1、1第 2讲 综合大题部分1(2018高考全国卷)如图，在三棱锥 PABC中，AB BC2 ， PA PB PC AC4， O为 AC的中点2(1)证明： PO平面 ABC；(2)若点 M在棱 BC上，且 MC2 MB，求点 C到平面 POM的距离解析：(1)证明：因为 AP CP AC4， O为 AC的中点，所以OP AC，且 OP2 .3如图，连接 OB.因为 AB BC AC，所以 ABC为等腰直角三角形，22且 OB AC， OB AC2.12由 OP2 OB2 PB2知， OP OB.由 OP OB， OP AC知， PO平面 ABC.(2)如图，作 CH OM，垂足为 H，又由(1)
2、可得 OP CH，所以 CH平面 POM.故 CH的长为点 C到平面 POM的距离由题设可知 OC AC2， CM BC ， ACB45，12 23 423所以 OM ， CH .253 OCMCsin ACBOM 455所以点 C到平面 POM的距离为 .4552(2018高考全国卷)如图，矩形 ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直， M是 上异于 C， D的点(1)证明：平面 AMD平面 BMC.(2)在线段 AM上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由解析：(1)证明：由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD.因为 BC CD， BC平面 ABCD，所以 BC平面 C
3、MD，故 BC DM.因为 M为 上异于 C， D的点，且 DC为直径，所以 DM CM.又 BC CM C，所以 DM平面 BMC.2而 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC.(2)当 P为 AM的中点时， MC 平面 PBD.证明如下：连接 AC交 BD于 O.因为 ABCD为矩形，所以O为 AC中点连接 OP，因为 P为 AM中点，所以 MCOP .又 MC平面 PBD， OP平面 PBD，所以 MC 平面 PBD.3(2018高考全国卷)如图，在平行四边形 ABCM中， AB AC3， ACM90.以 AC为折痕将 ACM折起，使点 M到达点 D的位置，且 AB DA.(1)证
4、明：平面 ACD平面 ABC；(2)Q为线段 AD上一点， P为线段 BC上一点，且 BP DQ DA，求三棱锥 QABP的体23积解析：(1)证明：由已知可得， BAC90，即 BA AC.又 BA AD，所以 AB平面 ACD.又 AB平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC.(2)由已知可得， DC CM AB3，DA3 .2又 BP DQ DA，23所以 BP2 .2如图，过点 Q作 QE AC，垂足为 E，则 QE綊 DC.133由已知及(1)可得， DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC， QE1.因此，三棱锥 QABP的体积为VQABP S ABPQE 32 sin 4511
5、13 13 12 24如图，在多面体 ABCPE中，平面 PAC平面 ABC， AC BC， PE BC,2PE BC， M是线段AE的中点， N是线段 PA上一点，且满足 AN AP (0 1)(1)若 ，求证： MN PC；12(2)是否存在 ，使得三棱锥 M ACN与三棱锥 B ACP的体积比为 112？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由解析：(1)证明：若 ，则 N是线段 PA的中点12因为平面 PAC平面 ABC，平面 PAC平面 ABC AC， AC BC，BC平面 ABC，所以 BC平面 PAC.因为 M是线段 AE的中点， N是线段 PA的中点，所以 MNPE ，又 P
6、EBC ，所以 MNBC ，所以 MN平面 PAC.4因为 PC平面 PAC，所以 MN PC.(2)存在 ，使得三棱锥 M ACN与三棱锥 B ACP的体积比为 112.13理由如下：由(1)知， BC平面 PAC，所以三棱锥 B ACP的体积 VB ACP S ACPBC，13因为 M是线段 AE的中点，所以点 M到平面 ACP的距离等于点 E到平面 ACP的距离的一半，因为 AN AP (0 1)，所以 S ACN S ACP，又 2PE BC，所以三棱锥 M ACN的体积VM ACN S ACN( PE) S ACP( BC) S ACPBC.13 12 13 14 112因为三棱锥 M ACN与三棱锥 B ACP的体积比为 112，所以 ，解得 .112 S ACPBC13S ACPBC 112 13
