1、第16讲 概率、离散型随机变量及其分布,总纲目录,考点一 古典概型与几何概型,1.古典概型的概率公式 P(A)= = . 说明 求事件包含的基本事件数常用到计数原理与排列、组 合的相关知识.,2.几何概型的概率公式 P(A)= .,1.(2018课标全国,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的 研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的 偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数 中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( ) A. B. C. D.,答案 C 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10 个,
2、从这10个素数中随机选取两个不同的数,共有 =45种情况,而 和为30的有7+23,11+19,13+17这3种情况, 所求概率为 = .故选C.,2.(2018开封高三定位考试)已知函数y=cos x,x ,则cos x 的概率是 .,答案,解析 由cos x 得 +2kx +2k,kZ,又x ,所 以满足条件的x ,故所求概率P= .,3.(2018潍坊统一考试)如图,六边形ABCDEF是一个正六边形,若 在正六边形内任取一点,则该点恰好在图中阴影部分的概率是 .,答案,解析 设正六边形的中心为点O,BD与AC交于点G,BC=1,则BG= CG,BGC=120,在BCG中,由余弦定理得1=
3、BG2+CG2-2BGCG cos 120,得BG= ,所以SBCG= = ,因为S正六边形 ABCDEF=SBOC6= 11sin 606= ,所以该点恰好在图中阴影 部分的概率是1- = .,方法归纳,1.古典概型求解的关键点 (1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,这常常 用到排列、组合的有关知识; (2)对于较复杂的题目计数时要正确分类,分类时应不重不漏.,2.几何概型的适用条件及其关键 (1)适用条件:当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧 长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解. (2)关键:寻找构成试验全部结果的区域和事件发生的区域是关 键,有时需要设出变量,在
4、坐标系中表示所需要的区域.,考点二 相互独立事件和独立重复试验(高频考点),1.条件概率 在事件A发生的条件下事件B发生的概率: P(B|A)= .,2.相互独立事件同时发生的概率 P(AB)=P(A)P(B).,3.独立重复试验、二项分布 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复 试验中恰好发生k次的概率为 Pn(k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,n.,命题角度一 条件概率,例1 一个口袋中装有6个小球,其中红球4个,白球2个.如果不放 回地依次摸出2个小球,则在第1次摸出红球的条件下,第2次摸出 红球的概率为 .,答案,解析 设“第一次摸出红球”为事件A,“第
5、2次摸出红球”为事 件B,则“第1次和第2次都摸出红球”为事件AB,所求事件为B|A. 事件A发生的概率为P(A)= = , 事件AB发生的概率为P(AB)= = . 由条件概率的计算公式可得,所求事件的概率为P(B|A)= = .,方法归纳,条件概率的求法 (1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)= .这是通用的求 条件概率的方法. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再 在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数,即n(AB),得P (B|A)= .,例2 (2018北京,17节选)电影公司随机收集了电影的有关数据, 经分类整理得到下表:,命
6、题角度二 相互独立事件与独立重复试验的概率,好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数 的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好 评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获 得好评的概率.,解析 (1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+80 0+510=2 000, 第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50, 故所求概率为 =0.025. (2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,事 件B为“从第五类电影中随机选出的电影获
7、得好评”. 故所求概率为P(A + B)=P(A )+P( B)=P(A)(1-P(B)+(1-P(A)P (B). 由题意知P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2. 故所求概率估计为0.250.8+0.750.2=0.35.,方法归纳,求相互独立事件的概率的两种方法 (1)直接法:正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼 此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件 或独立重复试验问题,然后用相应概率公式求解. (2)间接法:当复杂事件正面情况较多,反面情况较少时,可利用其 对立事件进行求解.“至少”“至多”等问题往往也用这种方法 求解.,1.小赵、小钱、小孙、小李到4
8、个景点旅游,每人只去一个景点, 设事件A=“4个人去的景点不相同”,事件B=“小赵独自去一个 景点”,则P(A|B)= ( ) A. B. C. D.,答案 A 小赵独自去一个景点,则有4个景点可选,其余3人只能 在剩下的3个景点中选择,共有333=27种选取方法,所以小赵独 自去一个景点共有427=108种选取方法. 4个人去的景点不相同共有4321=24种选取方法. 所以P(A|B)= = .故选A.,2.(2018惠州第二次调研)某学校为了丰富学生的课余生活,以班 级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛,随机抽取一首,背诵正确 加10分,背诵错误减10分,且背诵结果只有“正确”和“错误”两
9、种.其中某班级学生背诵正确的概率为 ,记该班级完成n首背诵 后的总得分为Sn. (1)求S6=20且Si0(i=1,2,3)的概率; (2)记=|S5|,求的分布列.,解析 (1)当S6=20时,即背诵6首后,正确的有4首,错误的有2首. 由Si0(i=1,2,3)可知,若第一首和第二首背诵正确,则其余4首可 任意背诵正确2首; 若第一首背诵正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余3首 可任意背诵正确2首. 则所求的概率P= + = . (2)由题意知=|S5|的所有可能的取值为10,30,50, 又该班级学生背诵正确的概率为 , P(=10)= + = ,P(=30)= + = , P(
