1、- 1 -2018 年 12 月浙江省重点中学高三期末热身联考数学一、选择题（40 分）1.已知 Mxx1 ，Nxx 22x80 ，则 A. 4,2） B. （1,4 C. （1，） D. （4，）【答案】B【解析】【分析】化简集合 M、 N，根据交集的定义写出 MN 即可【详解】：集合 M x|x22 x80 x|2 x4，集合 N x|x 1， MN x|1 x4故选： B【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2.已知 i 为虚数单位，复数 ，则 A. 1 B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数模长的定义直接进行计算即可【详解】 ，所以故选：C。【点睛】本题
2、主要考查复数的运算及复数长度的计算，比较基础3.已知双曲 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率是A. B. C. 2 D. 【答案】D【解析】- 2 -【分析】利用双曲线的渐近线方程求出 a，然后求解双曲线的离心率即可【详解】双曲 的渐近线方程为： ，由题可知： ，所以 ，即： ，所以双曲线的离心率为： ，故选：D。【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力4.已知 ，则“mn”是“m l”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】构造长方体 ABCD A1B1C1D1，令平面 为面 ADD1A1，底面 AB
3、CD 为 ，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为 m， n 即可进行判断【详解】如图，取长方体 ABCD A1B1C1D1，令平面 为面 ADD1A1，底面 ABCD 为 ，直线=直线 。若令 AD1 m， AB n，则 m n，但 m 不垂直于若 m ，由平面 平面 可知，直线 m 垂直于平面 ，所以 m 垂直于平面 内的任意一条直线 m n 是 m 的必要不充分条件故选： B【点睛】本题考点有两个：考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，- 3 -从 m nm ？和 m m n？两方面进行判断；是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析5.函数 的大致图像是A. B.
4、C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过函数的变化趋势，推出结果即可【详解】当 x 0，且无限趋近于 0 时， f（ x） 0，排除 B,C，当 时， ，且指数幂 变化较快，故 ，排除 D。故选：A【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查计算能力- 4 -6. 展开式中， 的系数是A. 80 B. 80 C. 40 D. 40【答案】B【解析】【分析】由二项式定理的通项公式列方程，求出 ，求出 项的系数即可。【详解】由二项式定理的通项公式得： ，令 ，解得： ，所以 的系数为：故选：B。【点睛】本题考查二项展开式中 的项的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求
5、解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题7.已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 zx+4y 的取值范围是A. 6,4 B. 2,4 C. 2，+） D. 4，+）【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【详解】如图，作出不等式组表示的平面区域，- 5 -由 zx+4y 可得： ，平移直线 ，由图像可知：当直线 过点 B 时，直线 的截距最小，此时 z 最小。将 代入目标函数得：，故选：C。【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法8.已知函数 ，若 恒成立，则
6、实数 a 的最小正值为A. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由 可判断函数 的周期为 ，求出 的最小正周期，列不等式求解。【详解】由 可判断函数 的周期为 ，又 = ，其最小正周期为 ，所以 ，即： 故选：D。【点睛】熟记结论：如果函数 满足 的周期为 ，此题主要考查如何求函数的周期9.已知方程 有且仅有两个不同的实数解 ，则以下有关两根关系的结论- 6 -正确的是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简方程，把方程的解转化为函数的图象的交点问题，利用相切表示出 ，将点 A 坐标代入直线 整理即可。【详解】由 可得： ，因为方程 有且仅有两个不同的实数解 ，所以直
7、线 与曲线 相切，如图：直线 与曲线 的交点为 ，切点为当 时， ，所以 ，所以 ，即 ，又点 ，将它代入直线 可得： 。故选：A。【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，直线与曲线相切的转化，导数与切线斜率的关系，考查计算能力，属于基础题10.如图，将边长为 2 的正方形 ABCD 沿 PD、PC 翻折至 A、B 两点重合，其中 P 是 AB 中点，在折成的三棱锥 A（B）PDC 中，点 Q 在平面 PDC 内运动，且直线 AQ 与棱 AP 所成角为60，则点 Q 运动的轨迹是- 7 -A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】建立空间坐标系，设 ，求出点
