1、9.6 双曲线,第九章 平面解析几何,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.双曲线定义 平面内与两个定点F1，F2的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 ，两焦点间的距离叫做_ _. 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0. (1)当 时，P点的轨迹是双曲线； (2)当 时，P点的轨迹是两条射线； (3)当 时，P点不存在.,ZHISHISHULI,距离的差的绝对值,双曲线的焦点,双曲线,的焦距,2a|F1F2|,2a|
2、F1F2|,2a|F1F2|,2.双曲线的标准方程和几何性质,xa或xa，yR,xR，ya或ya,坐标轴,原点,2.双曲线的标准方程和几何性质,xa或xa，yR,xR，ya或ya,坐标轴,原点,(1，),2a,2b,a2b2,【概念方法微思考】,1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？,提示 不一定. 当2a|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线； 当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在； 当2a0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.,2.方程Ax2By21表示双曲线的充要条件是什么？,提示 若A0，B0，表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax
3、2By21表示双曲线的充要条件是AB0.,3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a0，b0，二者没有大小要求，若ab0，ab0，0ab，双曲线哪些性质受影响？,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ),1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,7,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,4.P62A组T6经过点A(4，1)，且对称
4、轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 _.,把点A(4，1)代入，得a215(舍负)，,7,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,7,1,2,3,4,5,6,7,(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2， 由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)， 焦距2c22|m|4，解得|m|1， 1n3，故选A.,1,2,3,4,5,6,即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，,7,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 双曲线的定义,师生共研,例1 (1)已知定点F1(2，0)，F2(2，0)，N是
5、圆O：x2y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D. 圆,解析 如图，连接ON， 由题意可得|ON|1，且N为MF1的中点， 又O为F1F2的中点， |MF2|2. 点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P， 由垂直平分线的性质可得|PM|PF1|， |PF2|PF1|PF2|PM|MF2|2|F1F2|， 由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.,(2)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cos
6、F1PF2_.,1.本例(2)中，若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？,解 不妨设点P在双曲线的右支上，,|PF1|PF2|8，,解 不妨设点P在双曲线的右支上，,在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即|PF1|2|PF2|216，|PF1|PF2|4，,(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程. (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1| |PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系.,跟踪训练1 (2016浙江)设双曲线x
7、2 1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_.,由对称性不妨设P在右支上， 设|PF2|m， 则|PF1|m2am2， 由于PF1F2为锐角三角形，,又|PF1|PF2|2m2，,题型二 双曲线的标准方程,师生共研,例2 (1)(2018浙江省金华东阳中学期中)ABC的顶点为A(5，0)，B(5，0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是,解析 由条件可得，圆与x轴的切点为T(3，0)， 由相切的性质得|CA|CB|TA|TB|826|AB|10， 因此点C在以A，B为焦点的双曲线的右支上， 2a6，2c10
8、， a3，b4，,(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：,b6，c10，a8.,焦距为26，且经过点M(0，12)；,解 双曲线经过点M(0，12)，M(0，12)为双曲线的一个顶点， 故焦点在y轴上，且a12. 又2c26，c13，b2c2a225.,解 设双曲线方程为mx2ny21(mn0).,求双曲线标准方程的方法 1.定义法 根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： (1)c2a2b2； (2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.,2.待定系数法 (1)一般步骤 判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x轴上，还是在y轴
9、上，还是两个坐标轴都有可能； 设：根据中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程； 列：根据题意，列出关于a，b，c的方程或者方程组； 解：求解得到方程.,(2)常见设法,跟踪训练2 (1)设椭圆C1的离心率为 ，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方 程为_.,解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5，0)，F2(5，0)， 设曲线C2上的一点P， 则|PF1|PF2|8. 由双曲线的定义知，a4，b3.,可得a2b29. 由可得a24，b25.,题型三 双曲线的几何性质,命题点1 与渐近线有关的问题,多维探究,解析 如
10、图所示，连接OA，OB，,则C(a，0)，F(c，0). 由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，,因为|OA|OC|a，所以ACO为等边三角形，所以AOC60. 因为FA与圆O切于点A，所以OAFA， 在RtAOF中，AFO90AOF906030， 所以|OF|2|OA|，即c2a，,命题点2 求离心率的值(或范围),解析 设O为坐标原点，由题意可得，PF2x轴，OQPF2， 所以Q为PF1的中点，易知F2(c，0)，,由已知得A，B，F三点共线，且AFOB.,又由BOFOAF，得|FO|2|FB|FA|.,则c4(c2a2)(2c2a2)，整理得c43a2c2a40，即e43e21
11、0，,1.求双曲线的渐近线的方法,2.求双曲线的离心率 (1)求双曲线的离心率或其范围的方法,解析 由|F1F2|2|OP|，可得|OP|c， 故PF1F2为直角三角形，且PF1PF2，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2. 由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，则|PF1|2a|PF2|， 所以(|PF2|2a)2|PF2|24c2， 整理得(|PF2|a)22c2a2. 又|PF1|3|PF2|，即2a|PF2|3|PF2|，可得|PF2|a， 所以|PF2|a2a，,解析 因为ABF2为等边三角形， 所以不妨设|AB|BF2|AF2|m， 因为A为双曲线右支上一点， 所以|F1A
12、|F2A|F1A|AB|F1B|2a， 因为B为双曲线左支上一点， 所以|BF2|BF1|2a，|BF2|4a， 由ABF260，得F1BF2120， 在F1BF2中，由余弦定理得4c24a216a222a4acos 120， 得c27a2，则e27，,高频小考点,GAOPINXIAOKAODIAN,离心率问题,离心率是椭圆、双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式
13、，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.,解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B， 则四边形AFBF0为平行四边形. |AF|BF|4， |AF|AF0|4，a2.,解析 由对称性不妨设点P在第一象限，如图， 由题意设PF1F2的内切圆切三边于G，D，E三点， 则|PG|PE|，|GF1|DF1|，|EF2|DF2|. 又|PF1|PF2|2a，则|GF1|EF2|DF1|DF2|2a， 设D(x0，0)，则x0c(cx0)2a，即x0a， 所以切点D为双曲线的右顶点，,整理得4c24ac5a20，则4e24e50，,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,
14、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,a23，b21，且双曲线的焦点在x轴上，,即该双曲线的焦点坐标为(2，0)，(2，0).故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,a22b216， 由可得a24，b26，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.
