1、11.1 随机事件的概率与古典概型,第十一章 概率、随机变量及其分布,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.概率和频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)_为事件A出现的频率. (2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).,ZHISHISHULI,2.事件的关系与运算,BA或AB,包含,并事
2、件(或和事件),事件A发生,事件B发生,交事件(或积事件),AB,互为对立事件,P(A)P(B)1,3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： . (2)必然事件的概率P(E) . (3)不可能事件的概率P(F) . (4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(AB) . (5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A) .,0P(A)1,1,0,P(A)P(B),1P(B),4.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是 的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和. 5.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为 ，简称古典概型. (1)试验中所有可能出现的
3、基本事件 ； (2)每个基本事件出现的可能性 .,互斥,基本事件,古典概率模型,只有有限个,相等,6.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等， 那么每一个基本事件的概率都是_；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)_. 7.古典概型的概率公式 P(A)_.,【概念方法微思考】,1.随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？,提示 随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近.,2.随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？,提示 当随机事件A，B互斥时，不一定对立，当随机事件
4、A，B对立时，一定互斥.,3.任何一个随机事件与基本事件有何关系？,提示 任何一个随机事件都等于构成它的每一个基本事件的和.,4.如何判断一个试验是否为古典概型？,提示 一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.( ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.( ) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( ) (4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的.( )
5、(5)从市场上出售的标准为5005 g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型.( ),1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.P121T4一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是 A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶,解析 “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.,7,1,2,3,4,5,6,3.P133T3袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为,解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，,7,1,2,3,4,5,6,4.P133T4同时掷两个
6、骰子，向上点数不相同的概率为_.,解析 掷两个骰子一次，向上的点数共6636(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，,7,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠 5.将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是 A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定,解析 抛掷10次硬币，正面向上的次数可能为010，都有可能发生，正面向上恰有5次是随机事件.,7,1,2,3,4,5,6,6.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为,解析 由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况
7、为：第13天，第24天，第35天，第46天，共四种情况，,7,7.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为_.,解析 事件A抽到一等品，且P(A)0.65， 事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P1P(A)10.650.35.,0.35,1,2,3,4,5,6,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡,题型一 随机事件,多维探究,命题点1 随机事件的关系,解析 “至多有一张
8、移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件.,(2)口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出两个球，事件A“取出的两个球同色”，B“取出的两个球中至少有一个黄球”，C“取出的两个球中至少有一个白球”，D“取出的两个球不同色”，E“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为_. A与D为对立事件；B与C是互斥事件；C与E是对立事件；P(CE)1；P(B)P(C).,命题点2 随机事件的频率与概率 例2 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的
9、价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：,以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；,解 这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.,(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)
10、，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.,解 当这种酸奶一天的进货量为450瓶时， 若最高气温不低于25，则Y64504450900； 若最高气温位于区间20，25)，则Y63002(450300)4450300； 若最高气温低于20，则Y62002(450200)4450100， 所以，Y的所有可能值为900，300，100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.,命题点3 互斥事件与对立事件 例3 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球.从中随机取出1球，求： (1)取出1球是红球或黑
11、球的概率；,解 方法一 (利用互斥事件求概率) 记事件A1任取1球为红球， A2任取1球为黑球， A3任取1球为白球， A4任取1球为绿球，,根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，,方法二 (利用对立事件求概率) 由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1A2的对立事件为A3A4，,(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.,方法二 因为A1A2A3的对立事件为A4，,(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生. 对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. (2)判断互斥
12、、对立事件的方法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.,(3)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值. (4)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.,(5)求复杂事件的概率的两种方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法 将所求事
13、件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率. 若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.,跟踪训练1 (1)某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：,若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； 在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.,解 设A表示事件“赔付金
14、额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，,由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27.,设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”， 由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(辆)，而赔付金额为 4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)，,由频率估计概率得P(C)0.24.,(2)A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：,试估计C班的学生