8、的坐标，由直线 AQ 与棱 AP 所成角为 60，利用空间向量夹角公式列方程，得到关于 的方程，从方程的形式可判断 Q 点的轨迹。【详解】如图，过点 A 引平面 PDC 的垂线，垂足为 O，以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中 轴与直线 DC 平行，点 P 在 轴的负半轴上。由题可知 PA 平面 ADC，又 ,求得点 A 到平面 PCD 的距离为： ，所以， ，设 ，所以 ， ，又直线 AQ 与棱 AP 所成角为 60，所以，整理得： ，所以点 Q 的轨迹为抛物线.故选 D。【点睛】本题考查了等体积法、利用空间向量表示其夹角的余弦值及求轨迹方程方法，通过轨迹的方程来判断轨迹，还考查了转化
9、思想。二、填空题（36 分）11.已知随机变量的 的分布列为：- 8 -若 E（ ） ，则 x+y_；D（ ）_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由期望公式及概率和为 1 列方程组求解 。再利用方差公式求【详解】由题可得： ，解得： ，所以 ，所以。【点睛】本题考查期望的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题12.若 6，则 _； _【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用对数知识将 表示出来，再利用对数运算求解。【详解】由题可得： ， ，所以 = ，= 。【点睛】本题主要考查了对数的定义及对数运算公式，计算一般，属于基础题。
10、13.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_；表面积是_- 9 -【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据三视图可判断几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥而得到的图形，由图中数据可求出对应长方体的长、宽、高，利用面积公式求表面积，利用三棱柱的体积减去三棱锥的体积得到对应的体积。 。【详解】根据三视图可得，该几何体是长方体中的四棱锥 ,由三视图可得： , ，【点睛】本题主要考查了三视图-长对正、宽平齐、高相等得到实物图中的数据，由三视图还原实物图处理问题，还考查了表面积、体积求法。14.已知直线 若直线 与直线 平行，则 的值为_；动直线 被圆截得弦长的最小值为_【答案】 (
11、1). -1. (2). .【解析】- 10 -分析：（1）利用平行线的斜率关系得到 m 值.(2)利用数形结合求出弦长的最小值.详解：由题得当 m=1 时，两直线重合，所以 m=1 舍去，故 m=-1.因为圆的方程为 ，所以 ，所以它表示圆心为 C（-1,0）半径为 5 的圆.由于直线 l：mx+y-1=0 过定点 P(0，-1),所以过点 P 且与 PC 垂直的弦的弦长最短.且最短弦长为故答案为：-1， .点睛：本题的第一空是道易错题，学生有容易得到 实际上是错误的.因为是两直线平行的非充分非必要条件，所以根据 求出 m 的值后，要注意检验，本题代入检验，两直线重合了，所以要舍去 m=1.
12、15.向量 ， 满足： 2， + 1，则 的最大值为_【答案】【解析】【分析】设出 的坐标，从而表示出 的坐标，然后将 表示成函数关系，把问题转化成函数的最大值问题解决。【详解】由题可设 ， ，则 ，所以当 时，等号成立。所以 的最大值为 .【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及数量积的坐标表示，还考查了同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式，考查了转化思想。16.如图，有 7 个白色正方形方块排成一列，现将其中 4 块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有_种。- 11 -【答案】【解析】【分析】用黑白两种颜色随机地涂如图所示表格中 7 个格子，每个格子都
13、有 2 种染色方法，利用分类讨论方法求出出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子个数。【详解】由题意可判断第一格涂黑色，则在后 6 格中有 3 个涂黑色，共有 种涂法，满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总少于白色方块的有：（1）第 2,3 格涂白色共4 种涂法， （2）第 3,4,5 格涂白色共 1 种涂法， （3）第 2,4,5 格涂白色共 1 种涂法。所以满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有种。【点睛】本题考查计数原理，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用17.平行六面体 ABCDA 1B1C1D1中，已知底面四边形
14、ABCD 为矩形，A 1ABA 1AD 。其中AB a，ADb，AA 1c，体对角线A 1C1，则 c 的最大值为_【答案】【解析】【分析】利用线面角的结论求出线面角 ，再利用正弦定理列方程，把问题转化成三角函数最值问题来解决。【详解】如图，由A 1ABA 1AD 可知，点 在底面的射影点在直线 AC 上，记直线 与底面所成的角为 ，则 ,- 12 -所以 ，所以 ，在 中，由正弦定理可知： ，所以 ,当 时， 最大为 。【点睛】本题考查了线面角的结论：当A 1ABA 1AD 时（点 在平面 ABD 外） ，（其中 为直线 与平面 ABD 所成的角， 为直线 与直线 AB 的夹角，为直线 AB
