1、1第二节 等差数列及其前 n 项和限时规范训练(限时练夯基练提能练)A 级 基础夯实练1(2018北京东城区二模)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a33， a55，则 S7的值是( )A30 B29C28 D27解析：选 C.由题意，设等差数列的公差为 d，则 d 1，故 a4 a3 d4，所a5 a35 3以 S7 7428.故选 C.7 a1 a72 72a422(2018唐山统考)等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S1122，则 a3 a7 a8等于( )A18 B12C9 D6解析：选 D.由题意得 S11 22，即 a15 d2，所11 a1 a112 11 2a
2、1 10d2以 a3 a7 a8 a12 d a16 d a17 d3( a15 d)6，故选 D.3在等差数列 an中， a12 017，其前 n 项和为 Sn，若 2，则 S2 020( )S1212 S1010A2 020 B2 020C4 040 D4 040解析：选 C.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn An2 Bn，则 An B， 是等差Snn Snn数列 2， 的公差为 1，又 2 017， 是以2 017 为首S1212 S1010 Snn S11 a11 Snn项，1 为公差的等差数列， 2 0172 01912， S2 0204 040.故选 C.S2 0202 02
3、04(2018山西太原模拟)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，点( n， Sn)(nN *)在函数y x210 x 的图象上，等差数列 bn满足 bn bn1 an(nN *)，其前 n 项和为 Tn，则下列结论正确的是( )A Sn2 Tn B b40C T7 b7 D T5 T6解析：选 D.因为点( n， Sn)(nN *)在函数 y x210 x 的图象上，所以 Sn n210 n，所以 an2 n11，又 bn bn1 an(nN *)，数列 bn为等差数列，设公差为 d，所以22b1 d9,2 b13 d7，解得 b15， d1，所以 bn n6，所以 b60，所以T5 T6，
4、故选 D.5(2018江西南昌模拟)九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为( )A1 升 B 升6766C. 升 D 升4744 3733解析：选 B.设该等差数列为 an，公差为 d，由题意得Error!即Error!解得Error! a5 4 .故选 B.1322 766 67666(2018山东五校联考)下面是关于公差 d0 的等差数列 an的四个命题：p1：数列 an是递增数列； p2：数列 nan是递增数列；p3：数列 是递增数列； p4：数列 an3 nd是递增
5、数列ann其中的真命题为( )A p1， p2 B p3， p4C p2， p3 D p1， p4解析：选 D.an是等差数列，则 an a1( n1) d dn a1 d，因为 d0，所以 an是递增数列，故 p1正确；对 p2，举反例，令 a13， a22， d1，则 a12 a2，故 nan不是递增数列， p2不正确； d ，当 a1 d0 时， 递减， p3不正确；ann a1 dn annan3 nd4 nd a1 d,4d0， an3 nd是递增数列， p4正确故 p1， p4是正确的，选 D.7(2018揭阳质检)数列 an的首项为 3， bn为等差数列且 bn an1 an(n
6、N *)，若 b32， b1012，则 a8等于( )A0 B3C8 D11解析：选 B. bn为等差数列，设其公差为 d，由 b32， b1012，7 d b10 b312(2)14， d2， b32， b1 b32 d246， b1 b2 b77 b1 d76237(6)2120，又 b1 b2 b7( a2 a1)( a3 a2)( a8 a7) a8 a1 a83， a830， a83.故选 B.8(2018日照二模)若数列 an满足 a115，且 3an1 3 an2，则使 akak1 0的 k 值为_解析：因为 3an1 3 an2，所以 an1 an ，所以数列 an是首项为 1
7、5，公差为23 的等差数列，所以 an15 (n1) n ，令 an n 0，得 n23.5，23 23 23 473 23 473所以使 akak1 0 的 k 值为 23.答案：239(2018长春模拟)张丘建算经卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾初日织五尺，今一月日织九匹三丈则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2 天起，每天比前一天多织相同量的布若第一天织 5 尺布，现在一个月(按 30 天计)共织390 尺布，则该女最后一天织_尺布解析：由题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为 an，其中 a15，前 30 项和为 390，于是有 390，解得
8、 a3021，即该女最后一30 5 a302天织 21 尺布答案：2110(2017全国卷)记 Sn为等比数列 an的前 n 项和已知 S22， S36.(1)求 an的通项公式；(2)求 Sn，并判断 Sn1 ， Sn， Sn2 是否成等差数列解：(1)设 an的公比为 q，由题设可得Error!解得 q2， a12.故 an的通项公式为 an(2) n.(2)由(1)可得 Sn (1) n .a1 1 qn1 q 23 2n 13由于 Sn2 Sn1 (1) n43 2n 3 2n 232 2 Sn，23 1 n2n 13 故 Sn1 ， Sn， Sn2 成等差数列B 级 能力提升练11(
