1、1第 2讲 综合大题部分1. (2018高考天津卷)如图，在四面体 ABCD中， ABC是等边三角形，平面 ABC平面 ABD，点 M为棱 AB的中点， AB2， AD2 ， BAD90.3(1)求证： AD BC；(2)求异面直线 BC与 MD所成角的余弦值；(3)求直线 CD与平面 ABD所成角的正弦值解析：(1)证明：由平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABD AB， AD AB，可得 AD平面 ABC，故 AD BC.(2)如图，取棱 AC的中点 N，连接 MN， ND.又因为 M为棱 AB的中点，所以 MNBC .所以 DMN(或其补角)为异面直线 BC与 MD所成的角在
2、Rt DAM中， AM1，故 DM .AD2 AM2 13因为 AD平面 ABC，所以 AD AC.在 Rt DAN中， AN1，故 DN .AD2 AN2 13在等腰三角形 DMN中， MN1，可得 cos DMN .12MNDM 1326所以，异面直线 BC与 MD所成角的余弦值为 .1326(3)如图，连接 CM.因为 ABC为等边三角形， M为边 AB的中点，所以 CM AB， CM .3又因为平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABD AB，而 CM平面 ABC，故 CM平面 ABD，所以 CDM为直线 CD与平面 ABD所成的角在 Rt CAD中， CD 4.AC2 AD2
3、在 Rt CMD中，sin CDM .CMCD 342所以，直线 CD与平面 ABD所成角的正弦值为 .342(2018高考北京卷)如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，平面 PAD平面ABCD， PA PD， PA PD， E， F分别为 AD， PB的中点(1)求证： PE BC；(2)求证：平面 PAB平面 PCD；(3)求证： EF平面 PCD.证明：(1)因为 PA PD， E为 AD的中点，所以 PE AD.因为底面 ABCD为矩形，所以 BCAD ，所以 PE BC.(2)因为底面 ABCD为矩形，所以 AB AD.又因为平面 PAD平面 ABCD，所以 AB平面
4、 PAD，所以 AB PD.又因为 PA PD，所以 PD平面 PAB.所以平面 PAB平面 PCD.(3)如图，取 PC的中点 G，连接 FG， DG.因为 F， G分别为 PB， PC的中点，所以 FGBC ， FG BC.12因为四边形 ABCD为矩形，且 E为 AD的中点，3所以 DEBC ， DE BC.12所以 DEFG ， DE FG.所以四边形 DEFG为平行四边形所以 EFDG .又因为 EF平面 PCD， DG平面 PCD，所以 EF 平面 PCD.3(2017高考全国卷)如图，在四棱锥 PABCD中， AB CD，且 BAP CDP90.(1)证明：平面 PAB平面 PA
5、D；(2)若 PA PD AB DC， APD90，且四棱锥 PABCD的体积为 ，求该四棱锥的侧83面积解析：(1)证明：由 BAP CDP90，得 AB AP， CD PD.由于 ABCD ，故 AB PD，又 AP PD P，从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(2)如图所示，在平面 PAD内作 PE AD，垂足为 E.由(1)知， AB平面 PAD，故 AB PE，可得 PE平面 ABCD.设 AB x，则由已知可得 AD x， PE x.222故四棱锥 PABCD的体积 VPABCD ABADPE x3.13 13由题设得 x3 ，故 x2.1
6、3 834从而 PA PD2， AD BC2 ， PB PC2 .2 2可得四棱锥 PABCD的侧面积为PAPD PAAB PDDC BC2sin 6062 .12 12 12 12 34. (2017高考全国卷)如图，四棱锥 P ABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， AB BC AD， BAD ABC90.12(1)证明：直线 BC平面 PAD；(2)若 PCD的面积为 2 ，求四棱锥 P ABCD的体积7解析：(1)证明：在平面 ABCD内，因为 BAD ABC90，所以 BCAD .又 BC平面 PAD， AD平面 PAD，故 BC 平面 PAD.(2)如图，取 A