15、 与直线 在平面 ABD 的射影的夹角） ，还考查了正弦定理及转化思想。三、计算题（74 分）18.已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且满足： 。（1）求A。（2）若 D 是 BC 中点，AD3，求ABC 的面积。【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）由正弦定理化简 即可求得 ，从而可求 A 的值（2）在 中由余弦定理列方程，在 中利用余弦定理列方程，在 中利用余弦定理列方程，联立可得 的值，根据三角形面积公式即可计算得解【详解】： （1） ，则 ，（2）方法一：在 中，即 .在 中 ，同理 中 ，而 ，有 ，- 13 -即 .联立得 ， . 方法二：
16、又 得方法三：（极化式）【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19.如图，等腰直角三角形 ABC 中，B 是直角，平面 ABEF平面ABC，2AFABBE，FAB60，AFBE。（1）求证：BCBF；（2）求直线 BF 与平面 CEF 所成角的正弦值。【答案】 （1）详见解析；（2） .- 14 -【解析】【分析】（1）由 及 为直角可得到 ，结合已知条件命题得证。（2）作 ，连结 .由（1）得： ，作 ，再证得：平面 ，则 即为所求线面角 . 解三角形 BFH 即可。【详解】解：（1）证明：直角 中 B 是直角，即
17、 ， ， ， ， 又 ， .（2）方法一：作 ，连结 . 由（1）知 平面 ，得到 ，又 ，所以 平面 . 又因为 平面 ，所以平面 平面 .作 于点 H，易得 平面 ，则 即为所求线面角. 设 ，由已知得 ， ， ， . 则直线 与平面 所成角的正弦值为 . - 15 -方法二：建立如图所示空间直角坐标系 ，因为 . 由已知 ， ， ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，则有， 令 ，则 . 即 . 所以直线 与平面 所成角的正弦值 . 方法三（等积法）：设 2AF=AB=BE=2， 为等腰三角形， AB=BC=2 FAB=60，2 AF=AB ，又 AF/BE， .由（1）知， ， ，- 1
18、6 -， ，又 ，则有 . 令 到平面 距离为 ，有 ， 故所求线面角 .【点睛】本题考查立体几何中的线面关系、空间角、空间向量等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想20.已知数列 满足： ， 。（1）求 及数列 的通项公式；（2）若数列 满足： ， ，求数列 的通项公式。【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）分别令 可求得 ，再用 代等式中的 得到方程，联立方程作差即可。（2）根据题意列方程组，利用累加法得到 的表达式，再利用错位相减法求和。【详解】解：（1） 时 ， 时 2 满足上式，故 .（2） ，有 累加整理- 17
19、- 得满足上式，故 .【点睛】 （1）主要考查了赋值法及方程思想。（2）考查了累加法，错位相减法求和，用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.21.已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的 2 个焦点与 1 个短轴端点为顶点的三角形的面积为 2 。（1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为 k 的直线 l 过椭圆的右焦点 F，且与椭圆交与 A，B 两点，以线段 AB
20、 为直径的圆截直线 x1 所得的弦的长度为 ，求直线 l 的方程。【答案】 （1） ；（2） 或 .【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合 a2 b2+c2，即可求椭圆 C 的方程；（2）联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出 及 ，结合弦的长度为 ，- 18 -即可求斜率 k 的值，从而求得直线方程。【详解】解：（1）由椭圆 的离心率为 ，得 ， .由 得 ， ，所以椭圆方程为 （2）解：设直线 ， ， ， 中点 联立方程 得 ，. 所以 ，点 到直线 的距离为 由以线段 为直径的圆截直线 所得的弦的长度为 得，所以 ，解得 ，所以直线 的方程为 或 【点睛】
21、本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，整理出 及 ，代入弦长公式列方程求解，还考查了圆的弦长计算，考查学生的计算能力，属于中档题22.已知 ， 。（1）当 时，求 f（x）的最大值。（2）若函数 f（x）的零点个数为 2 个，求 的取值范围。【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】- 19 -（1）求出 ，再求出 ，利用 的正负判断 的单调性，从而判断 的正负，从而判断 的单调性，进而求得函数 的最值。（2）求出 ，再求出 ，求得函数 单调性，对参数 的范围分类讨论，求得函数的最值，结合函数 的单调性，从而判断函数 的零点个数。【详
22、解】解：（1）当 时，.因为 时，所以 在 上为减函数.（ 递减说明言之有理即可） 又 ，所以当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减；故 . （2） ， ，当 ，且 时， . 所以 在 上为减函数时， ， 时， ，故存在 使得，且有 在 上递增，在 递减， .当 时由（1）知只有唯一零点当 时， 即有 ，此时有 2 个零点当 时， ，- 20 -又有 ，故 .令 ，故 在定义域内单调递增.而 ，故 ，于是 ，所以 时不存在零点 .综上：函数 的零点个数为 2 个， 的取值范围为 【点睛】 （1）主要考查了利用导数来判断函数的单调性，从而求得最值。（2）考查了分类讨论思想，利用导数来判断函数的单调性及转化思想，计算难度大，转化次数较多，考查学生的计算能力，考查函数方程的转化思想，属于较难题- 21 -
