1、4.7 解三角形,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,1.正弦定理和余弦定理 在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,2.三角形中的常见结论 (1)在ABC中,A+B+C=. (2)在ABC中,ABabsin Asin B. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,4.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线 的
2、角叫做仰角,目标视线在水平视线 的角叫做俯角(如图).,上方,下方,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30、北偏西45、西偏北60等. (3)方位角:指从正北方向 转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.,顺时针,2,-8-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)在ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c. ( ) (2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形. ( ) (3)在
3、ABC中,sin Asin B的充分不必要条件是AB. ( ) (4)在ABC中,a2+b2c2是ABC为钝角三角形的充分不必要条件. ( ) (5)在ABC的角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个. ( ),答案,6,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,6,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b= ,c=3,则A= .,6,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos
4、 A,则B= .,6,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.(教材习题改编P10T2)在ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为 .,答案,解析,6,-13-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,6,6.一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向,行驶4 h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15方向,这时船与灯塔的距离为 km.,答案,解析,-14-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,6,自测点评 1.在一个三角形中,边和角共有6个量,已知3个量(其中至少有一边)就可解三角形. 2.判断三角形形状的两种思
5、路:一是化边为角;二是化角为边,并用正弦定理(或余弦定理)实施边、角转换.,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos 2A=,(1)求a的值; (2)若角A为锐角,求b的值及ABC的面积. 思考已知怎样的条件能用正弦定理解三角形?已知怎样的条件能用余弦定理解三角形?,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,2.已知两边b,c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccos A,先求出a,再求出角B,C. 3.已知三边a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.,-18-,考点1,考点2,考点3
6、,考点4,(2)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cos A(ccos B+bcos C)=a. 求A;,4,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)解析:由于3sin A=2sin B,根据正弦定理可得3a=2b. 又a=2,所以b=3.,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)解:由正弦定理可知,2cos A(sin Bcos C+sin Ccos B)=sin A, 即2cos Asin A=sin A. 因为A(0,),所以sin A0,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(
7、2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角A的大小; (2)若sin B+sin C= ,试判断ABC的形状. 思考判断三角形的形状时主要有哪些方法?,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,即sin(B+30)=1. 0B120,30B+30150. B+30=90,即B=60. A=B=C=60,ABC为等边三角形.,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考.主要有以下两条途径: (1)“角化边”:把已知条件(一般是边的一次式,角的正弦、余弦)转化为只含边的关系,通过因式
8、分解、配方等得到边的对应关系,从而判断三角形形状. (2)“边化角”:把已知条件(边的二次式、两边的积、角的余弦)转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形形状,此时要注意A+B+C=这个结论. 注意:(1)在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,以免漏解. (2)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.,(2)若sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断ABC的形状.,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,(
9、2)由题意得sin C+sin(B-A)=sin 2A, sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A,即sin Acos B+cos Asin B+sin Bcos A-cos Bsin A=2sin Acos A, 所以有sin Bcos A=sin Acos A, 当cos A=0时,A= ,ABC为直角三角形; 当cos A0时,sin B=sin A,由正弦定理得a=b,ABC为等腰三角形.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,例3(2018东北三省三校三模)已知函数f(x)=4 sin xcos x+sin2x-3cos2x+1. (1)求函数f(x)的对称中心
10、及最小正周期;,思考在三角形中进行三角变换要注意什么?,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,acos B+bsin B=c,sin Acos B+sin2B=sin C. 又A+B+C=,sin Acos B+sin2B=sin(A+B), 即sin Acos B+sin2B=sin Acos B+cos Asin B, 得sin2B=cos Asin B. B(0,),sin B0,sin B=cos A.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.在三角形中进行三角变换要注意隐含条件:A+B+C=,使用这个隐含条件可以减少未知数的
11、个数. 2.在解三角形问题中,因为面积公式 中既有边又有角,所以要和正弦定理、余弦定理联系起来;要灵活运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,为三角变换提供了条件.,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)求角A的大小;,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,例4如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山脚C在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山脚C在西偏北75的方向上,山顶D的仰角为30,则此山的高度CD= m. 思考利用正弦、余弦定理解决实际问题的一般思路是什么?,答案,-34-,考点1,考点
12、2,考点3,考点4,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得利用正弦、余弦定理解决实际问题的一般思路:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=7
13、5;从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,则山高MN= m.,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,-38-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系. 2.在已知关系式中,既含有边又含有角,通常的解题思路:先将角都化成边或将边都化成角,再结合正弦定理、余弦定理即可求解. 3.在ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理时,会出现解的不确定性,一般可根据“大边对大角”来取舍.,-39-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.在解三角形中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数值的符号,防止出现增解等扩大范围的现象. 2.在判断三角形的形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.,
