1、1考点强化练 19 解直角三角形及其应用夯实基础1.(2018云南)在 Rt ABC 中, C=90,AC=1,BC=3,则 A 的正切值为( )A.3 B. C. D.13 1010 31010答案 A解析 根据正切的意义得 tanA= =3.BCAC=312.(2018湖南益阳)如图,小刚从山脚 A 出发,沿坡角为 的山坡向上走了 300 米到达 B 点,则小刚上升了( )A.300sin B.300cos C.300tan D.300tan答案 A解析 sin= ,BC=AB sin= 300sin ,故选 A.BCAB3.(2018吉林长春)如图,某地修建高速公路,要从 A 地向 B
2、地修一条隧道(点 A、 B 在同一水平面上) .为了测量 A、 B 两地之间的距离,一架直升飞机从 A 地出发,垂直上升 800 米到达 C 处,在 C 处观察 B地的俯角为 ,则 A、 B 两地之间的距离为( )A.800sin 米 B.800tan 米C. 米 D. 米800sin 800tan答案 D解析 由题中条件可知,在 Rt ABC 中, ABC= ,AC=800 米,由 tan= ,可得 AB= 米 .ACAB 800tan4.2(2018江苏苏州)如图,某海监船以 20 海里 /时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至 A 处时,测得岛屿 P 恰好在其正北方向,继续
3、向东航行 1 小时到达 B 处,测得岛屿 P 在其北偏西 30方向,保持航向不变又航行 2 小时到达 C 处,此时海监船与岛屿 P 之间的距离(即 PC 的长)为( )A.40 海里 B.60 海里C.20 海里 D.40 海里3 3答案 D解析 本题解答时要利用直角三角形的边角关系和勾股定理来进行计算 .由题意可知AB=20, APB=30,PA= 20 ,3BC= 220=40,AC= 60,PC= =40 (海里),故选 D.PA2+AC2= (203)2+602 35.(2018长丰一模)计算:2cos 60 +4sin 60tan 30-cos245= . 答案52解析 原式 =2
4、+4 =1+2- .12 3233-(22)2 12=526.(2018山东枣庄)如图,某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31,AB 的长为 12 米,则大厅两层之间的高度为 米 .(结果保留两个有效数字) (参考数据:sin 31 =0.515,cos 31=0.857,sin 31=0.601)答案 6.2解析 在 Rt ABC 中, =sin BAC,即 =sin31,BC=120.515=6.186 .2(米),故填 6.2.BCAB BC127.(2018吉林)数学活动小组的同学为测量旗杆高度,先制定了如下测量方案,使用工具是测角仪和皮尺 .请帮助组长林平完成方格内容,用含
5、a,b,c 的代数式表示旗杆 AB 的高度 .数学活动方案活动时间:2018 年 4 月 2 日 活动地点:学校操场 填表人:林平课题 测量学校旗杆的高度活动目的 运用所学数学知识及方法解决实际问题3方案示意图测量步骤(1)用 测得 ADE= ; (2)用 测得 BC=a 米,CD=b 米 计算过程解 测量步骤:(1)测角仪 (2)皮尺计算过程:如题图, ADE= ,DE=BC=a,BE=CD=b,在 Rt ADE 中, AED=90, tan ADE= ,AEDEDE=AE tan ADE=atan.AB=AE+BE= (b+atan )(米) .8.(2018辽宁抚顺)如图, BC 是路边
6、坡角 30,长为 10 米的一道斜坡,在坡顶灯杆 CD 的顶端 D 处有一探射灯,射出的边缘光线 DA 和 DB 与水平路面 AB 所成的夹角 DAN 和 DBN 分别是 37和60(图中的点 A,B,C,D,M,N 均在同一平面内, CM AN).(1)求灯杆 CD 的高度;(2)求 AB 的长度(结果精确到 0.1 米) .(参考数据: =1.73,sin 370 .60,cos 370 .80,tan 370 .75)3解 (1)延长 DC 交 AN 于 E, DBN=60,BC=10 米, CBN=30, DCM=90,CM AN, BDE=30, DEB=90.CE= BC=5(米)
7、, BE= BC=5 (米) .12 BC2-CE2= 32 3 tan DBE= ,DEBE=DC+CEBE= 3解得 CD=10(米) .(2)由(1)可知, DE=15 米, BE=5 米 .3AE=AB+BE ,tan DAN= , DAN=37,DEAE= DEAB+BE 0 .75,解得 AB11 .4(米) .15AB+5349.(2018江苏徐州)如图,1 号楼在 2 号楼的南侧,两楼的高度均为 90 m,楼间距为 AB.冬至日正午,太阳光线与水平面所成的角为 32.3,1 号楼在 2 号楼墙面上的影高为 CA;春分日正午,太阳光线与水平面所成的角为 55.7,1 号楼在 2
