1、第6讲 一元二次方程及其应用,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一一元二次方程及其解法 1.如果一个方程通过整理可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫一元二次方程,一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a0),其中a,b,c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项.,考点一,考点二,考点三,考点四,2.解法,考点一,考点二,考点三,考点四,考点二一元二次方程根的判别式,考点一,考点二,考点三,考点四,考点三一元二次方程根与系数的关系 若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根,则x1+x2=-,考点一,考点二,考点三,考点四,考点四一
2、元二次方程的应用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤2.一元二次方程实际问题的常见类型 平均增长率(下降率)问题: (1)增长率=(增量基础量)100%; (2)设a为原来量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b;当m为平均下降率,n为下降次数,b为下降后的量,则a(1-m)n=b.,命题点1,命题点2,命题点1 解一元二次方程 1.(2016安徽,16,8分)解方程:x2-2x=4.,命题点3,命题点1,命题点2,命题点3,命题点2 一元二次方程根的判别式定理 2.(2018安徽,7,4分)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数
3、a的值为( A ) A.-1 B.1 C.-2或2 D.-3或1,解析:原方程可变形为x2+(a+1)x=0. 该方程有两个相等的实数根, =(a+1)2-410=0,解得a=-1.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点3 一元二次方程的应用,3.(2018安徽,6,4分)据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%.假定2018年的平均增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,则( B ) A.b=(1+22.1%2)a B.b=(1+22.1%)2a C.b=(1+22.1%)2a D.b=22.1%2a,解析:在增长率问题中,若
4、增长率设为x,在a的基础上连续两次增长后可用代数式a(1+x)2表示,故选B.,4.(2017安徽,8,4分)一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足( D ) A.16(1+2x)=25 B.25(1-2x)=16 C.16(1+x)2=25 D.25(1-x)2=16,命题点1,命题点2,命题点3,5.(2015安徽,6,4分)我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,快递业迅速发展,2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件,设2014年与2015年这两年的平均增长率为x,则下列
5、方程正确的是( C ) A.1.4(1+x)=4.5 B.1.4(1+2x)=4.5 C.1.4(1+x)2=4.5 D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5,解析:由于2015年的快递业务量可用1.4(1+x)2表示,又2015年的快递业务量是4.5亿件,可列方程是1.4(1+x)2=4.5,故选C.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法1一元二次方程的解法,例1(2012安徽)解方程:x2-2x=2x+1. 解:原方程化为x2-4x=1. 配方,得x2-4x+4=1+4. 整理,得(x-2)2=5.,方法总结本题考查了解一元二次方程的解法,熟练掌握一元二次方程的四种特点是解本题的关
6、键,通常情况下,未知数全部在平方里面用直接开方法,二次项系数为1考虑用因式分解法或配方法,其他情况考虑用公式法.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练1(2018山东临沂)一元二次方程y2-y- =0配方后可化为( B ),对应练2(2018湖南益阳)规定ab=(a+b)b,如:23=(2+3)3=15,若2x=3,则x=-3或1 .,对应练3(2018江苏淮安)一元二次方程x2-x=0的根是x1=0,x2=1 .,解析:2x=3,(2+x)x=3,x2+2x-3=0,解得:x1=-3,x2=1.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法2一元二次方程根的判别式的应用,例2(2017北京)已知关
7、于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程有一根小于1,求k的取值范围. (1)证明:=-(k+3)2-4(2k+2)=k2-2k+1=(k-1)20,方程总有两个实数根. (2)解:x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,x1=2,x2=k+1. 方程总有一个根小于1,k+10方程有两个不相等的实数根;(2)=0方程有两个相等的实数根;(3)0方程没有实数根.另外一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根0.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练4(2018上海)下列对一元二次方程x2+x-3=0根的情况的
8、判断,正确的是( A ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有且只有一个实数根 D.没有实数根,解析:根据方程的系数结合根的判别式,即可得出=130,进而即可得出方程x2+x-3=0有两个不相等的实数根.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练5(2017湖南益阳)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1=1,x2=-1,那么下列结论一定成立的是( A ) A.b2-4ac0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac0 D.b2-4ac0,对应练6(2018四川泸州)已知关于x的一元一次方程x2-2x+k-1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(
