1、1x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5大庆实验中学 2018-2019 学年度上学期期末考试高二数学（理）试题一、 选择题 （本 大题 共 12 小 题 ，每小 题 5分， 共 60 分 ）1命 题“ n N ，使 得 n2 2n ”的否 定 形式是 （ ）6.下列 说法 中 正确 的是 （ ）从某 年 级 500 名学 生中 抽取 60 名 学生 进行 体重 的 统计分 析， 500 名学 生是 总体;总体 由编 号 为 01,02， ， 19,20 的 20 个个 体组 成 利 用下 面的 随机 数表 选 取 6 个 个体 ， 选取 方法 是 从随机 数表 第 1 行的 第 9 列
2、和 第 10 列数 字开 始由 左 到右依 次选 取两 个数 字 ， 则 选出来 的 第 6 个 个体 的 编号 为 04;7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481采用 系统 抽样 从含 有 8 000 个 个体 的总 体( 编号 为 0 000，0 001， ， 7 999)中 抽取一 个容 量 为 50 的 样本 已知 最后 一个 入样 的编号 为7 894，则 第一 个 入样的 编号 是 0 054；A. n N ，使 得 n2 2nC. n N ，使 得 n2 2n2 如
3、图所示是计算 1 1 1 . 1B. n N ，使得 n2 2nD. n N ，使得 n2 2n的程序框图，判断框某学校 高一、 高二、 高 三年级的 学生人 数之比 是 541， 现用分 层抽样 的 方法从该 校高中 三个 年级的学 生中 抽取 容量 为5 0 的样本 ，则 应从 高二 年级 抽取 15 名 学生;某中 学高 三从 甲、 乙两 个班中 各选 出 7 名学 生参 加数学 竞赛 ，他 们取 得的 成绩( 满 分 100 分) 的 茎叶 图如 图 ， 其中甲 班学 生成 绩的 众数 是 85， 乙班 学生成 绩的 中 位数是83， 则 x y 的 值为 5.2 3内的条 件是 (
4、)2018 A. B. C. D. 7. 随 机向 边长 为 4 的正 方 形 ABCD 中投 一点 M， 则 点 M 与 A 的距 离不 小于1 且使 CMD 为锐 角的 概A. n 2017 率是（ ）B. n 2018 A.1 3B. 1 5C.1 9D.1 C. n 2018 16 8 64 4D. n 2017 8.以下 说法 正确 的是 （ ）3. 某 工厂 生产 某种 产品 的 产量 x(吨) 与相 应的 生产 能 耗 y(吨 标准 煤) 有如 下几 组样 本数 据：用数 学归 纳法 证明 不等 式 1 n 111n 2 . 1n n 13 的过 程中 ， 由 n k 推导 n
5、k 1 时，不等24据相关 性检 验， 这组 样本 数据具 有线 性相 关关 系， 通过线 性回 归分 析， 求得 其回归 直线 的斜 率 为 0.7，式的左 边增 加的 式子 是 ；(2k 1)(2k 2)则这组 样本 数据 的回 归直 线方程 是（ ） 有一 段 “三 段论 ”， 推理 是这样 的 ： 对 于可 导函 数 f ( x) ， 如 果 f( x0 ) 0 ， 那 么 x x0 是函数 f ( x) A. y0.7 x3. 5 B. y 0.35x0.7 C. y4.5 x 3.5D.y0.7 x0.3 54. 从个位 数与 十位 数之 和为 奇数的 两位 数中 任取 一个 ，其
6、十 位数 为 1 的概 率是 （ ）的极值 点. 因为 f (x) x3 在 x 0 处的导数 值 f (0) 0 ，所 以 x 0 是函数 f (x) x3 的极 值点. 以上1 1A. B.9 81 1C. D.7 6推理中 是大 前提 的错 误；已知命题：若 数列 an 是等差数列，且 am a, an b(m n, m, n N* ) ，则a m n bn am ；现n m y x 2 已知等比数列 bn ，其中 bm a, bn b(m n, m, n N* ) ，若类比上述结论，则可得到25.设 p ： 实 数 x, y 满足( x 1)2 ( y 1)2 2 且 x, y Z ，