7、D的中点 M，连接 PM， CM.由 AB BC AD及 BCAD ， 12 ABC90得四边形 ABCM为正方形，则 CM AD.因为侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，所以 PM AD， PM底面 ABCD.因为 CM底面 ABCD，所以 PM CM.设 BC x，则 CM x， CD x， PM x， PC PD2 x.2 3如图，取 CD的中点 N，连接 PN，则 PN CD，所以 PN x.142因为 PCD的面积为 2 ，7所以 x x2 ，12 2 142 7解得 x2(舍去)或 x2.于是 AB BC2， AD4， PM2 .35所
8、以四棱锥 P ABCD的体积 V 2 4 .13 2 2 42 3 31. 在多面体 ABCDEF中，底面 ABCD是梯形，四边形 ADEF是正方形， AB DC， AB AD1， CD2， AC EC .5(1)求证：平面 EBC平面 EBD；(2)设 M为线段 EC上一点，且 3EM EC，试问在线段BC上是否存在一点 T，使得 MT平面 BDE，若存在，试指出点 T的位置；若不存在，请说明理由解析：(1)证明： EC ， CD2， ED1.5 EC2 CD2 ED2， ED DC.又四边形 ADEF是正方形，所以 AD DE，又 AD DC D，所以 ED平面 ABCD.又 BC平面 A
9、BCD，所以 ED BC.在梯形 ABCD中，过点 B作 BH CD于点 H，故四边形 ABHD是正方形，所以 ADB45， BD .2在 Rt BCH中， BH CH1，所以 BC ，2故 BD2 BC2 DC2，所以 BC BD.因为 BD ED D， BD平面 EBD， ED平面 EBD，所以 BC平面 EBD，又 BC平面 EBC，所以平面 EBC平面 EBD.(2)在线段 BC上存在一点 T，使得 MT平面 BDE，此时 3BT BC.连接 MT，在 EBC中，因为 ，BTBC EMEC 13所以 MT EB.又 MT平面 BDE， EB平面 BDE，所以 MT平面 BDE.2如图，
10、正方形 ABCD的边长为 4， AB AE BF EF， AB EF，把四边形 ABCD沿 AB折12起，使得 AD底面 AEFB， G是 EF的中点，如图.6图 图(1)求证： DE平面 AGC；(2)求证： AG平面 BCE.证明：(1)由已知 ABDCEF ，又 AB DC EF， G是 EF的中点，12所以 CD綊 EG，所以四边形 DCGE是平行四边形，所以 DECG .因为 DE平面 AGC， CG平面 AGC，所以 DE 平面 AGC.(2)连接 BG(图略)，因为 BCAD ， AD底面 AEFB，所以 BC底面 AEFB，又 AG底面 AEFB，所以 BC AG.因为 AB綊
11、 EG， AB AE.所以四边形 ABGE为菱形，所以 AG BE.又 BC BE B， BE平面 BCE， BC平面 BCE，所以 AG平面 BCE.3. 如图，在直三棱柱 ADFBCE中， AB BC BE2， CE2 .2(1)求证： AC平面 BDE；(2)若点 K在线段 BE上，且 EK ，求三棱锥 KBDF的体23积解析：(1)证明：在直三棱柱 ADFBCE中，AB平面 BCE，所以 AB BE， AB BC.又 AB BC BE2， CE2 ，2所以 BC2 BE2 CE2，且 AC BD，所以 BE BC.因为 AB BC B，所以 BE平面 ABCD.7因为 AC平面 ABC
12、D，所以 BE AC.因为 BD BE B，所以 AC平面 BDE.(2)由(1)可得， AD平面 ABEF，因为 AB BC BE2， EK ，23所以 S KBF 2 ，所以 VKBDF VDKBF S KBFDA 2 .12 (2 23) 43 13 13 43 894如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是菱形， PA PD， BAD60， E是 AD的中点，点 Q在侧棱 PC上(1)求证： AD平面 PBE；(2)若 Q是 PC的中点，求证： PA平面 BDQ；(3)若 VP BCDE2 VQ ABCD，试求 的值CPCQ解析：(1)证明：由 E是 AD的中点，PA PD可得
13、 AD PE.又底面 ABCD是菱形， BAD60，所以 AB BD，又 E是 AD的中点，所以 AD BE，又 PE BE E，所以 AD平面 PBE.(2)证明：连接 AC，交 BD于点 O，连接 OQ.因为 O是 AC的中点， Q是 PC的中点，所以 OQPA ，又 PA平面 BDQ， OQ平面 BDQ，所以 PA 平面 BDQ.(3)设四棱锥 P BCDE， Q ABCD的高分别为 h1， h2.8所以 VP BCDE S 四边形 BCDEh1，13VQ ABCD S 四边形 ABCDh2.13又 VP BCDE2 VQ ABCD，且 S 四边形 BCDE S 四边形 ABCD，所以 .34 CPCQ h1h2 83
