1、1第 2 章 推理与证明对应学生用书 P52一、合情推理和演绎推理1归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理2从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得合情推理可以为演绎推理提供方向和思路二、直接证
2、明和间接证明 1直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果” 它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是： AB1B2BnB(A 为已经证明过的命题， B 为要证的命题)它的常见书面表达是“，”或“” (2)分析法是“执果索因” ，一步步寻求上一步成立的充分条件它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)用分析法证明命题的逻辑关系是： BB1B2BnA.它的常见书面表达是“要证只需”或“” 2间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错
3、误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n k1 时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设” ，否则就是错误的2对 应 阶
4、段 质 量 检 测 (二 )见 8开 试 卷 一、填空题(本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分，把答案填在题中横线上)1(新课标全国卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A， B， C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市由此可判断乙去过的城市为_解析：由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市，乙去过 A 城市或 C 城市，结合乙的回答可得乙去过 A 城市答案： A2周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是_解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，
5、面积类比体积故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3下列说法正确的是_(写出全部正确命题的序号)演绎推理是由一般到特殊的推理 演绎推理得到的结论一定是正确的 演绎推理的一般模式是“三段论”形式 演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确故错误答案：4 “因为 AC， BD 是菱形 ABCD 的对角线，所以 AC， BD 互相垂直且平分 ”以上推理的大前提是_答案：菱形对角线互相垂直且平分5在平面上，若两个正三角形的
6、边长比为 12，则它们的面积比为 14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 12，则它们的体积比为_解析： .V1V213S1h113S2h2 (S1S2) h1h2 14 12 18答案：186(陕西高考)观察分析下表中的数据：3多面体 面数( F) 顶点数( V) 棱数( E)三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中 F， V， E 所满足的等式是_解析：三棱柱中 5692；五棱锥中 66102；立方体中 68122，由此归纳可得 F V E2.答案： F V E27由“正三角形的内切圆切于三边的中点” ，可类比猜想出正四面体的一个性质为_解析：
7、正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8已知 x， yR ，当 x2 y2_时，有 x y 1.1 y2 1 x2解析：要使 x y 1，1 y2 1 x2只需 x2(1 y2)1 y2(1 x2)2 y ，1 x2即 2y 1 x2 y2.1 x2只需使( y)20，1 x2即 y， x2 y21.1 x2答案：19用数学归纳法证明 122 22 n1 2 n1( nN *)的过程如下：当 n1 时，左边1，右边2 1
8、11，等式成立；假设当 n k(kN *)时，等式成立，即 122 22 k1 2 k1；则当 n k1 时，122 22 k1 2 k 2 k1 1，则当 n k1 时1 2k 11 2等式成立由此可知，对任何 nN *，等式都成立上述证明步骤中错误的是_解析：因为没有用到归纳假设的结果，错误答案：10.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，圆 x2 y2 r2(r0)内切于正方形 ABCD，任取圆上一点 P，若 O m A n B (m， nR)，则 是 m2， n2的等差中项；现有一椭圆14 1( a b0)内切于矩形 ABCD，任取椭圆上一点 P，若 O m A n B (m， nR)，
9、x2a2 y2b24则 m2， n2的等差中项为_解析：如图，设 P(x， y)，由 1 知 A(a， b)， B( a， b)，x2a2 y2b2由 OP m A n B可得Error!代入 1 可得( m n)2( m n)x2a2 y2b221，即 m2 n2 ，所以 ，即 m2， n2的等差中项为 .12 m2 n22 14 14答案：1411(安徽高考)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC2 .过点 A 作 BC 的垂线，2垂足为 A1 ；过点 A1作 AC 的垂线，垂足为 A2；过点 A2 作 A1C 的垂线，垂足为 A3 ；，依此类推设 BA a1 ， AA1 a2 ,
