1、- 1 -2.2.2 反证法课后训练案巩固提升一、A 组1.在运用反证法推出矛盾的推理过程中,可以把下列哪些作为条件使用( ) 结论的反设; 已知条件; 定义、公理、定理等; 原结论 .A.B.C.D.解析: 除原结论不能作为推理条件外,其余均可 .答案: C2.实数 a,b,c 不全为正数,是指( )A.a,b,c 均不是正数B.a,b,c 中至少有一个是正数C.a,b,c 中至多有一个是正数D.a,b,c 中至少有一个不是正数解析: 实数 a,b,c 不全为正数,是指 a,b,c 中至少有一个不是正数,故选 D.答案: D3.下列命题错误的是( )A.三角形中至少有一个内角不小于 60B.
2、四面体的三组对棱都是异面直线C.在区间( a,b)内单调的函数 f(x)至多有一个零点D.若 a,bZ,且 a+b 为偶数,则 a,b 都不是奇数解析: 当 a,bZ,且 a+b 为偶数时, a,b 可以都是偶数,也可以都是奇数,故 D 项错误 .答案: D4.如果两个实数之和为正数,那么这两个数( )A.至少有一个是正数B.都是正数C.一个是正数,一个是负数D.都是负数解析: 假设两个数都不是正数,即都是负数或者 0,其和必为负数或者 0,与已知矛盾,所以两个数中至少有一个是正数,故选 A.答案: A5.用反证法证明命题“若 a+b+c0, abc0,则 a,b,c 三个实数中最多有一个小于
3、零”的反设内容为( )A.a,b,c 三个实数中最多有一个不大于零B.a,b,c 三个实数中最多有两个小于零C.a,b,c 三个实数中至少有两个小于零D.a,b,c 三个实数中至少有一个不大于零解析: “最多有一个”的否定是“至少有两个” .故选 C.答案: C6.命题“在 ABC 中, AB,则 ab”,用反证法证明时,假设应该是 . 解析: 结论是“ ab”,其否定是“ a b”.- 2 -答案: a b7.“x=0,且 y=0”的否定形式为 . 解析: “p 且 q”的否定形式为“ p 或 q”.答案: x0 或 y08.完成反证法证题的全过程 .题目:设 a1,a2,a7是由数字 1,
4、2,7 任意排成的一个数列, p=(a1-1)+(a2-2)+(a7-7),求证: p 为偶数 .证明:假设 p 为奇数,则 均为奇数 . 因为 7 个奇数之和为奇数,故有(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)为 . 而( a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)= . 与 矛盾,故假设不成立,故 p 为偶数 .解析: 由假设 p 为奇数,可知 a1-1,a2-2,a7-7 均为奇数,故( a1-1)+(a2-2)+(a7-7)为奇数,而(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=0,矛盾,故假设不成立,故 p 为偶数
5、.答案: a1-1,a2-2,a7-7 奇数 09.已知 a,b,c 是互不相等的非零实数,求证:由 y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a 和 y=cx2+2ax+b 确定的三条抛物线中至少有一条与 x 轴有两个不同的交点 .证明: 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x 轴有两个不同的交点 .由 y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得 1=(2b)2-4ac0,且 2=(2c)2-4ab0,且 3=(2a)2-4bc0 .同向不等式求和得 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0, 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0 .
6、 (a-b)2+(b-c)2+(a-c)20 .a=b=c.这与题设 a,b,c 互不相等矛盾,因此假设不成立,从而原命题得证 .10.如图,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内, M,N 分别为 AB,DF 的中点 .用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线 .证明: 假设 ME 与 BN 共面,则 AB平面 MBEN,且平面 MBEN平面 DCEF=EN.由已知两正方形不共面,得 AB平面 DCEF.又 AB CD,所以 AB平面 DCEF,而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线,所以 AB EN.又 AB CD EF,所以 EN EF,这与 EN
7、 EF=E 矛盾,故假设不成立,所以 ME 与 BN 不共面,即直线 ME 与 BN 是两条异面直线 .- 3 -二、B 组1.用反证法证明命题“如果实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有有理数根,那么 a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是( )A.假设 a,b,c 都是偶数B.假设 a,b,c 都不是偶数C.假设 a,b,c 至多有一个是偶数D.假设 a,b,c 至多有两个是偶数解析: “至少有一个”的否定是“一个都没有” .答案: B2.在 ABC 中,若 AB=AC,P 是 ABC 内的一点, APB APC,求证: BAP CAP.答案: BAP= CAP B
8、AP CAP3.设 a,b 是两个实数,给出下列条件:a+b 1;a+b= 2;a+b 2;a 2+b22;ab 1.其中能推出“ a,b 中至少有一个大于 1”的条件是 (填序号) . 解析: 若 a= ,b= ,则 a+b1,但 a2,故 推不出;若 a=-2,b=-3,则 ab1,故 推不出;若 a+b2,则 a,b 中至少有一个大于 1.用反证法证明 :假设 a1 且 b1,则 a+b2 与 a+b2 矛盾,因此假设不成立,故 a,b 中至少有一个大于 1.故答案为 .答案: 4. 导学号 40294015 已知 m 是整数,且 m2+6m 是偶数,求证: m 不是奇数 .证明: 假设
9、 m 是奇数,不妨设 m=2k-1(kZ),则 m2+6m=(2k-1)2+6(2k-1)=4k2+8k-5=4(k2+2k)-5,因为 kZ,所以 k2+2kZ,于是 4(k2+2k)是偶数,从而 4(k2+2k)-5 为奇数,即 m2+6m 是奇数,这与已知条件中的 m2+6m 是偶数相矛盾,因此假设错误,即 m 不是奇数 .5.已知 a,b,c,dR,且 a+b=c+d=1,ac+bd1,求证: a,b,c,d 中至少有一个是负数 .证明: 假设 a,b,c,d 都是非负数,即 a0, b0, c0, d0,因为 a+b=c+d=1,所以( a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+b
10、c)=1,于是 ac+bd=1-(ad+bc)1,这与 ac+bd1 相矛盾,故假设不成立,即 a,b,c,d 中至少有一个是负数 .6.设 an是公比为 q 的等比数列 .(1)推导 an的前 n 项和公式;(2)设 q1,证明数列 an+1不是等比数列 .(1)解: 设 an的前 n 项和为 Sn,当 q=1 时, Sn=a1+a1+a1=na1;- 4 -当 q1 时, Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1, qSn=a1q+a1q2+a1qn, - 得,(1 -q)Sn=a1-a1qn,S n= ,S n=(2)证明: 假设 an+1是等比数列,则对任意的 kN *,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1.a 10, 2qk=qk-1+qk+1.q 0,q 2-2q+1=0,q= 1,这与已知矛盾 . 假设不成立,故 an+1不是等比数列 .