8、号楼墙面上的影高为 DA.已知 CD=42 m.(1)求楼间距 AB;(2)若 2 号楼共有 30 层,层高均为 3 m,则点 C 位于第几层?(参考数据:sin 32 .30 .53,cos 32.30 .85,tan 32.30 .63,sin 55.70 .83,cos 55.70 .56,tan 55.71 .47)解 (1)过点 C,D 分别作 CE PB,DF PB,垂足分别为 E,F.则有 AB=CE=DF,EF=CD=42.由题意可知: PCE=32.3, PDF=55.7,在 Rt PCE 中, PE=CEtan32.3=0.63CE.在 Rt PDF 中, PF=CEtan
9、55.7=1.47CE.PF-PE=EF , 1.47CE-0.63CE=42,AB=CE= 50(m).答:楼间距为 50m.(2)由(1)得: PE=0.63CE=31.5(m),AC=BP-PE= 90-31.5=58.5(m),58.53=19.5, 点 C 位于第 20 层 .答:点 C 位于第 20 层 .10.5(2017内蒙古包头)如图,在 ABC 中, C=90, B=30,AD 是 ABC 的角平分线, DE BA 交 AC于点 E,DF CA 交 AB 于点 F,已知 CD=3.(1)求 AD 的长;(2)求四边形 AEDF 的周长 .(注意:本题中的计算过程和结果均保留
10、根号)解(1)在 ABC 中, C=90, B=30, BAC=60.AD 是 ABC 的角平分线, CAD= BAD= BAC=30.12在 Rt ACD 中, CAD=30,CD=3,CD= AD,AD= 6.12(2)DE BA,DF CA, 四边形 AEDF 为平行四边形, BAD= EDA. CAD= BAD, CAD= EDA,AE=DE. 四边形 AEDF 为菱形 .DE BA, CDE= B=30,在 Rt CDE 中, C=90, cos CDE= ,CDEDED= =2 .3cos30 3 四边形 AEDF 的周长为 4ED=42 =8 .3 3提升能力11.(2018北京
11、)如图所示的网格是正方形网格, BAC DAE.(填“ ”“=”或“ 解析 如图,取格点 N,点 H,连接 NH、 BC,过 N 作 NP AD 于 P,6S ANH=22- 122- 11= AHNP,12 12 12PN,PN= ,Rt ANP 中,sin NAP= =0.6,32= 52 35 PNAN= 355=35Rt ABC 中,sin BAC= 0.6,BCAB= 222= 22 正弦值随着角度的增大而增大, BAC DAE.12.(2018内蒙古通辽)我市 304 国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰,如图所示,其中山脚 A、 C 两地的海拔高度约为 1 000 米,山
12、顶 B 处的海拔高度约为 1 400 米,由 B 处望山脚 A 处的俯角为 30,由 B 处望山脚 C 处的俯角为 45,若在 A、 C 两地间打通一条隧道,求隧道最短为多少米(结果取整数,参考数据 1 .732).3解 作 BD AC,垂足为 D,如图所示 .由题意可得 BD=1400-1000=400(米), BAC=30, BCA=45,在 Rt ABD 中, tan30= ,即 ,AD= 400 (米) .BDAD 400AD= 33 3在 Rt BCD 中, BCA=45,DC=DB= 400(米) .AC=AD+DC= 400 +4001092 .81093(米) .3答:隧道最短
13、约为 1093 米 .13.(2018山东莱芜,20)在小水池旁有一盏路灯,已知支架 AB 的长是 0.8 m,A 端到地面的距离 AC为 4 m,支架 AB 与灯柱 AC 的夹角为 65.小明在水池的外沿 D 测得支架 B 端的仰角为 45,在水池的内沿 E 测得支架 A 端的仰角为 50(点 C,E,D 在同一直线上),求小水池的宽 DE.(结果精确到 0.1 m)(sin 650 .9,cos 650 .4,tan 501 .2)解 过点 B 作 BF AC 于 F,BG CD 于 G.在 Rt BAF 中, BAF=65,BF=ABsin BAF=0.80.9=0.72,7AF=ABc