9、 C ) A.k2 B.k0 C.k2 D.k0,解析:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1=1,x2=-1,说明一元二次方程有两个不相等的实数根,所以b2-4ac0,因此选A.,解析:由题可知,0,即(-2)2-4(k-1)0,解得k2.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法3一元二次方程中根与系数的关系,例3(2018四川眉山)若,是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根,则 的值是( ),答案:C,方法总结本题考查了一元二次方程根与系数的关系,求含一元二次方程根的代数式常常利用根与系数的关系 ,可以方便快捷的解题.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练7(201
10、8宁夏)若2- 是方程x2-4x+c=0的一个根,则c的值是( A ),考法1,考法2,考法3,考法4,对应练8(2018湖北咸宁)已知一元二次方程2x2+2x-1=0的两个根为x1,x2,且x1x2,下列结论正确的是( D ) A.x1+x2=1 B.x1x2=-1 C.|x1|x2| D.,故A、B错误;由x1+x20,x1|x2|,故C错误; x1是一元二次方程2x2+2x-1=0的一个根,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练9(2018江苏南京)设x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根,且x1+x2=1,则x1=-2 ,x2=3 .,解析:x1、x2是一元二次方程x2-m
11、x-6=0的两个根,且x1+x2=1,m=1.原方程为x2-x-6=0,即(x+2)(x-3)=0,解得:x1=-2,x2=3.故答案为:-2,3.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法4一元二次方程的应用,例4(2018贵州安顺)某地2015年为做好“精准扶贫”,投入资金1 280万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2017年在2015年的基础上增加投入资金1 600万元. (1)从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少? (2)在2017年异地安置的具体实施中,该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励,规定前1 000户(含第1 000户)每户每
12、天奖励8元,1 000 户以后每户每天奖励5元,按租房400天计算,求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.,考法1,考法2,考法3,考法4,解:(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据题意得1 280(1+x)2=1 280+1 600, 解得x=0.5或x=-2.5(舍). 答:从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%. (2)设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励, 81 000400=3 200 0001 000.根据题意得1 0008400+(a-1 000)54005 000 000,解得a1 900. 答:2017年该地至
13、少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励.,考法1,考法2,考法3,考法4,方法总结本题考查了增长(或降低)率问题,是列一元二次方程解实际问题最常见的题型之一,对于平均增长率问题,弄清基数a、增长(减少)后的量a(1+x)n及增长(减少)次数n是解题关键,正确理解有关增长问题的一些词语的含义对解答这类问题也很重要,常见的词语有:增加、增加到、增加了几倍、增长到几倍、增长率等.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练10(2013安徽,7,4分)目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元,设每半年发放的资助金额的平均增长率为
14、x,则下面列出的方程中正确的是( B ) A.438(1+x)2=389 B.389(1+x)2=438 C.389(1+2x)2=438 D.438(1+2x)2=389,解析:设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则去年下半年发放给每个经济困难学生389(1+x)元,今年上半年发放给每个经济困难学生389(1+x)2元,由题意,得389(1+x)2=438.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练11(2018黑龙江龙东地区)某中学组织初三学生篮球比赛,以班为单位,每两班之间都比赛一场,计划安排15场比赛,则共有多少个班级参赛?( C ) A.4 B.5 C.6 D.7,解析:设有x个班级参赛,依题意列方程得 x(x-1)=15,解得x1=-5(舍去),x2=6,有6个班级参赛.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练12(2017四川巴中)巴中市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售,由于有关部门关于房地产的新政策出台后,部分购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4 050元的均价开盘销售.若两次下调的百分率相同,求平均每次下调的百分率. 解:设平均每次下调的百分率为x, 由题意得5 000(1-x)2=4 050, 解得x1=0.1,x2=1.9(舍去). 答:平均每次下调的百分率为10%.,