7、 q ： 实数 x, y 满足 y 7 2 x ， 则 p 是 qn m 1 y 3 x bm n b a .的（ ） 2 n mA. B. C. D. A.必要 不充 分条 件 B. 充分不 必要 条件 C. 充 要条件 D. 既 不充 分也 不必要 条件 9.已知 抛物 线的 方程 为 x2 2 py( p 0) ， 其 焦点为 F ， 点 O 为坐标 原点 ， 过 焦点 F 作斜率 为 k (k 0)3组号 分组 频数 频率第 1 组 160,165) 5 0.050第 2 组 165,170) 0.350第 3 组 170,175) 30 第 4 组 175,180) 20 0.200
8、第 5 组 180,185 10 0.100合计 100 1.00的直线 与抛 物线 交于 A, B 两点 ，过 A, B 两点分 别作 抛物 线的 两条切 线， 设两 条切 线交 于点 M ，设直线 MF 与抛 物线 交于 C, D 两点 .则 （ ）角形 ABC 中 ， A(2,0)、 B( 1,2)， 则直 角顶 点 C 的轨 迹 方程为 x2 y2 x 2 y 2 0 ； 则命 题 p q ，p q ， p q ， p q 中真命 题的 个数 是 16. 函 数 f x x3 x2 x 1在 点 12 处的切 线与 函数 g(x) x2 x 围成的 图形的面 积等 于 A. OA OB
9、 3 p24C. AB CDB. M 点的 轨迹 方程 为 y pD.四边 形 ABCD 的面积 是定 值三、 解答题17. (本小题 满分10 分)10. 节日 前夕， 小明在 家 门前的树 上挂了 两串彩 灯. 这两串彩 灯的第 一次闪 亮 相互独立 ，且都 在通电后 的 4 秒 内任 意时 刻等 可能 发生， 然后 每串 彩灯 以 4 秒为间 隔闪 亮. 那么 这两 串 彩灯同 时通 电后 ， 它 们第一次闪 亮的 时刻 相差 不超 过 2 秒 的概 率是 （ ）袋中有 五张 卡片 ，其 中红 色卡片 三张 ，标 号分 别 为1,2,3； 蓝色 卡片 两张 ，标 号分别 为1, 2.从以
10、上 五张 卡片 中任 取两 张，求 这两 张卡 片颜 色不 同且标 号之 和小 于4 的概 率.7 3A. B.8 41 1C. D.2 4x2 y211.已知 A, B 分 别为双曲线 C : a 2 b2 1(a 0, b 0) 的 左右顶点 ，点 P 为双曲线 C 在 第一象 限 的任 意 一 点 ， 点 O 为 坐 标 原 点， 若 双 曲 线 C 的 离 心 率 为 3 ， PA, PB, PO 的 斜 率 分 别 为 k1 , k2 , k3 ， 则k1k2 k3 的取值 范围 为（ ）18. (本小题 满分12 分)某高校 在 2017 年的 自主 招 生考试 成绩 中随 机抽
11、取 100 名中 学生 的笔 试成 绩， 按 成绩分 组， 得到的 频率 分布表 如下 所示 .A (0, 2 )2 B. (0, 2 ) C. (0, 2 2 ) D. (0, 2)12.设 函数 f ( x) 为 R 上的可 导函 数 ， 对 任意 的实 数 x ， 有 f (x) 2018x2 f ( x) ， 且x (0, ) 时，f (x) 2018x 0 .则关于 实数 m 的不 等式 f (m 1) f ( m) 2018m 1009 的解 集为（ ）A.3 ) B. 1 )2C. 12 D. 1 )2(1)请先求 出频 率分 布表 中 、 位置 的相 应数 据， 再完成 频率
12、分布 直方 图；二、填 空题 （本 大题 共 4小题， 每小 题 5分， 共 20分）13.执 行如 图所 示的 程序 框 图， 若输 出的 结果 是 2 ， 则 判断框 内 m 的取 值范围 是 14 有 6 名 学生 参加 数学 竞赛选 拔赛 ，他 们的 编号 分别 是 16 号 ，得 第一名 者将 参加 全国 数学 竞赛. 今有 甲， 乙， 丙， 丁 四位老 师在 猜谁 将 得第一 名， 甲猜： 4 号 ， 5号， 6号都 不可 能； 乙 猜： 3 号不 可能 ； 丙 猜： 不是 1号就是 2号； 丁猜 ： 是 4号， 5 号 ， 6号中的 某一个 .以 上只 有一 个人猜 对， 则他
