1、5 二次函数与一元二次方程,1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根. 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.,1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？,当b24ac0时，,当b24ac0时，方程无实数根.,2.解下列一元二次方程： （1）x2+2x=0 （2）x22x+1=0 （3）x2-2x+2=0.,解：（1）x1=0, x2=-2.,（2）x1=x2=1.,（3）没有实数根.,我们已经知道，
2、竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间t (s)的关系可以用公式 h=5t2+v0t +h0 表示， 其中h0 (m)是抛出点距地面 的高度，v0 (m/s)是抛出时 的速度.一个小球从地面被 以40 m/s的速度竖直向上抛 起，小球的高度h (m)与运 动时间t(s)的关系如图所示， 那么,O,h/m,t/s,1 2 3 4 5 6 7 8,80 70 60 50 40 30 20 10,（1）h与t 的关系式是什么？ （2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴交流.,解析：（1）由图象知函数过点（0，0）与点（8，0） 代入关系式h=5t2+v0t+h0得h0=0, 由已知可
3、知v0=40， 得h=5t2+40t.,（2）由图象可知小球经过8秒后落地.可以令h=0，得t=0s（舍去）或t=8s.,二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的 图象如图所示.,（1）每个图象与x轴有几个交点？ （2）一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个根？ 解方程验证一下，一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？ （3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？,（2）x1=0, x2=-2,两个不相等实数根.,x1=x2=1,两个相等实数根.,没有实数根.,解:（1）每个图象与x轴的交点个
4、数分别是2个，1个，0个.,（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.,【规律方法】二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.,例：利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根（精确到0.1）.,x,y,用你学过的一元二次方程的解法来解， 准确答案是什么？,方法: (1)先作出y=x-x-3的图象; (2)写出交点的坐标： （-1.3，0），（2.3
5、，0） (3)得出方程的解： x1=-1.3，x2=2.3.,【例题】,C,A,【跟踪训练】,3.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a0,c0时,图象与x轴的交点 情况是( ) A.无交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.不能确定,C,4.根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( ) A.3x3.23 B.3.23x3.24 C.3.24x3.25 D.3.25x3.26,C,6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方 程ax2+bx+c=0的解是 .,x1=0，x2=5,7.如果关于x的一元二次方程 x2-2
6、x+m=0有两个相等的实 数根,则m=,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有个交 点. 8.已知抛物线 y=x28x+c的顶点在 x轴上,则c=. 9.一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2，x2= , 那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是和 _.,1,1,16,（ ，0）,（-2，0）,1.（崇左中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：abc0；方程ax2+bx+c=0的根为x1= -1，x2=3；当x1时，y随x值的增大而减小；当y0时，-1x3其中正确的说法是（ ） A B C D,O,x,y,1,3,1,答案:D,2.（河北中考）如
7、图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A， B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ） A（2，3） B（3，2） C（3，3） D（4，3）,答案:D,3.（汕头中考）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图 所示，它与x轴的一个交点坐标为（1，0），与y轴的 交点坐标为（0，3） （1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式. （2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围,【解析】（1）由题意得,解得,故所求解析式为,解得,由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围 是1x3,（2）令,抛物线与x轴的另一个交点坐标
8、为(3,0),4（株洲中考）二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m的值是_,答案:4,5.（咸宁中考）已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0），(-3m,0)(m0). （1）证明:4c=3b2. （2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值,由（1）得,二次函数的最小值为-4.,【解析】（1）依题意，m,-3m是一元二次方程,的两根根据一元二次方程根与系数的,关系，得 ,，,，,（2）依题意，,，,，,，,1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 2.根据一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是两个不相等的实根、两个相等实根、没有实数根，图象上对应与x轴的交点个数是两个、一个、没有.,失败往往是黎明前的黑暗，继之而出现的就是成功的朝霞. 霍奇斯,
