以 G32 3 32 (1， 3 32)在直线 x1 上当直线 l 不过椭圆 C 的上顶点时，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，由Error!得(34 k2)x232 k2x64 k2120， 所以 (32 k2)24(34 k2)(64k212)0，得 k ，12 12x1 x2 ， x1x2 ，32k23 4k2 64k2 123 4k2易得直线 lA1M 的方程为 y (x2)，直线 lA2N 的方程为 y (x2)，当 x1 时， y1x1 2 y2x2 2 3y1x1
11、 2得 2x1x25( x1 x2)80， y2x2 2所以 0 显然成立，所以 G 在直线 x1 上2 64k2 123 4k2 532k23 4k2 8 3 4k23 4k28已知平面直角坐标系内两定点 A(2 ，0)， B(2 ，0)及动点 C(x， y)， ABC 的两边 AC， BC 所在2 2直线的斜率之积为 . 34(1)求动点 C 的轨迹 E 的方程；6(2)设 P 是 y 轴上的一点，若(1)中轨迹 E 上存在两点 M， N 使得 2 ，求以 AP 为 直径的圆的面积的取MP PN 值范围解析：(1)由已知， kACkBC ，即 ，34 yx 2 2 yx 2 2 34所以
12、3x24 y224，又三点构成三角形，所以 y0， 所以点 C 的轨迹 E 的方程为 1( y0)x28 y26(2)设点 P 的坐标为(0， t)当直线 MN 的斜率不存在时，可得 M， N 分别是短轴的两端点，得到 t .63当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 y kx t(k0)，M(x1， y1)， N(x2， y2)，则由 2 得 x12 x2. MP PN 联立得Error!得(34 k2)x28 ktx4 t2240，当 0 得 64k2t24(34 k2)(4t224)0，整理得 t28 k26.所以 x1 x2 ， x1x2 ， 8kt3 4k2 4t2 243 4k27
