1、9.3 圆的方程,-2-,知识梳理,双基自测,2,1,1.圆的定义及方程,一定点,定长,(a,b),r,-3-,知识梳理,双基自测,2,1,2.点与圆的位置关系 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0), (1)(x0-a)2+(y0-b)2 r2点在圆上; (2)(x0-a)2+(y0-b)2 r2点在圆外; (3)(x0-a)2+(y0-b)2 r2点在圆内.,=,2,-4-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,答案,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.圆心在y轴上,且过点(-1,2)并与x轴相切的圆的标准方程为( ),答案,解析,-6-,知识梳理,
2、双基自测,2,3,4,1,5,3.(2018天津,文12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .,答案,解析,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为 .,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为 .,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.求圆的标准方程,一定要抓住圆的圆心和半径两个核心要素.
3、2.配方法在圆的一般方程化为标准方程时起关键作用,因此要熟练掌握. 3.求轨迹方程时,一定要结合已知条件进行检验,以防漏解或增解.,-10-,考点1,考点2,考点3,例1(1)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2,答案: (1)B (2)(x+3)2+(y-3)2=10,(2)圆心在直线x+y=0上,且过两圆x2+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程为 .
4、思考求圆的方程有哪些常见方法?,-11-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)(方法一)设出圆心坐标,根据该圆与两条直线都相切列方程即可.即|a|=|a-2|,解得a=1,故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. (方法二)题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这两条平行线之间的距离 ;圆心是直线x+y=0被这两条平行线所截线段的中点,直线x+y=0与直线x-y=0的交点坐标是(0,0),与直线x-y-4=0的交点坐标是(2,-2),故所求圆的圆心坐标是(1,-1),所求圆C的方程是(x-1)2+(y+1)2=2. (方法三)作为选择题也可以验证解答.圆心在x+y=0上,排除选
5、项C,D,再验证选项A,B中圆心到两直线的距离是否等于半径2即可.,-12-,考点1,考点2,考点3,圆的方程是(x+3)2+(y-3)2=10.,-13-,考点1,考点2,考点3,(方法二)由方法一,知两圆交点为A(-4,0),B(0,2).,圆的方程是(x+3)2+(y-3)2=10.,-14-,考点1,考点2,考点3,方法三(圆系法):设经过两圆交点的圆系方程为(x2+y2-2x+10y-24)+(x2+y2+2x+2y-8)=0(-1),即1-5-=0,=-2, 所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.,-15-,考点1,考点2,考点3,解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的
6、圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:圆心在过切点且垂直切线的直线上;圆心在任一弦的中垂线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.,-16-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 .,(2)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上,则圆C的方程为 .,答案: (1)(x-3)2+y2=2 (2)(x-3)2+(y-1)2=9,-17-,考点1
7、,考点2,考点3,解析: (1)(方法一)由已知kAB=0,所以AB的中垂线方程为x=3. 过B点且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.,-18-,考点1,考点2,考点3,(方法二)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0), 因为点A(4,1),B(2,1)在圆上,-19-,考点1,考点2,考点3,例2如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.思考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法?,-20-,
8、考点1,考点2,考点3,解:设动点P(x,y),由题意可知P是ABD的重心. 由A(-1,0),B(1,0),令动点C(x0,y0),-21-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. 2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.,-22-,考点
9、1,考点2,考点3,对点训练2已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程; (2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.,-23-,考点1,考点2,考点3,解 (1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知, P点坐标为(2x-2,2y). 因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1. 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)设PQ的中点为N(x,y).在RtPBQ中,|PN|=|BN|. 设O为坐标原点,连接ON,则ONPQ,所以|OP|2=
10、|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.,-24-,考点1,考点2,考点3,-25-,考点1,考点2,考点3,-26-,考点1,考点2,考点3,考向二 截距型最值问题 例4在例3的条件下求y-x的最大值和最小值. 思考如何求解形如ax+by的最值问题?,-27-,考点1,考点2,考点3,-28-,考点1,考点2,考点3,考向三 距离型最值问题 例5在例3的条件下求x2+y2的最大值和最小值. 思考如何求解形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题?,解 如图所示,x2+y2表示圆上的
11、一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.,-29-,考点1,考点2,考点3,考向四 建立目标函数求最值问题 例6设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为 . 思考如何借助圆的几何性质求有关线段长的最值?,答案: x+y-2=0,-30-,考点1,考点2,考点3,-31-,考点1,考点2,考点3,解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律: (1)借助几何性质求最值 形如 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题; 形如t=ax+by的最值问题,可转化
12、为动直线的截距的最值问题; 形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (2)建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,利用基本不等式求最值是比较常用的.,-32-,考点1,考点2,考点3,(2)已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)2=1,则2x-y的最大值为 ,最小值为 . (3)已知P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-1)2=1上移动,则x2+y2的最小值为 . (4)设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条
13、切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为 .,-33-,考点1,考点2,考点3,-34-,考点1,考点2,考点3,-35-,考点1,考点2,考点3,求半径常有以下方法: (1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(或切线)的距离等于半径; (2)若已知弦长、弦心距、半径,则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得.1.求圆的方程需要三个独立条件,因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式. 2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质. 3.解决与圆有关的轨迹问题,一定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹.,-36-,易错警示轨迹问题易忘记特殊点的检验而致误 典例设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.,-37-,-38-,反思提升1.本题易忘记四边形MONP为平行四边形,导致不能除去两个特殊点. 2.本题也容易把求点P的轨迹理解成只求点P的轨迹方程,要知道,求一动点满足的轨迹除了要求出轨迹方程,还要说明方程对应的是什么曲线.,
