1、第9讲 立体几何的综合问题,第9讲 立体几何的综合问题 1.分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是 .,答案 异面或相交,解析 当两条直线与两条异面直线的交点有4个时,两条直线异面;当两条直 线与两条异面直线的交点有3个时,两条直线相交(如图).,2.过平面外一条直线的平面与平面垂直,则平面的个数可以是 .,答案 一个或无数个,解析 若这条直线与平面垂直,则平面有无数个;若这条直线与平面不垂 直,则平面只有1个.,3.已知,是三个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:如果m,m, 那么;如果mn,m,那么n;如果,m,那么m;如果 ,=m,=n,那么mn.其中正确的命题有 .(写出
2、所有正确命 题的序号),答案 ,解析 由面面垂直的判定定理可知正确;如果mn, m,那么n,位置关 系不确定,可能平行或n,错误;如果,m,那么m,位置关系不确定, 错误;由面面平行的性质定理可知正确.,4.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则 四面体ABCD外接球的体积为 .,答案 ,解析 四面体ABCD外接球的球心在AC的中点,则球的半径R= |AC|= ,体积 为 R3= = .,题型一 空间位置关系的证明与计算,例1 (2017江苏盐城期末) 如图,已知平行四边形ABCD中,BC=6,正方形 ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G、H
3、分别是DF、BE的中点. (1)求证:GH平面CDE; (2)若CD=2,DB=4 ,求四棱锥F-ABCD的体积.,解析 (1)证明:连接FC,EFAD,ADBC, EFBC. 又EF=AD=BC,四边形EFBC是平行四边形. 又H为BE的中点,H为FC的中点. 又G是FD的中点,HGCD. HG平面CDE,CD平面CDE, GH平面CDE.,(2)平面ADEF平面ABCD,交线为AD,且FAAD, FA平面ABCD.AD=BC=6, FA=AD=6. 又CD=2,DB=4 , CD2+DB2=BC2,BDCD.,SABCD=CDBD=8 , VF-ABCD= SABCDFA= 8 6=16
4、.,【方法归纳】 解决空间几何体的体积计算的步骤大致有作、证、求,即作 出相关的辅助线,证明空间线面垂直,最后利用体积公式计算,所以要重视逻 辑推理在空间计算中的应用.,1-1 (2018江苏高考信息预测)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA底面 ABCD,四边形ABCD为矩形,AD=2AB=2AP=2,E为PD上一点,且PE=2DE. (1)若F为PE的中点,求证:BF平面ACE; (2)求三棱锥P-ACE的体积.,解析 (1)证明:PE=2DE,F为PE的中点, E为DF的中点. 连接BD,与AC的交点为O,连接OE. 四边形ABCD为矩形,O为BD中点. BFOE. 又OE平面ACE,
5、BF平面ACE,BF平面ACE. (2)侧棱PA底面ABCD,且四边形ABCD为矩形. CDPA,CDAD. 又PAAD=A,PA,AD平面PAD,CD平面PAD.,三棱锥P-ACE的体积VP-ACE=VC-PAE = SPAE|CD|= SPAD|CD| = 211= .,题型二 立体几何中的翻折问题,例2 (2018江苏高考信息预测)如图1,在平面多边形BCDEF中,四边形ABCD 为正方形,EFAB,AB=2EF=2,沿着AB将图形折成图2,其中AED=90,AE= ED,H为AD的中点.,(1)求证:EHBD; (2)求四棱锥D-ABFE的体积.,解析 (1)证明:由题可知,ABEA,
6、ABAD,且EAAD=A,EA,AD平面AED. 所以AB平面AED. 因为EH平面AED,所以ABEH. 因为AE=ED,H是AD的中点,所以EHAD. 又ABAD=A,AB,AD平面ABCD,所以EH平面ABCD. 又因为BD平面ABCD,所以EHBD. (2)VD-ABFE=VE-ABD+VB-DEF. 其中VE-ABD= ABADEH= 221= .,因为 = ,且VB-DFC=VF-BCD, 所以VB-DEF= VB-DFC= VF-BCD, 所以VD-ABFE=VE-ABD+VB-DEF= + 221=1.,【方法归纳】 平面图形翻折问题的求解方法: 解决与折叠有关问题的关键是搞清
7、折叠前后的变量和不变量,一般情况下, 线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的 突破口. 在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要 分析折叠前的图形.,2-1 如图所示,四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90, 将ABD沿BD折起,记折起后A的位置为点P,且平面PBD平面BCD(如图 ).求证:(1)CD平面PBD;(2)平面PBC平面PDC.,证明 (1)AD=AB,BAD=90, ABD=ADB=45. 又ADBC,DBC=ADB=45. 又DCB=45,BDC=90,即BDDC. 平面PBD平面BCD,平面
8、PBD平面BCD=BD, CD平面PBD. (2)由CD平面PBD得CDBP. 又BPPD,PDCD=D,BP平面PDC, 又BP平面PBC,平面PBC平面PDC.,题型三 立体几何中的探索性问题,例3 (2017江苏扬州中学高三期中)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1 ABB1是菱形,且垂直于底面ABC,A1AB=60,E,F分别是AB1,BC的中点. (1)求证:直线EF平面A1ACC1; (2)在线段AB上确定一点G,使平面EFG平面ABC,并给出证明.,解析 (1)证明:连接A1C,A1B. 侧面A1ABB1是菱形,E是AB1的中点, E也是A1B的中点, 又F是BC的中
9、点,EFA1C. A1C平面A1ACC1,EF平面A1ACC1, 直线EF平面A1ACC1.,(2)当 = 时,平面EFG平面ABC, 证明如下:连接EG,FG. 侧面A1ABB1是菱形,且A1AB=60,A1AB是等边三角形. E是A1B的中点, = , EGAB. 平面A1ABB1平面ABC, 且平面A1ABB1平面ABC=AB, EG平面ABC. 又EG平面EFG,平面EFG平面ABC.,【方法归纳】 立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究 以及对条件和结论不完备的开放性问题的探究,解决这类问题一般根据探索 性问题的设问,假设其存在并探索出结论,然后在这个假设下进行推理论证,
10、 若得到合乎情理的结论,则肯定假设,若得到矛盾的结论,则否定假设.,3-1 (2017江苏无锡模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的 中点. (1)证明:平面ADC1B1平面A1BE; (2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F平面A1BE?证明你的结论.,解析 (1)证明:因为立体图形ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以B1C1平面ABB1 A1, 因为A1B平面ABB1A1,所以B1C1A1B. 又因为A1BAB1,B1C1AB1=B1,所以A1B平面ADC1B1. 因为A1B平面A1BE,所以平面ADC1B1平面A1BE. (2)当点F为C1D1的中点时,B1F平面A1BE.证明如下: 如图,连接OE,EF,易知EFC1D,且EF= C1D. 又因为B1OC1D且B1O= C1D, 所以EFB1O且EF=B1O,所以四边形B1OEF为平行四边形, 所以B1FOE. 又因为B1F平面A1BE,OE平面A1BE, 所以B1F平面A1BE.,