15、设F1，F2分别为双曲线 1的左、右焦点，过F1引圆x2y29的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|等于 A.4 B.3 C.2 D.1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.3 B.2 C.3 D.2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,|PF1|2|PF2|， 由双曲线的定义知|PF1|PF2|2， |PF1|4，|PF2|2， 又|F1F2|4，,1,2,3,4,5,6
16、,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由题可知APF的周长l为|PA|PF|AF|，而|PF|2a|PF0|，,当且仅当A，F0，P三点共线时取得“”，故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.已知离心率为 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若 16，则双曲线的实轴长是 A.32 B.16 C.84 D.4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1
17、6,所以双曲线C的实轴长为16.故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，,又知b2c2a2，所以c24(c2a2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为 则该双曲线的标准方程为_，渐近线方程为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,10.已知F1，F2分别是双曲线x2 1(b0)的左、
18、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|2且F1AF245，延长AF2交双曲线的右支于点B，则F1AB的面积等于_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意知a1， 由双曲线定义知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2， |AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|. 由题意知|AB|AF2|BF2|2|BF2|， |BA|BF1|，BAF1为等腰三角形，F1AF245， ABF190， BAF1为等腰直角三角形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(0，2),1,2,3,
19、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称， 又APQ的一个内角为60， PAF30，PFA120，|AF|PF|ca， |PF1|3ac， 在PFF1中，由余弦定理得|PF1|2|PF|2|F1F|22|PF|F1F|cosF1FP， 即3c2ac4a20，即3e2e40，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析
20、 设内切圆的圆心M(x，y)，圆M分别切AF1，BF1，AB于S，T，Q， 如图，连接MS，MT，MF1，MQ， 则|F1T|F1S|，故四边形SF1TM是正方形，边长为圆M的半径. 由|AS|AQ|，|BT|BQ|， 得|AF1|AQ|SF1|TF1|BF1|BQ|， 又|AF1|AF2|BF1|BF2|， Q与F2重合， |SF1|AF1|AF2|2a， |MF2|2a，即(xc)2y24a2， ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.如图，已知F1，F2分别是双曲线
21、x2 1(b0)的左、右焦点，过点F1的直线与圆x2y21相切于点T，与双曲线的左、右两支分别交于A，B，若|F2B|AB|，求b的值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 方法一 因为|F2B|AB|，所以结合双曲线的定义， 得|AF1|BF1|AB|BF1|BF2|2， 连接OT，在RtOTF1中，|OT|1，|OF1|c，|TF1|b，,化简得b64b55b44b340， 得(b22b2)(b42b33b22b2)0， 而b42b33b22b2b2(b1)2b21(b1)20，故b22b20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
22、12,13,14,15,16,方法二 因为|F2B|AB|，所以结合双曲线的定义， 得|AF1|BF1|AB|BF1|BF2|2， 连接AF2，则|AF2|2|AF1|4. 连接OT，在RtOTF1中，|OT|1，|OF1|c，|TF1|b，,所以c232b，又在双曲线中，c21b2，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 方法一 当A在第一象限时，如图1， 设AF1F2的内切圆O1分别切AF1，F1F2，F2A于点Q，P，N， 则|AQ|AN|，|F1Q|F
23、1P|，|F2P|F2N|， 又|AF1|AF2|2a， 即(|AQ|F1Q|)(|AN|F2N|)2a， |F1Q|F2N|2a， |F1F2|F2P|F2N|2a，即2c2|F2P|2a， |F2P|ca， P为双曲线的右顶点， 同理，BF1F2的内切圆O2也切F1F2于双曲线的右顶点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,连接O1P，O2P，则O1，P，O2三点共线，且O1O2F1F2. 连接O1F2，O2F2，又O1F2平分F1F2A，O2F2平分F1F2B， O1F2O290， RtO1F2PRtF2O2PRtO1O2F2， |O1F2|2|
24、O1P|O1O2|，|O2F2|2|O2P|O1O2|，,O2O1F230，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则O1F2P60，AF2P120，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 当A在第一象限时，如图2， 设AF1F2的内切圆O1分别切AF1，F1F2，F2A于点Q，P，N， 则|AQ|AN|，|F1Q|F1P|，|F2P|F2N|， 又|AF1|AF2|2a，即(|AQ|F1Q|)(|AN|F2N|)2a， |F1Q|F2N|2a， |F1F2|F2P|F2N|2a， 即2c2|F2P|2a，
25、|F2P|ca， P为双曲线的右顶点，同理， BF1F2的内切圆O2也切F1F2于双曲线的右顶点，连接O1P，O2P， 则O1，P，O2三点共线，且O1O2F1F2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设O2切BF2于点H，连接O1N，O2H， 则在直角梯形O2HNO1中，|O2H|r2，|O1N|r13r2，|O1O2|r1r24r2， 作O2TO1N于点T，则|O1T|r1r22r2， 故在RtO1O2T中，O2O1T60，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,在PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF2|F1F2|cosPF2F1c2(2c)22c2ccos 603c2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为直线PF2的倾斜角为120，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,整理得c48c2a24a40，即e48e240，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