9、2018潍坊模拟)设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，( n1)4Sn nSn1 (nN *)若 1，则( )a8a7A Sn的最大值是 S8 B Sn的最小值是 S8C Sn的最大值是 S7 D Sn的最小值是 S7解析：选 D.由已知条件得 ，即 ，所Snn Sn 1n 1 n a1 an2n n 1 a1 an 12 n 1以 an an1 ，所以等差数列 an为递增数列又 1，所以 a80， a70，即数列 ana8a7前 7 项均小于 0，第 8 项大于零，所以 Sn的最小值为 S7，故选 D.12如图，点列 An， Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn1 | An1 An2
10、|， An An2 ， nN *，| BnBn1 | Bn1 Bn2 |，Bn Bn2 ， nN *(P Q 表示点 P 与 Q 不重合)若 dn| AnBn|， Sn为 AnBnBn1 的面积，则( )A Sn是等差数列 B S 是等差数列2nC dn是等差数列 D d 是等差数列2n解析：选 A.作 A1C1， A2C2， A3C3， AnCn垂直于直线 B1Bn，垂足分别为C1， C2， C3， Cn，则 A1C1 A2C2 AnCn.| AnAn1 | An1 An2 |，| CnCn1 | Cn1 Cn2 |.设| A1C1| a，| A2C2| b，| B1B2| c，则| A3C
11、3|2 b a，| AnCn|( n1) b( n2) a(n3)， Sn c(n1) b( n2) a12 c(b a)n(2 a b)，12 Sn1 Sn c(b a)(n1)(2 a b)( b a)n(2 a b) c(b a)，数列 Sn是12 12等差数列13(2018南充模拟)已知数列 an为等差数列，若 1，且它们的前 n 项和 Sna11a10有最大值，则使 Sn0 的 n 的最大值为_解析： 1，且 Sn有最大值，a11a10 a100， a110，且 a10 a110， S19 19 a100，19 a1 a1925S20 10( a10 a11)0，20 a1 a202
12、故使得 Sn0 的 n 的最大值为 19.答案：1914(2018山东菏泽二模)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， nN *，满足a1 a210， S540.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn|13 an|，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解：(1)设等差数列 an的公差为 d，由题意知， a1 a22 a1 d10，S55 a340，即 a38，所以 a12 d8，所以Error! 所以 an4( n1)22 n2.(2)令 cn13 an112 n，bn| cn|112 n|Error!设数列 cn的前 n 项和为 Qn，则 Qn n210 n.当 n5 时， Tn b
13、1 b2 bn Qn n210 n.当 n6 时， Tn b1 b2 bn c1 c2 c5( c6 c7 cn) Qn2 Q5 n210 n2(5 2105) n210 n50. TnError!15(2018惠州市二调)在公差不为 0 的等差数列 an中， a1， a4， a8成等比数列(1)若数列 an的前 10 项和为 45，求数列 an的通项公式；(2)若 bn ，且数列 bn的前 n 项和为 Tn，若 Tn ，求数列 an的公1anan 1 19 1n 9差解：(1)设数列 an的公差为 d(d0)，由 a1， a4， a8成等比数列可得 a a1a8，即( a13 d)2 a1(
14、a17 d)，解得 a19 d.24由数列 an的前 10 项和为 45 得 10a145 d45，即 90d45 d45，所以 d ， a13.13故数列 an的通项公式为 an3( n1) .13 n 83(2)因为 bn ，1anan 1 1d(1an 1an 1)所以数列 bn的前 n 项和 Tn ，1d(1a1 1a2) (1a2 1a3) (1an 1an 1) 1d(1a1 1an 1)即 Tn ，1d(1a1 1a1 nd) 1d(19d 19d nd) 1d2(19 19 n) 19 19 n6因此 1，解得 d1 或 d1.1d2故数列 an的公差为1 或 1.C 级 素养
15、加强练16(2018湘东五校联考)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a5 a1334， S39.(1)求数列 an的通项公式及前 n 项和公式；(2)设数列 bn的通项公式为 bn ，问：是否存在正整数 t，使得anan tb1， b2， bm(m3， mN)成等差数列？若存在，求出 t 和 m 的值；若不存在，请说明理由解：(1)设 an的公差为 d，由题意得Error!解得 a11， d2，故 an2 n1， Sn n2.(2)由(1)知 bn ，2n 12n 1 t要使 b1， b2， bm成等差数列，必须有 2b2 b1 bm，即 2 ，33 t 11 t 2m 12m 1 t移项得 ，2m 12m 1 t 63 t 11 t 6 6t 3 t 3 t 1 t整理得 m3 .4t 1因为 m， t 为正整数，所以 t 只能取 2,3,5.当 t2 时， m7；当 t3 时， m5；当 t5 时， m4.所以存在正整数 t，使得 b1， b2， bm成等差数列1