10、 A1A2 a3 ， A5A6 a7 ，则 a7_.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC2 ，所以2AB AC a12， AA1 a2 ， A1A2 a31， A5A6 a7 a1 6 .2 (22) 14法二：求通项：等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC2 ，所以2AB AC a12， AA1 a2 ， An1 An an1 sin an an2 n，故 a722 4 22 (22)6 .(22) 14答案：1412已知 x0，不等式 x 2， x 3， x 4，可推广为 x n1，1x 4x2 27x3 axn则 a 的值为_解析：由 x 2， x x 3，
11、x x 4，可推广为1x 4x2 22x2 27x3 33x3x n1，故 a nn.nnxn答案： nn513如图，第 n 个图形是由正 n2 边形“扩展”而来( n1,2,3，)，则第 n 个图形中共有_个顶点解析：设第 n 个图形中有 an个顶点，则 a1333， a2444，an2 n nn，an( n2) 2 n2 n25 n6.答案： n25 n614(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，第 n 个三角形数为 n2 n.记第 n 个 k 边形数为 N(n， k)(k3)，n(n 1)2 12 12以下列出了部分 k 边形数中第 n 个
12、数的表达式：三角形数 N(n,3) n2 n，12 12正方形数 N(n,4) n2，五边形数 N(n,5) n2 n，32 12六边形数 N(n,6)2 n2 n，可以推测 N(n， k)的表达式，由此计算 N(10,24)_.解析： N(n， k) akn2 bkn(k3)，其中数列 ak是以 为首项， 为公差的等差数列；12 12数列 bk是以 为首项， 为公差的等差数列；所以 N(n,24)11 n210 n，当 n10 时，12 12N(10,24)1110 210101 000.答案：1 000二、解答题(本大题共 6 个小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1
13、5(本小题满分 14 分)设 a0， b0， a b1，求证： 8.1a 1b 1ab证明： a0， b0， a b1.1 a b2 ， ， ab ，ab ab12 146 4 ，1ab (当 a 12， b 12时 等 号 成 立 )又 ( a b) 2 4.1a 1b (1a 1b) ba ab(当 a 12， b 12时 等 号 成 立 ) 8.1a 1b 1ab16(本小题满分 14 分)已知数列 an满足 a11， an an1 n(nN *)，若(15)Tn a1 a25 a352 an5n1 ， bn6 Tn5 nan，类比课本中推导等比数列前 n 项和公式的方法，求数列 bn的
14、通项公式解：因为 Tn a1 a25 a352 an5n1 ，所以 5Tn a15 a252 a353 an1 5n1 an5n，由得：6Tn a1( a1 a2)5( a2 a3)52( an1 an)5n1 an5n1 5 252 n1 5n1 an5n15 (15) (15) n an5n，所以 6Tn5 nan n，所以数列 bn的通项公式为 bn n.17(本小题满分 14 分)观察sin 210cos 240sin 10cos 40 ；34sin 26cos 236sin 6cos 36 .34由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想解：观察 401030，3663
15、0，由此猜想：sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) .34证明：sin 2 cos 2(30 )sin cos(30 )sin 2 cos 2(30 )sin (cos 30cos sin 30sin )sin 2 cos 2(30 ) sin cos sin232 12 sin2 cos 2(30 ) sin 212 347 sin 21 cos 24 1 cos(60 2 )2 34 cos 2 sin 2 sin 21 cos 24 12 14 34 34 .3418(本小题满分 16 分)已知实数 a、 b、 c 满足 01，(2 b)c1，(2 c)a1，则三式相乘
16、：(2 a)b(2 b)c(2 c)a1而(2 a)a 21，(2 a a2 )同理，(2 b)b1，(2 c)c1，即(2 a)b(2 b)c(2 c)a1，显然与矛盾，所以原结论成立19(本小题满分 16 分)数列 an满足 Sn2 n an(nN *)(1)计算 a1， a2， a3， a4，并由此猜想通项 an的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解：(1)由 Sn2 n an，得， a12 a1，即 a11.S2 a1 a24 a2，解得 a2 .32S3 a1 a2 a36 a3，解得 a3 .74S4 a1 a2 a3 a48 a4，解得 a4 .158由此猜想 an (
17、nN *)2n 12n 1(2)当 n1 时， a11，结论成立假设当 n k(kN *)时，结论成立，即 ak ，2k 12k 1那么当 n k1 时， ak1 Sk1 Sk2( k1) ak1 2 k ak2 ak ak1 ，则 ak1 ，2 ak2 2 2k 12k 12 2k 1 12k 2k 1 12(k 1) 1这就是说当 n k1 时，结论也成立根据和，可知猜想对任何 nN *都成立，8即 an (nN *)2n 12n 120(本小题满分 16 分)已知函数 f(x) x3 x，数列 an满足条件：13a11， an1 f( an1)，(1)证明： an2 n1( nN *)(2)试比较 与 1 的大小，并说明理由11 a1 11 a2 11 an解：(1)证明： f( x) x21， an1 ( an1) 21 a 2 an.2n当 n1 时， a112 11，命题成立；假设当 n k(k1， kN *)时命题成立，即 ak2 k1；那么当 n k1 时，ak1 a 2 ak ak(ak2)(2 k1)(2 k12)2k2 2k12 k1 1.即当 n k1 时，命题成立，综上所述，命题成立(2) an2 n1，1 an2 n， .11 an 12n 1 1.11 a1 11 a2 11 an 12 122 12n 12n
