1、1第 1 讲 平面的基本性质、空间两条直线的位置关系1平面 、 的公共点多于两个，则 ； 、 至少有三个公共点； 、 至少有一条公共直线； 、 至多有一条公共直线以上四个判断中不成立的个数是_解析：由条件知，平面 与 重合或相交，重合时，公共直线多于一条，故错误；相交时不一定垂直，故错误答案：22若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的_条件解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立答案：充分不必要3.如图，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中既与 AB 共面又与 CC1共面的棱有_条解析：依题意，与 AB 和 CC1都相交的棱有 BC；与
2、AB 相交且与 CC1平行有棱 AA1， BB1；与 AB 平行且与 CC1相交的棱有 CD， C1D1.故符合条件的有 5 条答案：54如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E、 H 分别是边 AB、 AD 的中点，点 F、 G 分别是边 BC、 CD 上的点，且 ，则下列说法正确的是_CFCB CGCD 23 EF 与 GH 平行； EF 与 GH 异面； EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上； EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上解析：连结 EH， FG，依题意，可得 EH BD， FG BD，故 EH FG，所以 E、 F、 G、
3、H 共2面因为 EH BD， FG BD，故 EH FG，所以 EFGH 是梯形， EF 与 GH 必相交，设交点为 M.因12 23为点 M 在 EF 上，故点 M 在平面 ACB 上同理，点 M 在平面 ACD 上，所以点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点，又 AC 是这两个平面的交线，所以点 M 一定在直线 AC 上答案：5设 a， b， c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：若 a b， b c，则 a c；若 a， b 是异面直线， b， c 是异面直线，则 a， c 也是异面直线；若 a 和 b 相交， b 和 c 相交，则 a 和 c 也相交其中真命题的个数是_解析：
4、因为 a b， b c，所以 a 与 c 可以相交、平行、异面，故错因为 a， b 异面， b， c 异面，则 a， c 可能异面、相交、平行，故错由 a， b 相交， b， c 相交，则 a， c 可以异面、相交、平行，故错故真命题的个数为 0.答案：06.如图所示，正方体的棱长为 1， B C BC O，则 AO 与 A C所成角的度数为_解析：连结 AC.因为 A C AC，所以 AO 与 A C所成的角就是 OAC(或其补角)因为 OC OB， AB平面 BB C C，所以 OC AB.又 AB BO B，所以 OC平面 ABO.又 OA平面 ABO，所以 OC OA.在 Rt AOC
5、 中， OC ， AC ，22 2sin OAC ，OCAC 12所以 OAC30.即 AO 与 A C所成角的度数为 30.答案：307已知平面 ， P 且 P ，过点 P 的直线 m 与 ， 分别交于 A， C，过点 P 的直线 n 与 ， 分别交于 B， D，且 PA6， AC9， PD8，则 BD 的长为_解析：如图 1，因为 AC BD P，3图 1所以经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD.因为 ， 平面 PCD AB， 平面 PCD CD，所以 AB CD.所以 ，PAAC PBBD即 ，所以 BD .69 8 BDBD 245如图 2，同理可证 AB CD.图 2所以 ，
6、PAPC PBPD即 ，63 BD 88所以 BD24.综上所述， BD 或 24.245答案： 或 242458过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，这样的直线 l 可以作_条解析：如图，连结对角线 AC1，显然 AC1与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等联想正方体的其他对角线，如连结 BD1，则 BD1与棱 BC， BA， BB1所成的角都相等，因为 BB1 AA1， BC AD，所以对角线 BD1与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，同理，对角线A1C， DB1也与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等
7、，故这样的直线 l 可以作 4 条答案：49对于四面体 ABCD，下列命题中：4相对棱 AB 与 CD 所在直线异面；由顶点 A 作四面体的高，其垂足是 BCD 三条高线的交点；若分别作 ABC 和 ABD 的边 AB 上的高，则这两条高所在的直线异面其中正确的是_(填序号)解析：对于，由四面体的概念可知， AB 与 CD 所在的直线为异面直线，故正确；对于，由顶点 A 作四面体的高，当四面体 ABCD 的对棱互相垂直时，其垂足是 BCD 的三条高线的交点，故错误；对于，当DA DB， CA CB 时，这两条高线共面，故错误答案：10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
8、 AB EF； AB 与 CM 所成的角为 60； EF 与 MN 是异面直线； MN CD.以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：将展开图还原为正方体，如图所示，则 AB EF，故正确；AB CM，故错误； EF 与 MN 显然异面，故正确； MN 与 CD 异面，故错误答案：11.如图所示， A 是 BCD 所在平面外的一点， E， F 分别是 BC， AD的中点(1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；(2)若 AC BD， AC BD，求 EF 与 BD 所成的角解：(1)证明：假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与
