1、1黑龙江省大庆实验中学 2019 届高三数学上学期期中试卷 理（含解析）注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答
2、在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1已知复数 ，若 ，则 =+(,) 3+3=+(1) |=A B C D52 2 52已知集合 , ，则 =|22110) 34,2内恰好取得一次最大值 2，则 的取值范围是0,2 A B C D(0,23 14,23 (0,34 14,3412已知函数 ，若对任意的 且 ，都有()=(1)3122+2 1,2(0,+), 12，则实数 的取值范围是1(
3、1)+2(2)2(1)+1(2) A B C D(,3) (,3 (,13) (,13二、填空题13已知实数 x、 y 满足 ，则目标函数 的最小值为_+503+0 =+2214已知函数 是定义在 上的奇函数，则 _.()=2+22+1 =15如图，在底面为正方形的四棱锥 中， ，点 为棱=2 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为_ 16若数列 满足 ， ，数列 的通项公式 1=1 (1)(+1)=321() ，则数列 的前 10 项和 _= +1(21)(2+11) 10=三、解答题17已知等比数列 中， 依次是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且 ， 3,4,5 1=32
4、公比 1（1）求 ； （2）设 ，求数列 的前 项和=2 18已知 分别为 三个内角 的对边，向量 ， 且, , =(,) =(,).=2（1）求角 的大小；（2）若 ，且 面积为 ，求边 的长.+=3 63 19在 中， ， 分别为 ， 的中点， ，如图 1.以 为折痕将 =2=2 折起，使点 到达点 的位置，如图 2. 如图 1 如图 2（1）证明：平面 平面 ； （2）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值。 20在数列 中, 已知 ，且数列 的前 项和 满足 , . 1=1 4+13=4 （1）证明数列 是等比数列； （2）设数列 的前 项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立,
5、求 +(34)160)22增区间，结合已知可得 ， ，可解得 0 ，又函数在区间0，2上恰好22 34,2 23取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得 ，得 ，进而得解14 22 14【详解】=2sinx ，()=(+3)3(+3) (0) ， 是函数含原点的递增区间22又函数在 上递增，34,2 ， ，22 34,2得不等式组： ，且 ，234 2 2又0，0 ，23又函数在区间0，2上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知 且 14 2254 22可得 ， 综上：14 54) 14,23故选：B【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函
6、数的图象和性质解题，属于中档题12D【解析】【分析】将 x1f（x 1）+x 2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1）变形得f（x 1）f（x 2）（x 1x 2）0，进而分析函数 f（x） 为增函数或常数函数 ,据此可得答案在 (0,+)【详解】根据题意，将 x1f（x 1）+x 2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1）变形可得f（x 1）f（x 2）（x 1x 2）0，所以函数 f（x） 为增函数或常数函数 .在 (0,+)当 f（x） 为增函数时，则 f（x）=x -3kx -x ，在 (0,+) ex 2 0在 (0,+)恒成立所以 3k ，h（x）= ，（ e
7、x-1x ） ex-1xh（x） = 0, h(x) 为增函数, (1)+12 在(0,+)x , h(x) 1 3k ， k .0 113因为 f（x） 不可能为常数函数，（舍） 所以 k .在 (0,+)13故选：D【点睛】本题考查函数单调性的判定与应用，关键是依据 x1f（x 1）+x 2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1），判断出函数 f（x） 为增函数或常数函数，利用导数求出 k 的范围，属于中档题.在 (0,+)13 3【解析】满足条件的点 的可行域如下：(,)由图可知，目标函数 在点 处取到最小值-3=+2 (3,3)141【解析】依题意可得， ，则 ，解得(0)=
8、0222 =0 =1当 时， ，则=1()=212+1 ()=212+1=121+2=()所以 为奇函数，满足条件，故() =115 36【解析】【分析】做出平行四边形，将要求的角转化为角 GFD 或其补角为所求角，在三角形 FDG 中应用余弦定理得到夹角的余弦值.【详解】取 PD 的中点记为 F 点，BC 的中点记为 点，连接 FG，GD，因为 ，且 ，EF/BC=12，故得到四边形 EFGB 为平行四边形，故角 GFD 或其补角为所求角，根据题干得到，三角=12形 PAB 为等边三角形，BF 为其高线，长度为 ，FG= ，DG= ，3 3 2+2=5FD=1，根据余弦定理得到 ，因为异面直
9、线夹角为直角或锐角，故取=3+1523 =36正值，为： .36故答案为： .36【点睛】这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.1620462047【解析】【分析】对于 ，当 n=1，代入得 -4,依次得(1)(+1)=321 a2=发现规律， 利用 ，求出 .a3=10， a4=-22， a5=46.= +1(21)(2+11) 10【详解】由 ，当 n=1，代入得 -4,依次得(1)(+1)=321 a2=发现规律， 利用a3=322-2， a4=-323+2，
10、a5=324-2， a6=-325+2， a7=326-2.，得 b =- ， ，求= +1(21)(2+11) 1 43 b2= 1037， b3=- 22715， b4= 461531， b5=- 943163.出 .10=20462047故答案为：20462047【点睛】本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前 10 项和，属于中档题.17（1） ;（2） .=26 =2112【解析】【分析】（）设某等差数列c n的公差为 d，等比数列a n的公比为 q，依题意可求得 q= ，从而可求12得数列a n的通项公式；（）由（）知 ，于是可求
