1、1第一章 直角三角形的边角关系1.解直角三角形的方法(1)直接利用定义求值法A 的正弦 sinA= = , 的 对边斜 边 aA 的余弦 cosA= = , 的 邻边斜 边 bA 的正切 tanA= = . 的 对边的 邻边 a概念是解直角三角形的基础,要结合图形记忆理解,它同勾股定理相结合,使得在直角三角形中求边长和锐角度数更加灵活.【例 1】在 RtABC 中,C=90,AC=3,BC=4,则 AB= ,sinA= .【标准解答】如图,C=90,AC=3,BC=4,AB= A2+2= =5,32+42sinA= = .B45答案:5 45(2)设参数求值法当条件为已知某两条线段比或某一锐角
2、的三角函数值(非特殊角的三角函数值),求图形中其他角的三2角函数值时,通常设参数求值,注意参数只是解题的桥梁,不参与最后结果.【例 2】在ABC 中,C=90,sinA= ,求 sinB的值.36【标准解答】sinA= ,设 BC= k,AB=6k.36 3又C=90,故 AC= = k,(6)2( 3)2 33sinB= = = .A336 336(3)构造直角三角形求值法在某些问题的图形中你根本看不到直角三角形,这时需要你根据条件通过作辅助线构造直角三角形,然后利用直角三角形的相关知识解决问题.当两个直角三角形拥有公共边时,先求出这条公共边是解答此类题的一般思路.【例 3】如图,在ABC
3、中,B=45,cosC= ,AC=5a,则ABC 的面积用含 a的式子表示是 .35【标准解答】过点 A作 ADBC 于点 D.在 RtACD 中,AC=5a,cosC= ,35CD=ACcosC=3a,AD=4a.在 RtABD 中,AD=4a,B=45,BD=AD=4a.BC=BD+CD=4a+3a=7a.故 = BCAD= 7a4a=14a2.S12 12答案:14a 23【例 4】如图,在四边形 ABCD中,E,F 分別是 AB,AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则 tanC等于 ( )A. B. C. D.34 43 35 45【标准解答】选 B.连接 BD.E,F 分别是
4、 AB,AD的中点.BD=2EF=4,BC=5,CD=3,BCD 是直角三角形.tanC= .43(4)构造方程求值法某些题型中的有些条件,不能直接代入直角三角形中边与边、边与角、角与角之间的公式进行求解,这时可以引入未知数,让未知数参与运算,最后列方程求解.【例 5】周末,身高都为 1.6米的小芳、小丽来到溪江公园,准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图,小芳站在 A处测得她看塔顶的仰角 为 45,小丽站在 B处(A,B 与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角 为 30.她们又测出 A,B两点的距离为 30米.假设她们的眼睛离头顶都为 10cm,则可计算出塔高约为(结果精确到 0.01,参考数
5、据: 1.414, 1.732) ( )2 3A.36.21米 B.37.71米 C.40.98米 D.42.48米4【标准解答】选 D.已知小芳站在 A处测得她看塔顶的仰角 为 45,小丽站在 B处(A,B 与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角 为 30,A,B两点的距离为 30米.假设她们的眼睛离头顶都为 10cm,所以设塔高为 x米则得=tan 30= ,x1.6+0.11.6+0.1+30 33解得:x42.48.1.在ABC 中,AB=12 ,AC=13,cosB= ,则 BC边长为 ( )222A.7 B.8C.8或 17 D.7或 172.如图,BD 是菱形 ABCD的对角线,CE
6、AB 于点 E,交 BD于点 F,且点 E是 AB中点,则 tanBFE 的值是 ( )A. B.2 C. D.12 33 32题图3题图3.如图,已知ABC 的三个顶点均在格点上,则 cosA的值为 ( )5A. B. C. D.33 55 233 2554.如图,菱形 ABCD的边长为 15,sinBAC= ,则对角线 AC的长为 .354题图5题图6题图5.如图,在ABC 中,C=90,A=30,BD 是ABC 的平分线.若 AB=6,则点 D到 AB的距离是 .6.如图,在矩形 ABCD中,对角线 AC,BD相交于点 O,E是边 AD的中点.若 AC=10,DC=2 ,则 BO= 5,