9、 BC 共面，所以 A， B， C， D 在同一平面内，这与 A 是 BCD 所在平面外的一点相矛盾故直线 EF 与 BD 是异面直线(2)取 CD 的中点 G，连结 EG， FG，则 AC FG， EG BD，所以相交直线 EF 与 EG 所成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角又因为 AC BD，则 FG EG.在 Rt EGF 中，由 EG FG AC，求得 FEG45，即异面直线12EF 与 BD 所成的角为 45.512如图，在三棱锥 PABC 中， PA底面 ABC， D 是 PC 的中点已知 BAC ， AB2， AC2 ， PA2.求： 2 3(1)三棱锥 PABC 的
10、体积；(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值解：(1) S ABC 22 2 ，三棱锥 PABC 的体积为 V S12 3 3 13ABCPA 2 2 .13 3 433(2)如图，取 PB 的中点 E，连结 DE， AE，则 ED BC，所以 ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角在 ADE 中， DE2， AE ， AD2，2cos ADE .22 22 2222 34故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 .341设 P 表示一个点， a、 b 表示两条直线， 、 表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题序号是_ P a， P a ； a b P， b
11、 a ； a b， a ， P b， P b ； b， P ， P P b；解析：当 a P 时， P a， P ，但 a ，所以错；a P 时，错；如图，因为 a b， P b，所以 Pa，所以由直线 a 与点 P 确定唯一平面 ，又 a b，由 a 与 b 确定唯一平面 ，但 经过直线 a 与点 P，所以 与 重合，所以 b ，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确答案：2(2019徐州模拟)在正四棱锥 VABCD 中，异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为_解析：如图，设 AC BD O，连结 VO，因为四棱锥 VABCD 是正四棱锥，所以 VO平面 ABCD，故 BD VO.又
12、四边形 ABCD 是正方形，所以6BD AC，所以 BD平面 VAC，所以 BD VA，即异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为 . 2答案： 23如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， P 为 BC 的中点， Q 为线段 CC1上的动点，过点 A， P， Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S，则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当 0CQ 时， S 为四边形；12当 CQ 时， S 为等腰梯形；12当 CQ 时， S 与 C1D1的交点 R 满足 C1R ；34 13当 CQ1 时， S 为六边形；34当 CQ1 时， S 的面积为 .62解析：过 A 作 AM
13、PQ 交 DD1或 A1D1于 M.当 0CQ 时， M 在 DD1上，连结 MQ，则截面12为 AMQP，故正确当 CQ 时， M 与 D1重合，截面为 AD1QP，显然为等腰梯形，正确当 CQ 时， M12 34在 A1D1上，且 D1M .13过 M 作 MR AP 交 C1D1于 R，则 MD1R PBA，从而 D1R ，即 C1R ，故正确23 13当 CQ1 时，截面为 AMRQP，为五边形，即错误34当 CQ1 时， M 为 A1D1的中点，截面 AMC1P 为菱形，而 AC1 ， PM ，故面积为3 2 ，正确12 3 2 62答案：4设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，1
14、， 和 a，且长为 a 的棱与长为 的棱异2 2面，则 a 的取值范围是_7解析：如图所示， AB ， CD a，设点 E 为 AB 的中点，则2ED AB， EC AB，则 ED ，同理 EC .由构成三角形的AD2 AE222 22条件知 0aED EC ，所以 0a .2 2答案：(0， )25.如图，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形， BAD FAB90， BC 綊 AD， BE 綊 FA， G， H 分别为12 12FA， FD 的中点(1)求证：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C， D， F， E 四点是否共面？为什么？解：(1
15、)证明：由题设知， FG GA， FH HD，所以 GH AD.又 BC AD， 12 12故 GH BC. 所以四边形 BCHG 是平行四边形(2)C， D， F， E 四点共面理由如下：由 BE FA， G 是 FA 的中点知， BE GF， 12 所以 EF BG. 由(1)知 BG CH，所以 EF CH，故 EC、 FH 共面又点 D 在直线 FH 上，所以 C， D， F， E 四点共面6.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA底面ABCD， E 是 PC 的中点已知 AB2， AD2 ， PA2.求：2(1)三角形 PCD 的面积；(2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小解：(1)因为 PA底面 ABCD，所以 PA CD，又 AD CD， PA AD A，所以 CD平面PAD，又因为 PD平面 PAD，所以 CD PD.因为 PD 2 ， CD2，22 （ 22） 2 3所以 Rt PCD 的面积为 22 2 .12 3 38(2)取 PB 的中点 F，连结 EF、 AF，则 EF BC，从而 AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角易得 AE2，在 AEF 中，由EF 、 AF 、 AE2 知 AEF 是等腰直角三角形，所以 AEF .2 2 4因此，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 . 4
