1、1第 6 讲 平行、垂直的综合问题1.如图，边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G，已知 A DE 是 ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )动点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上； BC平面 A DE；三棱锥 A FED 的体积有最大值A B.C D解析：选 C.中由已知可得平面 A FG平面 ABC，所以点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 BC DE，根据线面平行的判定定理可得 BC平面 A DE.当平面 A DE平面 ABC 时，三棱锥 A FED 的体积达到最大，故选 C.2如图所示，四边形 ABCD
2、 中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90.将ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 ABCD，则在三棱锥 ABCD 中，下列结论正确的是( )A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDCD平面 ADC平面 ABC解析：选 D.因为在四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90，所以 BD CD.又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCD BD，故 CD平面 ABD，则 CD AB.2又 AD AB， AD CD D， AD平面 ADC， CD平面 ADC，故 AB平面 AD
3、C.又 AB平面 ABC，所以平面 ADC平面 ABC.3如图，四边形 ABCD 中， AB AD CD1， BD ， BD CD.将四边形 ABCD 沿对角线2BD 折成四面体 A BCD，使平面 A BD平面 BCD，则下列结论正确的是( )A A C BDB BA C90C CA与平面 A BD 所成的角为 30D四面体 A BCD 的体积为13解析：选 B.若 A 成立可得 BD A D，产生矛盾，故 A 不正确；由题设知： BA D 为等腰 Rt， CD平面 A BD，得 BA平面 A CD，于是 B 正确；由 CA与平面 A BD 所成的角为 CA D45知 C 不正确；VA BC
4、D VCA BD ，D 不正确故选 B.164在直角梯形 ABCD 中， AB2， CD CB1， ABC90，平面 ABCD 外有一点 E，平面 ADE平面 ABCD， AE ED1.(1)求证： AE BE；(2)求点 C 到平面 ABE 的距离解：(1)证明：在直角梯形 ABCD 中， BD ， AD ，又 AD BC2 CD2 2 2 2，所以 AE ED.AE2 ED2因为 AB2 AD2 BD2，所以 AD BD，因为平面 ADE平面 ABCD，且交线为 AD， AD BD.所以 BD平面 ADE.因为 AE平面 ADE，所以 BD AE.因为 AE BD， AE ED， BD D
5、E D，所以 AE平面 BDE，因为 BE平面 BDE，所以 AE BE.3(2)如图，过点 E 作 EM AD，交 AD 于 M.因为平面 ADE平面 ABCD，所以 EM平面 ABCD.设点 C 到平面 ABE 的距离为 h，EM ， S ABC ABBC 211，22 12 12S ABE EBAE 1 .12 12 3 32因为 VEABC VCABE，所以 1 h，所以 h ，13 22 13 32 63所以点 C 到平面 ABE 的距离为 .635(2019太原模拟)如图，在几何体 ABCDFE 中，四边形 ABCD 是菱形， BE平面ABCD， DF BE，且 DF2 BE2，
6、EF3.(1)证明：平面 ACF平面 BEFD.(2)若 cos BAD ，求几何体 ABCDFE 的体积15解：(1)证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC BD，因为 BE平面 ABCD，所以 BE AC.所以 AC平面 BEFD.所以平面 ACF平面 BEFD.(2)设 AC 与 BD 的交点为 O， AB a(a0)，由(1)得 AC平面 BEFD，因为 BE平面 ABCD，所以 BE BD，4因为 DF BE，所以 DF BD，所以 BD2 EF2( DF BE)28，所以 BD2 ，2所以 S 四边形 BEFD (BE DF)BD3 ，12 2因为 cos BAD ，所以
7、BD2 AB2 AD22 ABADcos BAD a28，15 85所以 a ，5所以 OA2 AB2 OB23，所以 OA ，3所以 VABCDFE2 VABEFD S 四边形 BEFDOA2 .23 66(2017高考全国卷)如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， AD CD.(1)证明： AC BD；(2)已知 ACD 是直角三角形， AB BD.若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE EC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比解：(1)证明：取 AC 的中点 O，连接 DO， BO.因为 AD CD，所以 AC DO.又由于 ABC 是正三角形，所以