10、=50)= + = , 的分布列为,考点三 随机变量的分布列、均值与方差,1.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为实数). (2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为实数).,2.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p). (2)若XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).,命题角度一 随机变量的均值与方差,例1 (2018贵阳适应性考试(一)某高校通过自主招生方式在贵 阳招收一名优秀的高三毕业生,经过层层筛选,甲、乙两名学生进 入最后测试,该校设计了一个测试方案:甲、乙两名学生各自从6 个问
11、题中随机抽3个问题.已知这6个问题中,学生甲能正确回答其 中的4个问题,而学生乙能正确回答每个问题的概率均为 ,甲、 乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的. (1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率; (2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两名学生哪位被录取的可 能性更大.,解析 (1)由题意可得,所求概率为 P= + = . (2)设学生甲答对的题数为X,则X的所有可能取值为1,2,3. P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = ,则E(X)=1 + 2 +3 =2, D(X)=(1-2)2 +(2-2)2 +(3-2) = , 设学生乙答对的题数为Y,
12、则Y的所有可能取值为0,1,2,3. 由题意可知YB ,所以E(Y)=3 =2,D(Y)=3 = . 因为E(X)=E(Y),D(X)D(Y), 所以甲被录取的可能性更大.,方法归纳,随机变量分布列问题的两个关键点 (1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一 个值所表示的具体事件,然后综合应用各类概率公式求概率. (2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列, 若随机变量服从二项分布,则可直接使用公式法求解.,例2 (2018南宁摸底联考)某省高考改革实施方案指出:该省高考 考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主 选择的学业水平等级性考试科目成绩
13、共同构成,该省教育厅为了 解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的态度,从中随机 抽取了100名城乡家长进行调查,调查结果显示样本中有25人持 不赞成意见,下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图.,命题角度二 均值、方差与统计的综合问题,(1)根据已知条件与等高条形图完成下面的22列联表,并判断能 否有95%的把握认为“对高考改革方案的态度与城乡户口有 关”;,(2)用样本的频率估计概率,若随机在全省不赞成高考改革方 案的家长中抽取3个,记这3个家长中是城镇户口的人数为X,试求 X的分布列及数学期望E(X). 注:K2= ,其中n=a+b+c+d.,解析 (1)完成22列联表如下:,K2=
14、 = 3.033.841, 没有95%的把握认为“对高考改革方案的态度与城乡户口有 关”. (2)用样本的频率估计概率,随机在全省不赞成高考改革方案的家 长中抽取一人,该人是城镇户口的概率为0.6,是农村户口的概率 为0.4,X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=0)=(0.4)3=0.064, P(X=1)= 0.6(0.4)2=0.288, P(X=2)= (0.6)20.4=0.432, P(X=3)= (0.6)3=0.216, X的分布列为,E(X)=00.064+10.288+20.432+30.216=1.8.,方法归纳 均值、方差与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数
15、据 的分布等,在解题中首先要处理好数据,如数据的个数、数据的分 布规律等,即把数据分析清楚,再根据题目要求进行相关计算.,1.(2018武汉调研)甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”,在相 同条件下,两人6次测试的成绩(单位:分)记录如下:甲 86 77 92 72 78 84乙 78 82 88 82 95 90 (1)用茎叶图表示这两组数据,现要从中选派一名运动员参加比 赛,你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算); (2)若将频率视为概率,对运动员甲在今后3次测试中的成绩进行 预测,记这3次测试的成绩高于85分的次数为X,求X的分布列和数 学期望E(X)及方差D(X).,解析 (1)茎叶
16、图如图:,由图可知乙的平均水平比甲高,故选派乙参赛更好. (2)由题意得,甲运动员每次测试的成绩高于85分的概率是 ,3次 测试的成绩高于85分的次数X服从二项分布,X所有可能的取值为 0,1,2,3, P(X=0)= = ,P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=3)= = . 故X的分布列为,E(X)=3 =1,D(X)=3 = .,2.(2017课标全国,18,12分)某超市按月订购一种酸奶,每天进货 量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理, 以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求 量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低
17、于25 ,需 求量为500瓶;如果最高气温位于区间20 ,25 ),需求量为300 瓶;如果最高气温低于20 ,需求量为200瓶.为了确定六月份的订 购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数 分布表:,以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这 种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大 值?,解析 (1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知 P(X=200)= =0.2,P(X=300)=
18、=0.4,P(X=500)= =0.4. 因此X的分布列为,(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶, 因此只需考虑200n500. 当300n500时, 若最高气温不低于25 ,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温位于区间20 ,25 ), 则Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 若最高气温低于20 ,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n. 当200n300时, 若最高气温不低于20 ,则Y=6n-4n=2n;,若最高气温低于20 ,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n. 所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.,
