1、6.2 等差数列及其前n项和,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,1.等差数列 (1)定义:一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d表示.数学语言表示为 (nN*),d为常数. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是 ,其中A叫做a,b的 . (3)等差数列的通项公式:an= ,可推广为an= .,第2项,差,同一个常数,公差,an+1-an=d,等差中项,a1+(n-1)d,am+(n-m)d,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,2.等差数列及其前n项和的性质 (1)若m+n
2、=p+q,则 (m,n,p,qN*);m+n=2p,则am+an=2ap(m,n,pN*). (2)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差为 的等差数列. (3)若an,bn是等差数列,p,qR,则pan+qbn也是等差数列. (4)设Sn是等差数列an的前n项和,则数列 也是 数列. (5)若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an. (6)若n为偶数,则 ;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).,am+an=ap+aq,md,等差,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,(2) 当d0时,它是关于n的二次函数.数列an是等
3、差数列Sn=An2+Bn(A,B为常数).,3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 (1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d0时,an是关于n的一次函数;当d0时,数列an为递增数列;当d0时,数列an为递减数列.,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,4.等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中,a10,d0,则Sn存在最 值.,大,小,2,-6-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. ( ) (2)已知数列an的通项公式是
4、an=pn+q(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列. ( ) (3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. ( ) (4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an+1=an+an+2. ( ) (5)等差数列an的单调性是由公差d决定的. ( ) (6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. ( ),答案,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.(2018内蒙古赤峰期末)张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今共织九十尺,问织几日?”.已知“日减功迟”的具体含义
5、是每天比前一天少织同样多的布,则此问题的答案是( ) A.25日 B.40日 C.35日 D.30日,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.在等差数列an中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d为( ) A.-14 B.-7 C.7 D.14,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= .,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.记等差数列an的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7= .,答案,解析,-11-,知识梳理,双基
6、自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中的三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”. 2.等差数列与函数的区别:当公差d0时,等差数列的通项公式是n的一次函数;当公差d=0时,an为常数. 3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0. 4.等差数列的前n项和公式有两种表达形式,要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式.,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1(1)在等差数列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65,则公差d的值是( ) A.4 B.3 C.1 D.2 (2)设等差
7、数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 思考求等差数列基本量的一般方法是什么?,答案,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)在等差数列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65,公差d的值是3.故选B. (2)(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, 数列an为等差数列, d=am+1-am=1,m0,a1=-2, 又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,(方法三)数列an为
8、等差数列,且前n项和为Sn,经检验m=5是原方程的解.故选C.,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. 2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程(组)解决问题的思想. 3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d.,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)已知等差数列an前9项的和为27
9、,a10=8,则a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97 (2)设Sn为等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16= .,答案,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2已知数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列; (2)求an的通项公式. 思考判断一个数列为等差数列的基本方法有哪些?,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明 由an+2=2an+1-an+2得 an+2-an+1=an
10、+1-an+2,即bn+1=bn+2. 又因为b1=a2-a1=1, 所以bn是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1, 即an+1-an=2n-1.故an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1. 因为a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2.,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得等差数列的判定方法: (1)证明数列an为等差数列的基本方法有两种: 利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(nN*); 利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(nN*). (2)解答选择题、填空题时,也可用通项公式或前n项
11、和公式直接判断: 通项法:若数列an的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则an是等差数列. 前n项和法:若数列an的前n项和Sn可以化为Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数),则an是等差数列. (3)判断一个数列不是等差数列,只需说明某连续三项(如前三项)不是等差数列即可.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2设数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列bn满足b1=2,bn+1-2bn=8an. (1)求数列an的通项公式;,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向一 等差数列项的性质的应用 例3(1)在等差数
12、列an中,a3,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,则an的前9项和等于( ) A.-18 B.9C.18D.36 (2)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+ 2 2 =-3,S5=10,则a9的值是 .,答案,解析,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向二 等差数列前n项和的性质的应用 例4在等差数列an中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为 . 思考本例题应用什么性质求解比较简便?,答案,解析,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想,应用时常将an+am=2ap(m+n=
13、2p,m,n,pN*)与am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,qN*)相结合,可减少运算量. 2.在等差数列an中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列an中,数列,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(1)已知等差数列an的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于( ) A.3 B.6 C.17 D.51 (2)已知等差数列an,bn的前n项和分(3)在等差数列an中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则a7+a8+a9= .,答案,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,-30-,考点1,
14、考点2,考点3,考点4,(3)an为等差数列, S3,S6-S3,S9-S6成等差数列. 2(S6-S3)=S3+(S9-S6). a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45.,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,例5在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值. 思考求等差数列前n项和的最值有哪些方法?,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,nN*,当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.,又由S10=
15、S15得a11+a12+a13+a14+a15=0. 5a13=0,即a13=0. 当n=12或n=13时,Sn有最大值, 且最大值为S12=S13=130.,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得求等差数列(公差不为0)前n项和Sn最值的三种方法 (1)函数法:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.,利用性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值.,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(1)等差数列an的前n项和为Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=-2,则当Sn取最大值时,n的值是( ) A.5 B.6
16、 C.7 D.8 (2)设数列an是公差d0的等差数列,Sn为前n项和,若S6=5a1+10d,则Sn取最大值时,n的值为( ) A.5 B.6 C.5或6 D.11,答案,解析,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.等差数列的判断方法 (1)定义法; (2)等差中项法; (3)利用通项公式判断; (4)利用前n项和公式判断. 2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第2项起成等差数列. 3.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时,可以先考虑把已知条件都化归为a1和d等基本量的关
17、系,再通过建立方程(组)求解.,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,注意利用“an-an-1=d”时加上条件“n2”;否则,当n=1时,a0无定义.,-38-,思想方法整体思想在等差数列中的应用 整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有:整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等.在等差数列中,若要求的Sn所需要的条件未知或不易求出时,可以考虑整体代入.,-39-,典例1已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a4+a5=12,则S7的值为 . 答案28 解析设数列an的首项为a1,公差为d. a3+a5=2a4, 由a3+a4+a5=12得3a4=12,即a4=4.,-40-,典例2在等差数列an中,其前n项和为Sn.已知Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n= . 答案-(m+n) 解析设an的公差为d,则由Sn=m,Sm=n,
