1、微专题8 解析几何中最值与取值范围的问题,微专题8 解析几何中最值与取值范围的问题 题型一 利用图形的性质求解,例1 (2017江苏无锡期末)已知椭圆 + =1,动直线l与椭圆交于B,C两点.若 点B的坐标为 ,求OBC面积的最大值.,解析 由已知得,直线OB的方程为y= x,即3x-2y=0.设经过点C且平行于直线 OB的直线l的方程为y= x+b,则当l与椭圆只有一个公共点时,OBC的面积 最大.由 消去y并整理,得3x2+3bx+b2-3=0.由=9b2-12(b2-3)=0,解得b =2 .当b=2 时,C ;当b=-2 时,C .所以OBC面积的最 大值为 = .,【方法归纳】 圆锥
2、曲线上的点到定点的距离的最值问题,常用两点间的距离公式转化为在某区间的二次函数的最值问题解决,有时也用圆锥曲线的参数方程,化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解.圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法.,1-1 设P是椭圆 + =1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上 的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为 、 .,答案 8;12,解析 由椭圆及圆的方程可知,两圆圆心分别为椭圆的两个焦点.由椭圆的定 义知,|PA|+|PB|=2a=10.连接PA,PB,分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|
3、+|PN|最 小,最小值为|PA|+|PB|-2=8;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于M,N两点,此时 |PM|+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2=12.综上,|PM|+|PN|的最小值和最大值分 别为8,12.,1-2 (2018如东高级中学第二学期阶段测试)在平面直角坐标系xOy中,已 知B,C为圆x2+y2=4上两点,点A(1,1),且ABAC,则线段BC的长的取值范围是 .,答案 - , + ,解析 设BC的中点为D,连接AD,OD.由ABAC,得BC=2AD,ODBC,OD2+ DC2=OC2,即OD2+AD2=OC2.设D(x,y),则x2+y2+(x-1)2+(y
4、-1)2=4,化简,得 += ,此即为点D的轨迹方程,圆心 与点A(1,1)之间的距离为 ,则- AD + .所以BC=2AD - , + .,题型二 利用不等式求解,例2 (2017苏北四市期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: + = 1(ab0)的离心率为 ,且右焦点F到左准线的距离为6 . (1)求椭圆C的标准方程; (2)设A为椭圆C的左顶点,P为椭圆C上位与x轴上方的点,直线PA交y轴于点M, 过点F作MF的垂线,交y轴于点N. 当直线PA的斜率为 时,求FMN的外接圆的方程; 设直线AN交椭圆C于另一点Q,求APQ的面积的最大值.,解析 (1)由题意,得 解得 所以b
5、=2 . 所以椭圆C的标准方程为 + =1. (2)由题意,设直线PA的方程为y=k(x+4),b0,则M(0,4k). 所以直线FN的方程为y= (x-2 ),则N .,当直线PA的斜率为 ,即k= 时,M(0,2),N(0,-4), 因为MFFN,F(2 ,0), 所以FMN的外接圆的方程为x2+(y+1)2=9. 由 消去y并整理,得,(1+2k2)x2+16k2+32k2-16=0. 解得x1=-4或x2= .所以P . 又易知直线AN的方程为y=- (x+4), 同理可得,Q , 所以P,Q关于原点对称,即直线PQ过原点. 所以APQ的面积S= |OA|(yP-yQ)=2 = 8 ,
6、当且仅当2k= ,即,k= 时,取等号. 所以APQ的面积的最大值为8 .,【方法归纳】 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主 要是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数式表示为某个(些)参数的 表达式,然后利用基本不等式等进行求解.,2-1 (2018盐城中学高三数学阶段性检测)在平面直角坐标系中,中心在原点, 对称轴为坐标轴的椭圆,点F1(0,1)是它的一个焦点.A,B分别为上顶点和右顶 点,原点O到线段AB的距离为 . (1)求椭圆E的标准方程; (2)过原点O的直线与线段AB交于点D,与椭圆交于点E,求四边形AEBF面积的 最大值.,解析 (1) + =1. (2)
7、设EF的方程为y=kx(k0). 由 得4x2+3k2x2=12.所以 = , = . 所以|EF|=2|OE|=2 =2 . 又点A,B到EF的距离为h1= ,h2= , 所以四边形AEBF的面积为S= .,又因为(2+ k)22(4+3k2),所以 ,所以S2 . 故四边形AEBF面积的最大值为2 .,题型三 利用函数的方法求解,例3 (2017苏锡常镇二模)已知椭圆C: + =1(ab0)的左焦点为F(-1,0),左 准线方程为x=-2. (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知直线l交椭圆C与A,B两点. 若直线l经过椭圆C的左焦点F,交y轴于点P,且满足 = , = ,求证: +为定值
8、; 若A,B两点满足OAOB(0为坐标原点),求AOB的面积的取值范围.,解析 (1)由已知,得c=1, =2.解得a2=2,则b2=1.所以椭圆C的标准方程为 +y2=1. (2)证明:由题设,直线l的斜率存在. 设直线l的方程为y=k(x+1),则P(0,k).,设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入椭圆的方程,得x2+2k2(x+1)2=2.整理,得(1 +2k2)x2+4k2x+2k2-2=0. x1+x2= ,x1x2= . 由 = , = ,知= ,= , +=- =- = =-4(定值). 当直线OA,OB分别与坐标轴重合时,易知AOB的面积S= ;,当直线OA
9、,OB的斜率均存在且不为零时, 设直线OA:y=kx,直线OB:y=- x,A(x1,y1),B(x2,y2), 将y=kx代入椭圆C的方程,得x2+2k2x2=2. 所以 = , = .同理, = , = . 所以AOB的面积S= = . 令t=k2+1,则t1,+), S= = .,令u= ,则u(0,1, S= = .综上所述,S .,【方法归纳】 解决有关范围、最值问题时,首先要恰当地引入变量(如点的 坐标、角、斜率等),建立目标函数,然后通过求这个函数的值域解决问题.圆 锥曲线中的范围与最值问题大致可分为两类:一是设计距离、面积的最值以 及与之相关的一些问题;二是求直线与圆锥曲线中几
10、何元素的范围与最值,以 及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.,3-1 (2018如东高级中学第二学期阶段测试)已知圆M:x2+(y-4)2=4,点P是直线 l:x-2y=0上的一动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B. (1)当切线PA的长度为2 时,求点P的坐标; (2)若PAM的外接圆为圆N,试问:当P运动时,圆N是否过定点?若过点定,求出 所有的定点的坐标;若不过定点,请说明理由; (3)求线段AB长度的最小值.,解析 (1)由题可知,圆M的圆心M(0,4),半径r=2. 设P(2b,b). 因为PA是圆M的一条切线,所以MAP=90. 所以MP= = =4. 解得b=0或b= .所以P(0,0)或P . (2)设P(2b,b).因为MAP=90,所以经过A,P,M三点的圆N以MP为直径, 其方程为(x-b)2+ = ,即(2x+y-4)b-(x2+y2-4)=0. 由 解得 或 所以圆过定点(0,4), . (3)因为圆N的方程为(x-b)2+ = ,即x2+y2-2bx-(b+4)y+4b=0,圆M:x2+(y-4)2=4,即x2+y2-8y-12=0,由-,得圆M与圆N相交弦AB所在直线方程为2bx+(b-4)y+12-4b=0, 所以点M到直线AB的距离d= , 相交弦长AB=2 =4 =4 当b= 时,AB有最小值 .,
