1、19.2 两条直线的位置关系最新考纲 考情考向分析1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.会求过两点的直线斜率、两直线的交点坐标、两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离.以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、抛物线交汇考查.题型以选择、填空题为主，要求相对较低.1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线 l1， l2，若其斜率分别为 k1， k2，则有 l1 l2k1 k2.()当直线 l1， l2不重合且斜率都不存在时， l1 l2.两条直线垂直：()如果两条直线
2、 l1， l2的斜率存在，设为 k1， k2，则有 l1 l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0 时， l1 l2.(2)两条直线的交点直线 l1： A1x B1y C10， l2： A2x B2y C20，则 l1与 l2的交点坐标就是方程组Error!的解.2.几种距离(1)两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)之间的距离| P1P2| .x2 x12 y2 y12(2)点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax By C0 的距离 d .|Ax0 By0 C|A2 B2(3)两条平行线 Ax By C10 与 Ax By C20(其中 C1 C2
3、)间的距离 d .|C1 C2|A2 B2概念方法微思考21.若两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示 当两条直线 l1与 l2的斜率都存在时， 12lk1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时， l1与 l2也垂直.2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示 (1)将方程化为最简的一般形式.(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中 x， y 的系数分别对应相等.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1 k2l1 l2.( )(2)已知直线
4、l1： A1x B1y C10， l2： A2x B2y C20( A1， B1， C1， A2， B2， C2为常数)，若直线 l1 l2，则 A1A2 B1B20.( )(3)点 P(x0， y0)到直线 y kx b 的距离为 .( )|kx0 b|1 k2(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )(5)若点 A， B 关于直线 l： y kx b(k0)对称，则直线 AB 的斜率等于 ，且线段 AB 的1k中点在直线 l 上.( )题组二 教材改编2.P110B 组 T2已知点( a，2)( a0)到直线 l： x y30 的距离为 1，则 a 等于( )A.
5、 B.2 C. 1D. 12 2 2 2答案 C解析 由题意得 1.|a 2 3|1 1解得 a1 或 a1 . a0， a1 .2 2 23.P101A 组 T10已知 P(2， m)， Q(m，4)，且直线 PQ 垂直于直线 x y10，则m_.答案 1解析 由题意知 1，所以 m42 m，m 4 2 m所以 m1.4.P110B 组 T1若三条直线 y2 x， x y3， mx2 y50 相交于同一点，则 m 的值为_.答案 93解析 由Error!得Error!所以点(1，2)满足方程 mx2 y50，即 m12250，所以 m9.题组三 易错自纠5.直线 2x( m1) y40 与直
6、线 mx3 y20 平行，则 m 等于( )A.2 B.3C.2 或3 D.2 或3答案 C解析 直线 2x( m1) y40 与直线 mx3 y20 平行，则有 ，2m m 13 4 2故 m2 或3.故选 C.6.直线 2x2 y10， x y20 之间的距离是_.答案 324解析 先将 2x2 y10 化为 x y 0，12则两平行线间的距离为 d .|2 12|2 3247.若直线(3 a2) x(14 a)y80 与(5 a2) x( a4) y70 垂直，则 a_.答案 0 或 1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3 a2)(5 a2)(14 a)(a4)0，解得 a0 或a1.题
7、型一 两条直线的平行与垂直例 1 已知直线 l1： ax2 y60 和直线 l2： x( a1) y a210.(1)试判断 l1与 l2是否平行；(2)当 l1 l2时，求 a 的值.解 (1)方法一 当 a1 时， l1： x2 y60，l2： x0， l1不平行于 l2；当 a0 时， l1： y3，l2： x y10， l1不平行于 l2；当 a1 且 a0 时，两直线可化为 l1： y x3，a24l2： y x( a1)，11 al1 l2Error!解得 a1，综上可知，当 a1 时， l1 l2， a1 时， l1与 l2不平行.方法二 由 A1B2 A2B10，得 a(a1)
8、120，由 A1C2 A2C10，得 a(a21)160， l1 l2Error!Error!可得 a1，故当 a1 时， l1 l2.(2)方法一 当 a1 时， l1： x2 y60， l2： x0，l1与 l2不垂直，故 a1 不成立；当 a0 时， l1： y3， l2： x y10， l1不垂直于 l2，故 a0 不成立；当 a1 且 a0 时，l1： y x3， l2： y x( a1)，a2 11 a由 1，得 a .(a2) 11 a 23方法二 由 A1A2 B1B20，得 a2( a1)0，可得 a .23思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般
9、情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意 x， y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.跟踪训练 1 (1)(2012浙江)设 aR，则“ a1”是“直线 l1： ax2 y10 与直线l2： x( a1) y40 平行”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线 l1与 l2平行，则 a(a1)210，且 ，即 a2 或 a1，a1 14所以 a1 是直线 l1与直线 l2平行的充分不必要条件.(2)已知两条直线 l1： ax by40 和 l2