8、 AC BO.从而 AC平面 DOB，故 AC BD.(2)连接 EO.由(1)及题设知 ADC90，所以 DO AO.在 Rt AOB 中， BO2 AO2 AB2.又 AB BD，所以BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2，故 DOB90.由题设知 AEC 为直角三角形，所以 EO AC.12又 ABC 是正三角形，且 AB BD，所以 EO BD.125故 E 为 BD 的中点，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 ，四面体 ABCE12的体积为四面体 ABCD 的体积的 ，即四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积之比为 11.121(2019郑
9、州第二次质量检测)如图，高为 1 的等腰梯形 ABCD 中，AM CD AB1， M 为 AB 的三等分点现将 AMD 沿 MD 折起，使平面 AMD平面 MBCD，连13接 AB， AC.(1)在 AB 边上是否存在点 P，使 AD平面 MPC?(2)当点 P 为 AB 边的中点时，求点 B 到平面 MPC 的距离解：(1)当 AP AB 时，有 AD平面 MPC.13理由如下：连接 BD 交 MC 于点 N，连接 NP.在梯形 MBCD 中， DC MB， ，DNNB DCMB 12因为 ADB 中， ，所以 AD PN.APPB 12因为 AD平面 MPC， PN平面 MPC，所以 AD
10、平面 MPC.(2)因为平面 AMD平面 MBCD，平面 AMD平面 MBCD DM，平面 AMD 中 AM DM，所以 AM平面 MBCD.所以 VPMBC S MBC 21 .13 AM2 13 12 12 16在 MPC 中， MP AB ， MC ，12 52 2又 PC ，所以 S MPC .（ 12） 2 12 52 12 2 （ 52） 2 （ 22） 2 646所以点 B 到平面 MPC 的距离为 d .3VPMBCS MPC31664 632.如图所示，已知长方体 ABCDA1B1C1D1，点 O1为 B1D1的中点(1)求证： AB1平面 A1O1D.(2)若 AB AA1
11、，在线段 BB1上是否存在点 E 使得 A1C AE？若存在，求出 ；若不存23 BEBB1在，说明理由解：(1)证明：如图所示，连接 AD1交 A1D 于点 G，所以 G 为 AD1的中点连接 O1G.在 AB1D1中，因为 O1为 B1D1的中点，所以 O1G AB1.因为 O1G平面 A1O1D，且 AB1平面 A1O1D，所以 AB1平面 A1O1D.(2)若在线段 BB1上存在点 E 使得 A1C AE，连接 A1B 交 AE 于点 M.因为 BC平面 ABB1A1， AE平面 ABB1A1，所以 BC AE.又因为 A1C BC C，且 A1C， BC平面 A1BC，所以 AE平面
12、 A1BC.因为 A1B平面 A1BC，所以 AE A1B.在 AMB 和 ABE 中， BAM ABM90， BAM BEA90，所以 ABM BEA.所以 Rt ABERt A1AB，7所以 .BEAB ABAA1因为 AB AA1，23所以 BE AB BB1，23 49即在线段 BB1上存在点 E 使得 A1C AE，此时 .BEBB1 493(2019福建质量检测)在如图所示的多面体中，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 BDEF 是矩形(1)求证： AE平面 BCF；(2)若 AD DE， AD DE1， AB2， BAD60，求三棱锥 FAEC 的体积解：(1)证明：因为四边
13、形 ABCD 是平行四边形，所以 AD BC.又 AD平面 BCF， BC平面 BCF，所以 AD平面 BCF，因为四边形 BDEF 是矩形，所以DE BF.又 DE平面 BCF， BF平面 BCF，所以 DE平面 BCF.因为 AD DE D， AD平面 ADE， DE平面 ADE，所以平面 ADE平面 BCF.因为 AE平面 ADE，所以 AE平面 BCF.(2)设 AC 与 BD 交于点 O，则 O 为 AC 的中点连接 OE， OF，如图故 VFAEC VCAEF2 VOAEF2 VAOEF.在 ABD 中， BAD60， AD1， AB2，由余弦定理得， BD2 AB2 AD22 ABADcos BAD，所以 BD ，38所以 AB2 AD2 BD2，所以 AD BD.又 DE AD， BD DE D， BD平面 BDEF， DE平面 BDEF，所以 AD平面 BDEF，故 AD 的长为点 A 到平面 BDEF 的距离因为 DE1，所以 S OEF S 四边形 BDEF BDDE ，所以 VAOEF S OEFAD ，12 12 32 13 36故 VFAEC2 VAOEF ，即三棱锥 FAEC 的体积为 .33 33