7、EBD 的大小约为 度 分.(参考数据:tan 2634 )127.已知 , 均为锐角,且满足|sin- |+ =0,则 += .12 (1)268.如图,在ABCD 中,对角线 AC与 BD相交于点 O,CAB=ACB,过点 B作 BEAB 交 AC于点 E.(1)求证:ACBD.(2)若 AB=14,cosCAB= ,求线段 OE的长.789.如图,在ABC 中,ABC=90,BC=3,D 为 AC延长线上一点,AC=3CD,过点 D作 DHAB,交 BC的延长线于点 H.(1)求 BDcosHBD 的值.(2)若CBD=A,求 AB的长.10.如图,AD 是ABC 的中线,tanB= ,
8、cosC= ,AC= .求:13 22 2(1)BC的长.(2)sinADC 的值.72.解直角三角形的实际应用(1)俯角、仰角问题利用解直角三角形知识解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学问题,并构造直角三角形.解题时要认真审题,读懂题意,弄清仰角、俯角的含义,然后再作图解答.【例 1】如图,为了测量某建筑物 CD的高度,先在地面上用测角仪自 A处测得建筑物顶部的仰角是 30,然后在水平地面上向建筑物前进了 100m,此时自 B处测得建筑物顶部的仰角是 45.已知测角仪的高度是 1.5m,请你计算出该建筑物的高度.(取 1.732,结果精确到 1m)3【标准解答】设 CE=xm,则由题意可
9、知 BE=xm,AE=(x+100)m.在 RtAEC 中,tanCAE= ,C即 tan 30= ,x+100 = ,3x= (x+100),x+10033 3解得 x=50+50 136.6,38CD=CE+ED=(136.6+1.5)=138.1138(m).答:该建筑物的高度约为 138m.(2)方位角、方向角问题弄清方位角的具体表示方法及对应的角是解题的基础,往往需作垂线构造直角三角形,利用解直角三角形知识解答;参照物不同的方位角,要注意借助两个“十字方向”中的平行线性质解题.【例 2】五一期间,小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动,在景点 P处测得景点 B位于南偏东 45
10、方向;然后沿北偏东 60方向走 100米到达景点 A,此时测得景点 B正好位于景点 A的正南方向,求景点 A与 B之间的距离.(结果精确到 0.1米) 【标准解答】作 PCAB 于点 C,ACP=BCP=90,APC=30,BPC=45.在 RtACP 中,ACP=90,APC=30,AC= AP=50,PC= AC=50 .12 3 3在 RtBPC 中,BCP=90,BPC=45,BC=PC=50 .3AB=AC+BC=50+50 50+501.732=136.6(米).3答:景点 A与 B之间的距离大约为 136.6米.【例 3】如图,在 A岛周围 25海里水域有暗礁,一轮船由西向东航行
11、到 O处时,发现 A岛在北偏东 60方向,轮船继续前行 20海里到达 B处发现 A岛在北偏东 45方向,该船若不改变航向继续前进,有无触礁的危险?(参考数据 1.732)3【标准解答】根据题意,有AOC=30,ABC=45,ACB=90,所以 BC=AC,于是在 RtAOC 中,由 tan30= ,A9得 = ,33 A20+解得 AC= 27.32(海里),2031因为 27.3225,所以轮船不会触礁.(3)坡度、坡角问题在解决坡度的有关问题中,一般通过作高构成直角三角形,坡角是一锐角,坡度实际就是一锐角的正切值,实质是解直角三角形问题,画出正确的图形更有助于解题.【例 4】河堤横断面如图
12、所示,堤高 BC=5米,迎水坡 AB的坡度是 1(坡度是坡面的铅直高度 BC与水平宽度 AC 之比),则 AC的长是 3( )A.5米 B.10米 C.15米 D.10米【标准解答】选 A.在 RtABC 中,BC=5米,tanA=1 ,3AC=BCtanA=5 米.3【例 5】某水坝的坡度 i=1 ,坡长 AB=20 米,则坝的高度为 ( )3A.10米 B.20米C.40米 D.20米【标准解答】选 A.如图,坡度 i=1 ,3设 AC=x,BC= x,3根据勾股定理得,AC 2+BC2=AB2,则 x2+( x)2=202,解得 x=10.3101.如图,一渔船由西往东航行,在 A点测得