13、应该 是 4(2)为了能 选拔 出最 优秀 的 学生， 高校 决定 在笔 试成 绩高的 第 3、 4、 5 组中 用 分层抽 样抽 取 6 名学 生进入 第二 轮面 试， 求 第3、4、 5 组 每组 各抽 取多 少名学 生进 入第 二轮 面试 ；(3)在( 2)的前 提下 ， 学 校决 定在6 名学 生中 随机 抽 取2 名学 生接 受 A 考 官进 行 面试， 求： 第4 组 至少有一 名学 生被 考 官 A 面 试的概 率15.已 知命 题 p ：方程( x y 1)x 1 0 所表 示 的曲线 是一 条射 线与 一条 直线， 命题 q ：若 直角 三519.(本 小题 满 分 12分)
14、如 图 ， 四 棱 锥 H A B C D中 ， HA 底 面 A B C D，AD / / BC ，AB AD AC 6 ，21.(本 小题 满 分 12分)HA BC 8 ， E 为线段 AD 上一 点， AE 2ED ， F 为 HC 的中点 . 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C 过 点 ( 3, 1 ) ，焦点(1)证 明： EF / 平面 HAB ； 2(2)求 二面 角 E HF A 的正弦 值. F1 ( 30)， F2 ( 30) ，圆 O 的直径 为 F 1F2 .(1)求 椭圆 C 及圆 O 的方 程；(2)设 直线 l 与圆 O 相切 于第 一 象限内 的点
15、P .直 线 l 与椭圆 C 交 于 A, B两点， 求 AOB 的面积 S 的范 围.20.(本 小题 满 分 12分)设函数 f (x) x2ex 1 ax3 bx2 ,已 知 x 2 和 x 1 为 f ( x) 的极值 点 (1)求 a 和 b 的值; (2)讨 论函数 f ( x) 的单调 性;(3)设 g ( x) 2 x3 x2 ,比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小 322.(本 小题 满 分 12分)已知函 数 f (x) x ln x ax(a R) .(1)若 函数 f ( x) 在区 间 e, e2 上为减 函 数，求 a 的取 值范 围；(2)若 对任 意 x
16、 (1, ) ， f (x) k (x 1) ax x 恒成 立， 求 正整数 k 的最 大值 .大庆实验中学 2018-2019 学年度上学期期末考试高二数学（理）试题答案6一、 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）ABDAB DCACB CD二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 14甲 15.2 16.(24,8 923、解答题17.(本小题满分 10 分)解：标号为 1,2,3 的三张红色卡片分别记为 A， B， C，标号为 1,2 的两张蓝色卡片分别记为D， E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：( A， B)，( A， C
17、)，( A， D)，( A， E)，( B， C)，(B， D)，( B， E)，( C， D)，( C， E)，( D， E)，共 10 种-3从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的结果为：( A， D)，(A， E)，( B， D)，共 3 种-6由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的-8所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率为 .-1031018(本小题满分 12 分)解：(1)由题可知，第 2 组的频数为 0.3510035 人，第 3 组的频率为 0.300，30100频率分布直方图如图所示，-4(2)因为第 3
18、、4、5 组共有 60 名学生，所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第 3 组： 63 人，第 4 组： 62 人，第 5 组：3060 206061 人，1060所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人进入第二轮面试-6(3)设第 3 组的 3 位同学为 A1， A2， A3，第 4 组的 2 位同学为 B1， B2，第 5 组的 1 位同学为 C1，则从这六位同学中抽取两位同学有：(A1， A2)，( A1， A3)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A1， C1)，( A2， A3)，( A2， B1)，( A2
