1、1第 2讲 综合大题部分1. (2017高考全国卷)设 A， B为曲线 C： y 上两点， A与 B的横坐标之和为 4.x24(1)求直线 AB的斜率；(2)设 M为曲线 C上一点， C在 M处的切线与直线 AB平行，且 AM BM，求直线 AB的方程解析：(1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2， y1 ， y2 ， x1 x24，x214 x24于是直线 AB的斜率 k 1.y1 y2x1 x2 x1 x24(2)由 y ，得 y .设 M(x3， y3)，由题设知 1，解得 x32，于是 M(2,1)x24 x2 x32设直线 AB的方程为 y x m，故线段
2、AB的中点为 N(2,2 m)，| MN| m1|.将 y x m代入 y 得 x24 x4 m0.x24当 16( m1)0，即 m1 时， x1,222 .m 1从而| AB| |x1 x2|4 .2 2 m 1由题设知| AB|2| MN|，即 4 2( m1)，解得 m7.2 m 1所以直线 AB的方程为 y x7.2(2018高考全国卷)设抛物线 C： y22 x，点 A(2,0)， B(2,0)，过点 A的直线 l与 C交于 M， N两点(1)当 l与 x轴垂直时，求直线 BM的方程；(2)证明： ABM ABN.解析：(1)当 l与 x轴垂直时， l的方程为 x2，可得点 M的坐
3、标为(2,2)或(2，2)所以直线 BM的方程为 y x1 或 y x1.12 12(2)证明：当 l与 x轴垂直时， AB为 MN的垂直平分线，所以 ABM ABN.当 l与 x轴不垂直时，设 l的方程为 y k(x2)( k0)， M(x1， y1)， N(x2， y2)，则x10， x20.由Error! 得 ky22 y4 k0，2可知 y1 y2 ， y1y24.2k直线 BM， BN的斜率之和为 kBM kBN .y1x1 2 y2x2 2 x2y1 x1y2 2 y1 y2 x1 2 x2 2将 x1 2， x2 2 及 y1 y2， y1y2的表达式代入式分子，可得y1k y2
4、kx2y1 x1y22( y1 y2) 0.2y1y2 4k y1 y2k 8 8k所以 kBM kBN0，可知 BM， BN的倾斜角互补，所以 ABM ABN.综上， ABM ABN.3(2017高考全国卷)设 O为坐标原点，动点 M在椭圆 C： y21 上，过 M作 x轴x22的垂线，垂足为 N，点 P满足 .NP 2NM (1)求点 P的轨迹方程；(2)设点 Q在直线 x3 上，且 1.证明：过点 P且垂直于 OQ的直线 l过 C的OP PQ 左焦点 F.解析：(1)设 P(x， y)， M(x0， y0)，则 N(x0,0)， ( x x0， y)， (0， y0)NP NM 由 得
5、x0 x， y0 y.NP 2NM 22因为 M(x0， y0)在 C上，所以 1.x22 y22因此点 P的轨迹方程为 x2 y22.(2)证明：由题意知 F(1,0)设 Q(3， t)， P(m， n)，则(3， t)， (1 m， n)， 33 m tn，OQ PF OQ PF ( m， n)， (3 m， t n)OP PQ 由 1 得3 m m2 tn n21，OP PQ 又由(1)知 m2 n22，故 33 m tn0.所以 0，即 .OQ PF OQ PF 又过点 P存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P且垂直于 OQ的直线 l过 C的左焦点 F.31. 已知动圆 M恒过点(0,
6、1)，且与直线 y1 相切(1)求圆心 M的轨迹方程；(2)动直线 l过点 P(0，2)，且与点 M的轨迹交于 A， B两点，点 C与点 B关于 y轴对称，求证：直线 AC恒过定点解析：(1)由题意得点 M与点(0,1)的距离始终等于点 M与直线 y1 的距离，由抛物线定义知圆心 M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线 y1 为准线的抛物线，则1， p2.p2圆心 M的轨迹方程为 x24 y.(2)证明：由题意知直线 l的斜率存在，设直线 l： y kx2，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 C( x2， y2)，由Error! 得 x24 kx80， x1 x24 k， x1x2
7、8.kAC ，直线 AC的方程为 y y1 (x x1)y1 y2x1 x2 x214 x24x1 x2 x1 x24 x1 x24即 y y1 (x x1) x x ，x1 x24 x1 x24 x1 x1 x24 x214 x1 x24 x1x24 x1x28， y x x2，x1 x24 x1x24 x1 x24则直线 AC恒过点(0,2)2已知椭圆 E： 1( ab0)，过点(0,1)且离心率为 .x2a2 y2b2 32(1)求椭圆 E的方程；(2)设直线 l： y x m与椭圆 E交于 A， C两点，以 AC为对角线作正方形 ABCD，记直12线 l与 x轴的交点为 N，问 B，
8、N两点间的距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由解析：(1)由题意可知，椭圆的焦点在 x轴上，椭圆过点(0,1)，则 b1.由椭圆的离心率 e ，解得 a2，ca 1 b2a2 32所以椭圆 E的标准方程为 y21.x24(2)设 A(x1， y1)， C(x2， y2)，线段 AC的中点为 M(x0， y0)4由Error!整理得 x22 mx2 m220.由 (2 m)24(2 m22)84 m20，解得 b0)，x2a2 y2b2则 2a| CE| CF|2 2，2所以 a ，所以 b2 a2 c21，2故椭圆的标准方程为 y21.x22(2)易知直线 l的斜率不为 0，
9、故可设直线 l的方程为 x ky1，设 A(x1， y1)，B(x2， y2)，由Error! 得，( k22) y22 ky10.由根与系数的关系，得 y1 y2 ， 2kk2 25y1y2 ， 1k2 2因为 ，所以 且 0，FA FB y1y2将的平方除以，得 2 ，y1y2 y2y1 4k2k2 2所以 2 ，1 4k2k2 2由 2，1，得 2，52 1所以 20，12 1即 0，解得 k2 ，12 4k2k2 2 27即 0 k2 .27因为 ( x12， y1)， ( x22， y2)，TA TB 所以 ( x1 x24， y1 y2)，TA TB 又 y1 y2 ， x1 x24 k(y1 y2)2 .2kk2 2 4 k2 1k2 2故| |2( x1 x24) 2( y1 y2)2TA TB 16 k2 1 2 k2 2 2 4k2 k2 2 216 k2 2 2 28 k2 2 8 k2 2 216 .28k2 2 8 k2 2 2令 t ，因为 0 k2 ，1k2 2 27所以 ，即 t ，716 1k2 2 12 716 12则| |21628 t8 t28( t )2 ，TA TB 74 172因为 t ，所以| |24， ，716 12 TA TB 16932所以| |2， TA TB 13286即| |的取值范围为2， TA TB 1328