10、：( a1) x y b0，求满足下列条件的 a， b 的值. l1 l2，且直线 l1过点(3，1)； l1 l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.5解 l1 l2， a(a1) b0，又直线 l1过点(3，1)，3 a b40.故 a2， b2.直线 l2的斜率存在， l1 l2，直线 l1的斜率存在. k1 k2，即 1 a.ab又坐标原点到这两条直线的距离相等， l1， l2在 y 轴上的截距互为相反数，即 b.4b故 a2， b2 或 a ， b2.23题型二 两直线的交点与距离问题1.若直线 l 与两直线 y1， x y70 分别交于 M， N 两点，且 MN 的中点是 P(1，
11、1)，则直线 l 的斜率是( )A. B.23 23C. D.32 32答案 A解析 由题意，设直线 l 的方程为 y k(x1)1，分别与 y1， x y70 联立解得 M， N .又因为 MN 的中点是 P(1，1)，(2k 1， 1) (k 6k 1， 6k 1k 1 )所以由中点坐标公式得 k .232.若 P， Q 分别为直线 3x4 y120 与 6x8 y50 上任意一点，则| PQ|的最小值为( )A. B.95 185C. D.2910 295答案 C解析 因为 ，所以两直线平行，将直线 3x4 y120 化为 6x8 y240，由36 48 125题意可知| PQ|的最小值
12、为这两条平行直线间的距离，即 ，所以| PQ|的最小值| 24 5|62 82 2910为 .291063.已知直线 y kx2 k1 与直线 y x2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是12_.答案 (16， 12)解析 方法一 由方程组Error!解得Error! (若 2k 1 0， 即 k 12， 则 两 直 线 平 行 )交点坐标为 .(2 4k2k 1， 6k 12k 1)又交点位于第一象限，Error!解得 0)； l2：4 x2 y10； l3： x y10，且 l1与l2间的距离是 .7510(1)求 a 的值；(2)能否找到一点 P，使 P 同时满足下列三个条件：
13、点 P 在第一象限；14点 P 到 l1的距离是点 P 到 l2的距离的 ；12点 P 到 l1的距离与点 P 到 l3的距离之比是 .若能，求点 P 的坐标；若不能，请说2 5明理由.解 (1)直线 l2：2 x y 0，所以两条平行线 l1与 l2间的距离为12d ，|a ( 12)|22 12 7510所以 ，即 ，|a 12|5 7510 |a 12| 72又 a0，解得 a3.(2)假设存在点 P，设点 P(x0， y0).若 P 点满足条件，则 P 点在与 l1， l2平行的直线 l：2 x y c0 上，且 ，即 c 或 ，|c 3|5 12 |c 12|5 132 116所以
14、2x0 y0 0 或 2x0 y0 0；132 116若 P 点满足条件，由点到直线的距离公式，有 ，|2x0 y0 3|5 25 |x0 y0 1|2即|2 x0 y03| x0 y01|，所以 x02 y040 或 3x020；由于点 P 在第一象限，所以 3x020 不可能.联立方程 2x0 y0 0 和 x02 y040，132解得Error! (舍去)联立方程 2x0 y0 0 和 x02 y040，116解得Error!所以存在点 P 同时满足三个条件.(19， 3718)13.已知直线 y2 x 是 ABC 中 C 的平分线所在的直线，若点 A， B 的坐标分别是(4，2)，(3
15、，1)，则点 C 的坐标为( )15A.(2，4) B.(2，4)C.(2，4) D.(2，4)答案 C解析 设 A(4，2)关于直线 y2 x 的对称点为( x， y)，则Error!解得Error! BC 所在直线方程为 y1 (x3)， 2 14 3即 3x y100.同理可得点 B(3，1)关于直线 y2 x 的对称点为(1，3)， AC 所在直线方程为 y2 (x4)，3 2 1 4即 x3 y100.联立Error! 解得Error!则 C(2，4).故选 C.14.若三条直线 y2 x， x y3， mx ny50 相交于同一点，则点( m， n)到原点的距离的最小值为( )A.
16、 B. C.2 D.25 6 3 5答案 A解析 联立Error!解得 x1， y2.把(1，2)代入 mx ny50 可得， m2 n50. m52 n.点( m， n)到原点的距离 d ，m2 n2 5 2n2 n2 5n 22 5 5当 n2， m1 时取等号.点( m， n)到原点的距离的最小值为 .515.数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知 ABC的顶点 A(1，0)， B(0，2)，且 AC BC，则 ABC 的欧拉线的方程为( )A.4x2 y30 B.2
17、x4 y30C.x2 y30 D.2x y30答案 B解析 因为 AC BC，所以欧拉线为 AB 的中垂线，又 A(1，0)， B(0，2)，故 AB 的中点为 ， kAB2，(12， 1)故 AB 的中垂线方程为 y1 ，12(x 12)16即 2x4 y30.16.在平面直角坐标系 xOy 中，将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位长度，沿 y 轴正方向平移 5 个单位长度，得到直线 l1.再将直线 l1沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度，沿 y 轴负方向平移 2 个单位长度，又与直线 l 重合.若直线 l 与直线 l1关于点(2，4)对称，求直线 l 的方程.解 由题意知直线 l
18、 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y kx b，将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位长度，沿 y 轴正方向平移 5 个单位长度，得到直线 l1： y k(x3)5 b，将直线 l1沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度，沿 y 轴负方向平移 2 个单位长度，则平移后的直线方程为 y k(x31) b52，即 y kx34 k b， b34 k b，解得 k ，34直线 l 的方程为 y x b，34直线 l1为 y x b，取直线 l 上的一点 P ，34 114 (m， b 3m4)则点 P 关于点(2，4)的对称点为 ，(4 m， 8 b3m4)8 b (4 m) b ，3m4 34 114解得 b .98直线 l 的方程是 y x ，34 98即 6x8 y90.17