14、os BAF=0.80.4=0.32,FC=AF+AC= 4.32.由题意可知四边形 FCGB 是矩形,BG=FC= 4.32,CG=BF=0.72. BDG=45, DBG= GDB,GD=GB= 4.32,CD=CG+GD= 5.04.在 Rt ACE 中, AEC=50,CE= 3 .33,ACtan AEC= 41.2DE=CD-CE= 5.04-3.33=1.711 .7.答:小水池的宽是 1.7m. 导学号 1673412414.(2018江苏扬州)问题呈现:如图 1,在边长为 1 的正方形网格中,连接格点 D、 N 和 E、 C,DN 和EC 相交于点 P,求 tan CPN 的
15、值 .方法归纳:求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形 .观察发现问题中 CPN 不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点 M,N,可得 MN EC,则 DNM= CPN,连接 DM,那么 CPN 就变换到 Rt DMN 中 .问题解决(1)直接写出图 1 中 tan CPN 的值为 ; (2)如图 2,在边长为 1 的正方形网格中, AN 与 CM 相交于点 P,求 cos CPN 的值;思维拓展(3)如图 3,AB BC,AB=4BC,点 M 在 AB 上,且 AM=BC,延长 CB 到 N,使 BN=2BC,连接 AN 交 C
16、M 的延长线于点 P,用上述方法构造网格求 CPN 的度数 .解 (1)由勾股定理得: DM=2 ,MN= ,DN= , (2 )2+( )2=( )2,2 2 10 2 2 10DM 2+MN2=DN2, DMN 是直角三角形 .MN EC, CPN= DNM. tan DNM= =2,DMMN=2228 tan CPN=2.(2)法 1:如图,cos CPN=cos QCM= .22法 2:如图中,取格点 D,连接 CD,DM.CD AN, CPN= DCM, DCM 是等腰直角三角形, DCM= CDM=45, cos CPN=cos DCM= .22(3)法 1:如图, CPN= CM
17、Q=45.法 2:如图, CPN= QAN=45.法 3:如图中,取格点 Q,连接 AQ、 NQ.PC QN, CPN= ANQ.9AQ=QN , AQN=90, ANQ= QAN=45, CPN=45. 导学号 1673412515.(2018山东莱芜)如图,若 ABC 内一点 P 满足 PAC= PCB= PBA,则称点 P 为 ABC 的布罗卡尔点 .三角形的布罗卡尔点是法国数学家和教育家克雷尔首次发现,后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现,并用他的名字命名,布罗卡尔点的再次发现,引发了研究“三角形几何”的热潮 .已知 ABC 中, CA=CB, ACB=120,P 为 ABC 的布
18、罗卡尔点,若 PA= ,则 PB+PC= . 3答案 1+33解析 如图,由“布罗卡尔点”的定义,设 PAC= PCB= PBA= ,又 CA=CB, ACB=120, ABC= BAC=30, CBP= PAB=30-= , BCP ABP, ,而在 ABC 中,作 CD AB 于 D,则 BD= AB,而 cosB= ,PBPA=BCAB=PCPB 12 BDBC= 32 , ,BCAB= 13 PB3= 13=PCPBPB= 1,PC= ,PB+PC= 1+ .故答案为 1+ .33 33 33创新拓展16.在边长为 2 的等边三角形 ABC 中, P 是 BC 边上任意一点,过点 P
19、分别作 PM AB,PN AC,M,N 分别为垂足 .(1)求证:不论点 P 在 BC 边的何处时都有 PM+PN 的长恰好等于三角形 ABC 一边上的高;(2)求当 BP 的长为何值时,四边形 AMPN 的面积最大,并求出最大值 .(1)证明 连接 AP, ABC 是等边三角形,故不妨设 AB=BC=AC=a,其中 BC 边上的高记作 h,PM AB,PN AC,S ABC=S ABP+S ACP10= ABMP+ ACPN12 12= a(PM+PN),12又 S ABC= BCh= ah,12 12PM+PN=h.即不论点 P 在 BC 边的何处时都有 PM+PN 的长恰好等于三角形 ABC 一边上的高 .(2)解 设 BP=x,在 Rt BNP 中, BMP=90, B=60,BP=x,BM=BP cos60= x,12MP=BPsin60= x,32S BMP= BMMP= x x= x2;12 1212 32 38PC= 2-x,同理可得 S PNC= (2-x)2,38又 S ABC= 22= ,34 3S 四边形 AMPN=S ABC-S BMP-S PNC= x2- (2-x)23-38 38=- (x-1)2+ ,34 334 当 BP=1 时,四边形 AMPN 的面积最大,是 .33411
