1、1第六章 图形的相似与解直角三角形第十八讲 图形的相似宜宾中考考情与预测近五年中考考情 2019年中考预测年份 考查点 题型 题号 分值2018 三角形相 似 选择题 7 3分2017 三角形相 似 填空题 15 3分2016 三角形相 似 填空题 16 3分2015 位似 选择题 6 3分2014 三角形相 似 解答题 24 12分预计2019年宜宾中考考查在组合图形中，利用三角形相似知识，解决实际问题.宜宾考题感知与试做1.（2015宜宾中考）如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为12，OCD90，COCD.若B（1，0），则点C的坐标为（ B ）A.（1，2） B.（
2、1，1） C.（ ， ） D.（2，1）2 2,（第1题图）) ,（第2题图）)2.（宜宾中考）如图，在 RtABC中，ACB90，A30，CDAB于点D，则BCD与ABC的周长之比为（ A ）A.12 B. 13 C. 14 D. 153.（宜宾中考）若一个图形的面积为2，那么将与它成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为（ A ）A.8 B.6 C.4 D.24.（2017宜宾中考）如图，O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE2，则EG的长是 1 .5,（第4题图 ）) ,（第5题图）)5.（2018宜宾中考）如图，将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置
3、，已知ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA1，则AD等于（ A ）A.2 B.3 C. D.23 32宜宾中考考点梳理2成比例线段、平行线分线段成比例1.两条线段的比是两条线段的长度之比.（1）两条线段的长度单位需统一；（2）线段的比是一个不带单位的数.2.成比例线段对于给定的四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如 （或ab cdabcd），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.3.比例的性质基本性质： adbc （bd0）.ab cd合（分）比性质：若 ，则 .ab cd abb cdd等比性质：若 （bdn0），则 .ab
4、cd mn a c mb d n ab4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使 ，那么点C叫做线段AB的 黄金分割点 ACAB BCAC，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比值为 .5 125.平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.相似三角形6.相似三角形：对应边 成比例 、对应角 相等 的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.7.相似三角形的性质（1）相似三角形的 对应角 相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3
5、）相似三角形的周长比等于 相似比 ，面积比等于 相似比的平方 .8.相似三角形的判定（1） 两 角分别相等的两个三角形相似；（2）两边成比例且 夹角 相等的两个三角形相似；（3）三边 成比例 的两个三角形相似；（4）平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似；（5）对于两个直角三角形，除了以上判定方法外，还可以通过得到：一个锐角相等；两组直角边对应成比例；斜边和一直角边对应成比例来判定这两个直角三角形相似.相似多边形的判定及性质9.相似多边形：两个边数 相同 的多边形，如果各边对应 成比例 ，各角对应 相等 ，就称这两个多边形相似.10.相似多边形的性
6、质3（1）相似多边形的对应边 成比例 ；（2）相似多边形的对应角 相等 ；（3）相似多边形周长的比等于 相似比 ，相似多边形面积的比等于 相似比的平方 .位似图形11.位似图形：如果两个图形的对应点连线都交于一点，并且这一点到各组对应点的距离的比相等，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做 位似中心 .【温馨提示】（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 相似比 .（2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，原图形上点的坐标为（x，y），那么位似图形上的点的坐标为 （kx，ky） 或 （kx，ky） .12.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，
7、若它们的直线或延长线相交于一点，则该点就是 位似中心 .13.位似作图的步骤（1）确定 位似 中心、原图形的关键点、 相似比 （即要将图形放大或缩小的倍数）；（2）作出原图形中各关键点的对应点；（3）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.1.（2018乐山中考）如图，DEFGBC，若DB4FB，则EG与GC的关系是（ B ）A.EG4GCB.EG3GCC.EG GC52D.EG2GC2.（2018内江中考）已知ABC与A 1B1C1相似，且相似比为13，则ABC与A 1B1C1的面积比为（ D ）A.11 B.13 C.16 D.193.（2018资阳中考）已知：如图，ABC的面积为12，点
8、D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为 9 .4.如图，四边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形，若 OAOA23，则四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为（ A ）4A.49 B.25 C.23 D. 2 3中考典题精讲精练线段成比例及比例的性质【典例1】（1）若 ，则 的值为（ D ）yx 34 x yxA.1 B. C. D.47 54 74（2）下列各组线段（单位： cm）中，成比例线段的是（ A ）A.1，2，4，8 B.2，4，6，8C.3，6，8，12 D.3，6，9，12【解析】（1） ， ；（2）根据成比例线段的定义判断即可.yx 34 x y