13、海岛 C位于北偏东 60的方向,前进 40海里到达 B点,此时,测得海岛 C位于北偏东 30的方向,则海岛 C到航线 AB的距离 CD是( )A.20海里 B.40海里C.20 海里 D.40 海里3 31题图2题图2.如图,从一个建筑物的 A处测得对面楼 BC的顶部 B的仰角为 32,底部 C的俯角为 45,观测点与楼的水平距离 AD为 31m,则楼 BC的高度约为 m(结果取整数).(参考数据:sin 320.5,cos 320.8,tan 320.6)3.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知 BC=4米,AB=6 米,中间平台宽度 DE=1米,EN,DM,CB为三根垂直于 AB
14、的支柱,垂足分别为 N,M,B,EAB=31,DFBC 于 F,CDF=45,求 DM和 BC的水平距离 BM的长度.(结果精确到 0.1米,参考数据:sin 310.52,cos 310.86,tan 310.60)114.如图,要测量 A点到河岸 BC的距离,在 B点测得 A点在 B点的北偏东 30方向上,在 C点测得 A点在 C点的北偏西 45方向上,又测得 BC=150m.求 A点到河岸 BC的距离.(结果保留整数)(参考数据:1.41, 1.73)2 35.如图是一座人行天桥的示意图,天桥的高度是 10米,CBDB,坡面 AC的倾斜角为 45.为了方便行人推车过天桥,市政部门决定降低
15、坡度,使新坡面 DC的坡度为 i= 3.若新坡角下需留 3米宽的人行道,问离3原坡角(A 点处)10 米的建筑物是否需要拆除?(参考数据: 1.414, 1.732)2 3126.如图,台风中心位于点 O处,并沿东北方向(北偏东 45),以 40千米/小时的速度匀速移动,在距离台风中心 50千米的区域内会受到台风的影响,在点 O的正东方向,距离 60 千米的地方有一城市 A.2(1)问:A 市是否会受到此台风的影响,为什么?(2)在点 O的北偏东 15方向,距离 80千米的地方还有一城市 B,问:B 市是否会受到此台风的影响?若受到影响,请求出受到影响的时间;若不受到影响,请说明理由.7.如图
16、,轮船甲位于码头 O的正西方向 A处,轮船乙位于码头 O的正北方向 C处,测得CAO=45.轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们的速度分别为 45 km/h和 36 km/h.经过 0.1 h,轮船甲行驶至 B处,轮船乙行驶至 D处,测得DBO=58,此时 B处距离码头 O有多远?(参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.60)8.如图所示,港口 B位于港口 O正西方向 120km处,小岛 C位于港口 O北偏西60的方向.一艘游船从港口 O出发,沿 OA方向(北偏西 30)以 vkm/h的速度驶离港口 O,同时一艘快艇从港口 B出发,沿北偏东
17、 30的方向以 60km/h的速度驶向小岛 C,在小岛 C用 1h加装补给物资后,立即按原来的速度给游船送去.13(1)快艇从港口 B到小岛 C需要多长时间?(2)若快艇从小岛 C到与游船相遇恰好用时 1h,求 v的值及相遇处与港口 O的距离.9.如图 1是一把折叠椅子,图 2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图,其中 AD和 BC表示两根较粗的钢管,EG表示座板平面,EG 和 BC相交于点 F,MN表示地面所在的直线,EGMN,EG 距 MN的高度为42cm,AB=43cm,CF=42cm,DBA=60,DAB=80.求两根较粗钢管 AD和 BC的长.(结果精确到 0.1 cm.参考数据:sin
18、 800.98,cos 800.17,tan 805.67,sin 600.87,cos 60=0.5,tan 601.73)10.如图,一艘轮船航行到 B处,测得小岛 A在船的北偏东 60的方向,轮船从 B处继续向正东方向航行200海里到达 C处时,测得小岛 A在船的北偏东 30的方向.已知在小岛 170海里内有暗礁,若轮船不改变航向继续向前行驶,试问轮船有无触礁的危险?( 1.732)314跟踪训练答案解析第一章 直角三角形的边角关系1.解直角三角形的方法【跟踪训练】1.【解析】选 D.cosB= ,B=45,22当ABC 为钝角三角形时,如图 1,AB=12 ,B=45,AD=BD=12
19、,2AC=13,由勾股定理得 CD=5,BC=BD-CD=12-5=7;当ABC 为锐角三角形时,如图 2,BC=BD+CD=12+5=17,故选 D.2.【解析】选 D.连接 AC.CE 垂直平分 AB,BC=AC.又四边形 ABCD是菱形,AB=BC.ABC 是等边三角形,ABC=60.ABD= ABC=30.12BFE=60.tanBFE= .33.【解析】选 D.过 B点作 BDAC,如图,由勾股定理得,15AB= = ,AD= =2 ,12+32 10 22+22 2cosA= = = .A22102554.【解析】连接 BD,交 AC于点 O,四边形 ABCD是菱形,ACBD,在