19、， B2)，( A2， C1)，(A3， B1)，( A3， B2)，( A3， C1)，( B1， B2)，( B1， C1)，( B2， C1)，共 15 种，-8其中第 4 组的 2 位同学 B1， B2中至少有一位同学入选的有：( A1， B1)，( A1， B2)，( A2， B1)，( A2， B2)，(A3， B1)，( A3， B2)，( B1， B2)，( B1， C1)，( B2， C1)，共有 9 种，-10所以第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率为 .-12915 3519(本小题满分 12 分)解：（1）由已知得 ，取 的中点 ，连接 ， ，243AEDBH
20、GAF由 为 的中点知 ， ，又 ，故 ，所以四边形FHC/GFC142FC/DBC/GAE为平行四边形，于是 ， 平面 ， 平面 ，AE/AEH所以 平面 .-4/AB（2）取 的中点 ，连接 .由 得 ，从而 ，TBTAT且 .2T2645以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角x坐标系 .-6Axyz由题意知， ， ， ， 0,8H0,4E25,40C，5,24F， ， .0E5,2F,AF设 为平面 的法向量，则 ，即 ，,nxyzH0 nH480 yzx可取 .-80,217设 为平面 的法向量，则 ，即 ，0,mxyzHAF0 mHFA5240 xyz可取 .-
21、102,5于是 ， .cos,n2535sin,3所以二面角 的正弦值为 .-12EHFA20.(本小题满分 12 分)解:(1)因为 12(e()3xf axb1e(2)(3)xaxb,又 2和 为 f的极值点,所以 0ff,因此 60,3ab解该方程组得 3, -4（2）因为 1, ,所以 1()2)(exfx,令 ()0fx,解得 12x, 0, 3因为当 )(时 , ()f;当 (,0),)时, ()0fx所以 ()f在 ,和 上是单调递增的;在 2)和 (0,1上是单调递减的-8（3）由（1）可知 32exf,故 21321()()xfxg,令 1(exh，则 1()exh令 0h,
22、得 ,因为 ,时, 0,所以 ()在 ()上单调递减故 ()x时， ()0;因为 1,x时, 0hx,所以 )h在 1,上单调递增故 ()时, (1)所以对任意 ,恒有 ()0x,又 时, 20x,因此 0x且 时 ()fxg, 1或 时 ()fg,所以, (1) 0x且 1时 ()fxg； (2) 1x或 0时, ()fxg-1221.(本小题满分 12 分)解：（1）因为 ,所以 ，即 ，又 ，故127,CF1274aCF2a3cb所以椭圆 方程为 ，圆 方程为 .-424xyO23xy(2) 因为直线 与圆 相切，且切点在第一象限，所以直线 的斜率 存在，设直线 的方程为l lkl，圆心
23、 到直线的距离 ，化简得(0,)ykxm231mdrk23mk联立直线 与椭圆 得： ，214xy22(4)840x所以 ，所以212128,kmxk22221212 4(1)16(4)()4() kkmABxx 所以 -822()3()AOBkSdk 平方得 ，设 ，则 ，所以221()4k214xk21()4x2 23()()(67Sx当 与椭圆和圆均相切时，可求得此时直线斜率为 ，所以 ，所以l (2,)k109x所以 取值范围是 .-12S3(0,)222.(本小题满分 12 分)解：() 在 恒成立，即 ，(ln1fxa2,emin(1l)ax设 ，因为 在 上单调递减，所以 ，)1g()gx 2i(3ge8所以 的取值范围是 .-4a(,3（） （解法 1）令 对任意 恒)(1)ln(1)0hxfkxaxkx(1,)x成立，令 ，得 .又 为正整数，取 ，则 ，故2x(ln2)4k3k()ln23h()ln1h令 ，得 ，所以 在 单调递减，在 单调递增，故0xe()hx1,e,)e，min()()30x因此 满足题意，所以正整数 的最大值为 3.-12kk
