1、1第 3 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有( )A4 个 B.3 个C2 个 D1 个解析：选 A.首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面2已知 A， B， C， D 是空间四点，命题甲： A， B， C， D 四点不共面，命题乙：直线 AC和 BD 不相交，则甲是乙成立的( )A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A.若 A， B， C， D 四点不共面，则直线 AC 和 BD 不共面，所以 AC 和 BD 不相交；若直线 AC 和 BD 不相交，若直线 AC 和 BD
2、 平行时， A， B， C， D 四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件3已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( )A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A.若直线 a， b 相交，设交点为 P，则 P a， P b.又 a ， b ，所以P ， P ，故 ， 相交反之，若 ， 相交，则 a， b 可能相交，也可能异面或平行故“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要条件4(2018高考全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为棱 CC1的中点
3、，则异面直线AE 与 CD 所成角的正切值为( )A. B.22 32C. D.52 72解析：选 C.2如图，连接 BE，因为 AB CD，所以异面直线 AE 与 CD 所成的角等于相交直线 AE 与 AB所成的角，即 EAB.不妨设正方体的棱长为 2，则 CE1， BC2，由勾股定理得 BE .5又由 AB平面 BCC1B1可得 AB BE，所以 tan EAB .故选 C.BEAB 525下列命题中，真命题的个数为( )如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；若 M ， M ， l，则 M l.A
4、1 B.2C3 D4解析：选 B.根据公理 2，可判断是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故是假命题；根据平面的性质可知是真命题综上，真命题的个数为 2.6设 a， b， c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若 a b， b c，则 a c；若 a b， b c 则 a c；若 a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；若 a平面 ， b平面 ，则 a， b 一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)解析：由公理 4 知正确；当 a b， b c 时， a 与 c 可以相交、平行或
5、异面，故错；当 a 与 b 相交， b 与 c 相交时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故错；a ， b ，并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内 ”，故错答案：7如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形， C 是圆柱下底面弧 AB 的中点， C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，那么异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为_解析：3取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D，连接 C1D， AD，因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，所以 AD BC，所以直线 AC1与 AD 所成角等于异面直线 AC1与 BC 所成角，因为 C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以 C1D圆柱
6、下底面，所以 C1D AD，因为圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，所以 C1D AD，2所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为 ，2所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 .2答案： 28如图，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中既与 AB 共面又与 CC1共面的棱有_条解析：依题意，与 AB 和 CC1都相交的棱有 BC；与 AB 相交且与 CC1平行有棱AA1， BB1；与 AB 平行且与 CC1相交的棱有 CD， C1D1.故符合条件的有 5 条答案：59如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， O 为正方形 ABCD 的中心， H 为直线 B1D 与平面ACD1的交
7、点求证： D1、 H、 O 三点共线证明：如图，连接 BD， B1D1，则 BD AC O，因为 BB1 DD1， 4所以四边形 BB1D1D 为平行四边形，又 H B1D，B1D平面 BB1D1D，则 H平面 BB1D1D，因为平面 ACD1平面 BB1D1D OD1，所以 H OD1.即 D1、 H、 O 三点共线10.如图所示， A 是 BCD 所在平面外的一点， E， F 分别是 BC， AD 的中点(1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；(2)若 AC BD， AC BD，求 EF 与 BD 所成的角解：(1)证明：假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，
8、从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A， B， C， D 在同一平面内，这与 A 是 BCD 所在平面外的一点相矛盾故直线 EF 与 BD 是异面直线(2)取 CD 的中点 G，连接 EG， FG，则 AC FG， EG BD，所以相交直线 EF 与 EG 所成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角又因为 AC BD，则 FG EG.在 Rt EGF 中，由 EG FG AC，求得 FEG45，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为1245.1已知 l1， l2， l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )5A l1 l2， l2 l3l1 l3B l1
9、l2， l2 l3l1 l3C l1 l2 l3l1， l2， l3共面D l1， l2， l3共点 l1， l2， l3共面解析：选 B.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故 A 错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故 D 错2若空间中四条两两不同的直线 l1， l2， l3， l4满足 l1 l2， l2 l3， l3 l4，则下列结论一定正确的是( )A l1 l4B l1 l4C l1与 l4既不垂直也不平行D l1与 l4
10、的位置关系不确定解析：选 D.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，记 l1 DD1， l2 DC， l3 DA，若 l4 AA1，满足l1 l2， l2 l3， l3 l4，此时 l1 l4，可以排除选项 A 和 C.若 l4 DC1，也满足条件，可以排除选项 B.故选 D.3在三棱柱 ABCA1B1C1中， E、 F 分别为棱 AA1、 CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、 EF、 BC 都相交的直线( )A不存在 B.有且只有两条C有且只有三条 D有无数条解析：选 D.在 EF 上任意取一点 M，直线 A1B1与 M 确定一个平面，这个平面与 BC 有且仅有 1 个交点 N，当
11、 M 的位置不同时确定不同的平面，从而与 BC 有不同的交点 N，而直线MN 与 A1B1、 EF、 BC 分别有交点 P、 M、 N，如图，故有无数条直线与直线 A1B1、 EF、 BC 都相交64如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E、 H 分别是边 AB、 AD 的中点，点 F、 G 分别是边 BC、 CD 上的点，且 ，则下列说法正确的是_CFCB CGCD 23 EF 与 GH 平行； EF 与 GH 异面； EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上； EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上解析：连接 EH， FG(图略)，依题意，可
12、得 EH BD， FG BD，故 EH FG，所以E、 F、 G、 H 共面因为 EH BD， FG BD，故 EH FG，所以 EFGH 是梯形， EF 与 GH 必相12 23交，设交点为 M.因为点 M 在 EF 上，故点 M 在平面 ACB 上同理，点 M 在平面 ACD 上，所以点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点，又 AC 是这两个平面的交线，所以点 M 一定在直线AC 上答案：5.如图，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形， BAD FAB90， BC AD， BE FA， G， H 分别为 FA， FD 的中点 12 12(
13、1)求证：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C， D， F， E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由题设知， FG GA， FH HD，所以 GH AD.又 BC AD， 12 12故 GH BC. 所以四边形 BCHG 是平行四边形(2)C， D， F， E 四点共面理由如下：7由 BE FA， G 是 FA 的中点知， BE GF， 12 所以 EF BG. 由(1)知 BG CH，所以 EF CH，故 EC、 FH 共面又点 D 在直线 FH 上，所以 C， D， F， E 四点共面6如图，在三棱锥 PABC 中， PA底面 ABC， D 是 PC 的中点已知 BAC ， AB2， AC2 ， PA2.求： 2 3(1)三棱锥 PABC 的体积；(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值解：(1) S ABC 22 2 ，三棱锥 PABC 的体积为 V S12 3 3 13ABCPA 2 2 .13 3 433(2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE， AE，则 ED BC，所以 ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角在 ADE 中， DE2， AE ， AD2，2cos ADE .22 22 2222 34故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 .348