20、RtAOB 中,AB=15,sinBAC= ,sinBAC= = ,BO=9,35 B35AO= = =12,A22 15292AC=2AO=24.答案:245.【解析】C=90,A=30,ABC=180-30-90=60,BC= AB=3,12BD 是ABC 的平分线,DBC= ABC=30,12CD=BCtan30=3 = ,33 3BD 是ABC 的平分线,又角平分线上的点到角两边的距离相等,点 D到 AB的距离=CD= .3答案: 36.【解析】在矩形 ABCD中,AC=10,BD=AC=10,BO= BD=5,1216DC=2 ,AD= =4 ,5 A22 5tanDAC= = ,C
21、12tan 2634 ,DAC2634,12OAB=OBA=90-DAC=6326,E 是 AD的中点,AE=AB=2 ,5ABE=AEB=45,EBD=OBA-ABE=1826.答案:5 18 267.【解析】|sin- |+ =0,12 (1)2sin= ,tan=1,=30,=45,12则 +=30+45=75.答案:758.【解析】(1)CAB=ACB,AB=CB,ABCD 是菱形.ACBD.(2)在 RtAOB 中,cosOAB= = ,AB=14,AO=14 = ,A78 78494在 RtABE 中,cosEAB= = ,AB=14,AE= AB=16,A78 87OE=AE-A
22、O=16- = .4941549.【解析】(1)DHAB,BHD=ABC=90,ABCDHC, = =3,ABCH=1,BH=BC+CH=3+1=4,17在 RtBHD 中,cosHBD= ,BBDcosHBD=BH=4.(2)CBD=A,ABC=BHD,ABCBHD, = ,BAABCDHC, = =3,AAAB=3DH, = ,解得 DH=2,334AB=3DH=32=6,即 AB的长是 6.10.【解析】(1)过点 A作 AEBC 于点 E,cosC= ,22C=45,在 RtACE 中,CE=ACcosC=1,AE=CE=1,在 RtABE 中,tanB= ,即 = ,13 A13BE
23、=3AE=3,BC=BE+CE=4.(2)AD 是ABC 的中线,CD= BC=2,DE=CD-CE=1,12AEBC,DE=AE,ADC=45,sinADC= .222.解直角三角形的实际应用【跟踪训练】1.【解析】选 C.根据题意可知CAD=30,18CBD=60,CBD=CAD+ACB,CAD=30=ACB,AB=BC=40 海里,在 RtCBD 中,BDC=90,DBC=60,sinDBC= ,sin 60= ,C CCD=40sin 60=40 =20 (海里).32 32.【解析】在 RtABD 中,AD=31,BAD=32,BD=ADtan 32310.6=18.6,在 RtAC
24、D 中,DAC=45,CD=AD=31,BC=BD+CD=18.6+31=49.650(m).答案:503.【解析】设 BM为 x米,则 DF=BM=x米,在 RtCFD 中,CDF=45,CF=DFtan 45=DF=x 米,BF=BC-CF=(4-x)米,EN=BF=(4-x)米,在 RtANE 中,EAN=31,AN= = (4-x).E3140.653AN+MN+BM=AB,MN=DE=1, (4-x)+1+x=6,解得 x=2.5.53答:DM 和 BC的水平距离 BM的长度约为 2.5米.4.【解析】过点 A作 ADBC 于点 D,设 AD=xm.19在 RtABD 中,ADB=9
25、0,BAD=30,BD=ADtan 30= x.33在 RtACD 中,ADC=90,CAD=45,CD=AD=x.BD+CD=BC, x+x=150,33x=75(3- )95.3即 A点到河岸 BC的距离约为 95m.5.【解析】需要拆除,理由为:CBAB,CAB=45,ABC 为等腰直角三角形,AB=BC=10 米,在 RtBCD 中,新坡面 DC的坡度为 i= 3,即CDB=30,3DC=2BC=20 米,BD= =10 米,C22 3AD=BD-AB=(10 -10)米7.32 米,33+7.32=10.3210,需要拆除.6.【解析】(1)作 ADOC,由题意得:DOA=45,OA=60 km,2AD=DO=60 =60km,2 26050,A 市不会受到此台风的影响.(2)作 BGOC 于 G,由题意得:BOC=30,OB=80km,BG= OB=40km,40170,轮船无触礁的危险.