11、得 bn=n-6，继而可得数列b n的前=26n 项和 Tn【详解】(1)设某等差数列c n的公差为 d，等比数列a n的公比为 q，a 3，a 4， 分别是某等差数列 cn的第 5 项、第 3 项和第 2 项，且 a1=32，5a 3=c5，a 4=c3， = 52c 5=c3+2d=c2+3d，即 a3=a4+2d=a5+3d，d= ，a3-a42 =a4-a5 ，解得 q= 或 q=1，又 q1，q= ，a3=3a4-2a5a n=32 = 26（）b n= =- ，所以数列 是以-5 为首项，以 1 为公差的等差数列，2 226-n=n-6 T n= n（ -5+n-6）2 =n（ n
12、-11）2 2112【点睛】本题考查等差，等比数列的通项公式和等差数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，属于中档题18(1)C= (2)c=63【解析】【分析】（1）利用向量的数量积、两角和的正弦公式及三角函数的倍角公式即可得出；（2）利用正弦定理化简已知等式，得到 a+b= c，再利用三角形面积公式表示出三角形 ABC 面积，将 sinC 以及3已知面积代入求出 ab 的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将 a+b 与ab，cosC 的值代入即可求出 c 的值【详解】（1） ，sin2C=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，2s
13、inCcosC=sinC，0C，sinC0，cosC= ，C= （2）由题意得 sinA+sinB= sinC，利用正弦定理化简得：a+b= c，3 3S ABC = absinC= ab=6 ，即 ab=24 ，由余弦定理得：c 2=a2+b22abcosC=（a+b） 23ab，即 c2= ab=36，所以 c=632【点睛】本题考查了平面向量数量积公式的运用、正弦定理和余弦定理解三角形；熟练掌握向量的数量积运算、三角函数的有关公式及性质是解题的关键19(1)见解析；（2）直线 与平面 所成角的正弦值为 . 64【解析】【分析】（1）在题图 1 中，可证 ，在题图 2 中， 平面 .进而得
14、到 平面 .从而 证得平面 平面 ； （2）可证得 平面 . .则以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求直线 与平面 所成角 的正弦值.【详解】（1）证明：在题图 1 中，因为 ，且 为 的中点.由平面几何知识，得=2=2 . =90又因为 为 的中点，所以 在题图 2 中， ， ，且 ， =所以 平面 ， 所以 平面 . 又因为 平面 ， 所以平面 平面 . （2）解：因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， = .所以 平面 . 又因为 平面 ， 所以 .以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方
15、向建立如图所示的空间直 角坐标系在题图 1 中，设 ，则 ， ， ， .=2 =4=23 =3 =则 ， ， ， .(0,0, 3) (,0,0) (0,3,0) (2,3,0)所以 ， ， . =(,0,3) =(2,0,0) =(0,3,3)设 为平面 的法向量，=(,) 则 ，即=0,=0, 2=0,3+3=0. 令 ，则 .所以 . =1 =1 =(0,1,1)设 与 平面所成的角为 ， 则 .=,=|,|=| = 322=64所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 64【点睛】本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求线面角，属中档题.20(1)见解析(2) (, 20)【解析】分析
16、：（1）利用 推出 是常数，然后已知 ，即可证明4+13=4+1=3421=34数列 是等比数列； （2）利用错位相减法求出数列 的前 项和为 n，化简不等式 ，通过对 +(34)16设 , ()=42+16. ()=(1)=20故所求实数 的取值范围是 . (, 20)点睛：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前 n 项和的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力21（1）极小值为 ，无极大值；（2）0 |1,212 【解析】【分析】（1）由 a=1，得函数 f（x）的解析式，求出其导函数以及导数为 0 的根，通过比较两根的大小找到函数的单调区间，进而求出 f（x）的极小值；（2）求导后按 a
17、 1,或 ae2，或 1e2进行分类讨论，求出 a 的范围.【详解】（1） 时， 函数的定义域为 令 解得 或 （舍）时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增列表如下1- 0 +单调递减 极小值 单调递增所以 时，函数的极小值为 ，函数无极大值. （2） ，其中 当 时， 恒成立， 单调递增，又因为所以函数 在区间 上有唯一的零点，符合题意。当 时， 恒成立， 单调递减，又因为所以函数 在区间 上有唯一的零点，符合题意。当 时，时， ， 单调递减，又因为所以函数 在区间 上有唯一的零点； 时， ， 单调递增，又因为所以当 时符合题意，即所以 时，函数 在区间 上有唯一的零点；所以 的取值范围是
18、【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，满足条件的实数的取值范围的求法综合性强，难度大，具有一定的探索性解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化22（1） ；（2） .(0,3),(23,) (,1)【解析】【分析】(1)令 f(x)0 解得 0x 或 得 的单调区间.（2）法一：令 g（x）=f（x）-3 23 ()1+sinx+ 0 在 上恒成立，利用 g（ ）0，求出 a-1，再对 a-1 进行分类讨论.法二：变2 0， 2量分离，当 x=0 时，不等式恒成立；当 ，再构造新函数，(0, a(+12 )求最值即可.【详解】（1） 时 ，解得 或所以函数的单调递减区间是 ， （2）
19、方法一，则只需 在 时恒成立，则 所以因为 ，所以1）当 时， ， 单调递减， ，符合题意2）当 时，存在 ， 使得 ， 时， ， 单调递减， ，符合题意； 时， ， 单调递增， 时 取得最大值；因为 ，所以 所以令 ，其中则 ，单调递增， ，所以 ， 时 ，符合题意； 时， ， 单调递减； ，符合题意。所以 的取值范围是 方法二：即 当 时，不等式恒成立当 时，只需 成立令 ，则 令则所以当 时 ， 单调递减当 时 ， 单调递增又因为 ， 结合单调性可知 时 ， 时即 时 单调递减， 单调递增。时， 取得最小值 所以 的取值范围是【点睛】本题考查的是利用导数求单调区间和参数的范围，常用的有两种方法：函数法和分离法.函数法要注意的是按 a 分类标准进行讨论较为简单；分离法要注意的是 x 的范围能不能作为分母，属于中档题.