15、人数； 从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率.,设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i1，2，5， 事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j1，2，8.,设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”， 由题意知，EA1C1A1C2A2C1A2C2A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1 A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4.,因此P(E)P(A1C1)P(A1C2)P(A2C1)P(A2C2)P(A2C3)P(A3C1)P(A3C2)P(A3C3)
16、P(A4C1)P(A4C2)P(A4C3)P(A5C1)P(A5C2)P(A5C3)P(A5C4),题型二 古典概型,师生共研,例4 (1)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为,解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：,基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，,(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为_.,设取出2个球颜色不同为事件A.,方法二 将两个黄球分别编号为黄
17、1，黄2. 设取出的2个球颜色不同为事件A，基本事件有：(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)，共6种，事件A包含5种，,求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择.,跟踪训练2 (1)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是,解析 由题意可知， 共15种可能性，而只有1种是正确的.,(2)甲在微信群中
18、发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是,解析 用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元. 乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1，1，4)，(1，4，1)，(4，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2). 乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为(4，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2).,(3)已知a0，1，2，b1，1，
19、3，5，则函数f(x)ax22bx在区间(1，)上为增函数的概率是,解析 a0，1，2，b1，1，3，5， 基本事件总数n3412. 函数f(x)ax22bx在区间(1，)上为增函数， 当a0时，f(x)2bx，符合条件的只有(0，1)， 即a0，b1；,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A.至少有一个黑球与都是黑球 B.至少有一个黑球与都是红球 C.至少有一个黑球与至少有一个红球 D.恰有一个黑球与恰有两个黑球,1,2,3,
20、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 对于A，事件“至少有一个黑球”与事件“都是黑球”可以同时发生，A不正确； 对于B，事件“至少有一个黑球”与事件“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，B不正确； 对于C，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球，一个黑球，C不正确； 对于D，事件“恰有一个黑球”与事件“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，D正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解
21、析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2018衢州质检)从集合1，2，3，0，1，2，3，4中，随机选出4个数组成子集，使得这4个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的概率为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为 A.15% B.20% C.45% D.65%,解析
22、因为某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现在能为A型病人输血的有O型和A型， 故为病人输血的概率为50%15%65%，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为,解析 设男生为A，B，C，女生为a，b，从5人中选出2名志愿者有：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种等可能情况，其中选出
23、的2名志愿者性别相同的有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)，共4种等可能的情况，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018金华十校联考)将A，B，C，D，E五种不同的文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，则文件A，B被放在相邻的抽屉内且文件C，D被放在不相邻的抽屉内的概率是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2014浙江)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另
24、1张无奖.甲、乙两人各抽取1张，则两人都中奖的概率是_.,解析 设中一、二等奖及不中奖分别记为1，2，0， 那么甲、乙抽奖结果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6种. 其中甲、乙都中奖有(1，2)，(2，1)，共2种，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2018湖州模拟)无重复数字的五位数a1a2a3a4a5，当a1a3，a3a5时称为波形数，则由1，2，3，4，5任意组成的一个没有重复数字的五位 数是波形数的概率是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析
25、 a2a1，a2a3，a4a3，a4a5，a2只能是3，4，5中的一个.,若a25，则a43或4，此时分别与中的个数相同.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2018
26、浙江省重点中学高三调研)小明和小华进行有放回的摸小球游戏，规则如下：共有7个小球(除编号不同外，其他完全相同)，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，置于一个盒子内，小明和小华每次各摸一个，每个小球被摸到的 概率是相等的.则取到的两个小球的编号之和为偶数的概率为_，小明取到的小球编号大于小华取到的小球编号的概率为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意可得，所有的取法总数为7749；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2019嘉兴模拟)有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中
27、取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是_.,其中每个编号选择一球各有2种取法，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当yx，yz时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合5，6，7，8中取出三个不同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为,解析 从集合5，6，7，8中取出3个不同的数组成一个三位数共有24个结果：567，576，657，675，756，765，568，586，658，685，856，865，578，587，758，785，857，875，67
28、8，687，768，786，867，876，其中是“凸数”的是：576，675，586，685，587，785，687，786共8个结果，,现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是_，他属于不超过2个小组的概率是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，,“不超过2个小组”
29、包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.(2018温州高三高考适应性测试)某人先后三次掷一颗骰子，则其中某两次所得的点数之和为11的概率为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 先后三次掷一颗骰子，所得的不同的结果共有63种. 其中某两次所得的点数之和为11，可分为三类：,第二类，5出现两次，6只出现一次，有3种不同的结果； 第三类，6出现两次，5只出现一次，有3种不同的结果.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为_.,0.728,解析 方法一 由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)0.8，P(A1)0.7，P(A2)0.7， K，A1，A2相互独立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