9、x 4 34位似变换【典例2】如图，ABC三个顶点坐标分别为A（1，3），B（1，1），C（3，2）.（1）请画出ABC关于y轴对称的A 1B1C1.（2）以原点O为位似中心，将A 1B1C1放大为原来的2倍，得到A 2B2C2，请在第三象限内画出A 2B2C2，并求出SA 1B1C1SA 2B2C2的值.【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A 1、B 1、C 1的位置，然 后顺次连结即可得到A 1B1C1；（2）连结A 1O并延长至A 2，使A 2O2A 1O，连结B 1O并延长至B 2，使B 2O2B 1O，连结C 1O并延长至C 2，使C 2O2C 1O，然后顺次连
10、结点A 2、B 2、C 2即可得到A 2B2C2；由变换的方式可知A 1B1C1与A 2B2C2相似，且相似比为12，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方便可求出两个三角形的面积比.【解答】解：（1）A 1B1C1如图所示；（2）A 2B2C2如图所示.将A 1B1C1放大为原来的2倍得到A 2B2C2，A 1B1C1A 2B2C2，且相似比为12，SA 1B1C1SA 2B2C214.相似三角形的性质及判定命题规律：在中考题目中，相似三角形的知识常与解直角三角形、全等三角形、圆、二次函数等知识综合.考查探5索问题、解决问题的能力.【典例4】如图，在直角坐标系中， RtOAB的直角顶点A在x
11、轴上，OA4，AB3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x s（0x4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标；（用含x的代数式表示）（2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使OMN是直角三角形？若存在， 求出x的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由勾股定理求出OB，作NPOA于点P，则NPAB，得出OPNOAB，得出比例式，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；（2）分两种情况：若OMN90，则MNAB，由平行线得出OMNOAB，得出比例式，即可求出x的值；若ONM9
12、0，则ONMOAB，证出OMNOBA，得出比例式，求出x的值即可.【解答】解：（1）根据题意，得MAx，ON1.25x，在 RtOAB中，由勾股定理，得OB 2OA 2AB 2，OB 5.OA2 AB2 42 32作NPOA于点P，如图，则NPAB，OPNOAB， ，PNAB OPOA ONOB即 ，PN3 OP4 1.25x5解得OPx，PN x，点N的坐标是 ；34 (x， 34x)（2）存在某一时刻，使OMN是直角三角形.理由：若OMN90，如图，则MNAB，此时OM4x，ON1.25x.MNAB，OMNOAB，6 ，即 ，OMOA ONOB 4 x4 1.25x5解得x2；若ONM 9
13、0，如图，则ONMOAB，此时OM4x，ON1.25x.ONMOAB，MONBOA，OMNOBA， ，即 ，解得x .OMOB ONOA 4 x5 1.25x4 6441综上所述，x的值是2或 时，OMN是直角三角形.64411.下列各组数中，成比例的是（ A ）A.6，8，3，4 B.7，5，14，5C.3，5，9，12 D.2，3，6，122.如图，直线l 1l 2l 3，直线AC分别交l 1、l 2、l 3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l 1、l 3于点D，E.若AB2，BC4，BD1.5，则线段BE的长为（ C ）A.1 B.2 C.3 D.43.已知 ， ，则abc等于（ C
14、 ）ab 34 bc 35A.345 B.435 C.91220 D.915204.如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位 似图形，相似比为12，OCD90，COCD，若B（1，0），则点C的坐标为（ D ）A.（1，2） B.（2，1）C.（ ， ） D.（1，1）2 2,（第4题图）) ,（第5题图）)5.如图，以点O为位似中心，将ABC放大得到DEF，若ADOA，则ABC与DEF的面积之比为 14 .76.如图，直线y x1与x轴交于点A，与y轴交于点B，BOC与BOC 是以点A为位似中心的位似图形12，且相似比为13，求点B的对应点B的坐标.解：直线y x1与x轴交于点A，与y轴交
15、于点B.12令x0，可得y1，令y0，解得x2，点A和点B的坐标分别为（2，0），（0，1）.BOC与BOC是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为13， ，OB3，OBO B 13点B的坐标为（8，3）或（4 ，3）.7.ABC与DEF的相似比为14，则ABC与DEF的周长比为（ C ）A.12 B.13 C.14 D.1168.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EFFC等于（ D ）A.32 B.31C. 1 1 D.129.在下列命题中，真命题是（ D ）A.两个钝角三角形一定相似 B.两个等腰三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D.两个等边三角形一定相似10.梯形的中位线长为12 cm，上、下底之比为13，则梯形的上、下底之差是 12 .11.如图，在ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DEBC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（ A ）A. B. ADAB AEAC DFFC AEEC8C. D. ADDB DEBC DFBF EFFC12.（20 18宜宾模拟）如图，在矩形ABCD中E是AD边的中点，BEAC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：AEFCAB； tan CAD ；DFDC；CF2AF，正确的是（ C ）2A. B.C. D.
