1、1第 7 讲 离散型随机变量及其分布列考纲解读 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2.能确定随机变量，求出随机变量发生的概率，正确列出分布列(重点、难点)3.理解超几何分布，并能进行简单的应用考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点内容. 预测 2020 年将会考查：与排列组合及统计知识结合的分布列；与独立重复事件结合的分布列. 试题以解答题的形式呈现，以现实生活中的事例为背景进行考查，试题难度不大，属中档题型.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为 随机变量，常用字母 X， Y， ， ，表01 示所有取值可以一一列出
2、的随机变量，称为 离散型随机变量02 2离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2， xi， xn， X 取每一个值 xi(i1,2， n)的概率 P(X xi) pi，则表X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn称为离散型随机变量 X 的 概率分布列，简称为 X 的 分布列，有时为了表达简单，01 02 也用等式 P(X xi) pi，i1,2， n 表示 X 的分布列03 (2)离散型随机变量的分布列的性质 pi0(i1,2， n)；04 .05 ni 1pi 13常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量 X 服从两
3、点分布，即其分布列为(2)超几何分布2在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk) 02 ， k0,1,2， m，其中 mmin M， n，且 n N， M N， n， M， N N*.CkMCn kN MCnN如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布1概念辨析(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应. ( )(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的( )(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和( )(4)若随机变量
4、X 的分布列由下表给出，X 2 5P 0.3 0.7则它服从两点分布( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)已知 8 件产品中有 2 件次品，从中任取 3 件，取到次品的件数为随机变量 ，那么 的可能取值为( )A0,1 B1,2 C0,1,2 D0,1,2,3答案 C解析 由于只有 2 件次品，所以 的可能取值为 0,1,2.(2)抛掷两枚质地均匀的硬币，则正面向上的个数 X 的分布列为( )3答案 C解析 因为 P(X1) ，所以 A，B 不正确；又因为12P(X0) P(X1) P(X2)1.所以 D 不正确，故选 C.(3)设随机变量 X 的分布列如下：则 p 为(
5、)A. B. 16 13C. D.14 112答案 C解析 由分布列的性质得， p1，112 16 13 16解得 p .14(4)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中女生人数不超过 1人的概率是_答案 45解析 设所选女生人数为 x，则 x 服从超几何分布，其中 N6， M2， n3，则P(x1) P(x0) P(x1) .C02C34C36 C12C24C36 454题型 离散型随机变量分布列的性质一设随机变量 的分布列 P ak(k1,2,3,4,5)( k5)(1)求常数 a 的值；(2)求 P ；( 35)(3)求 P .(110 710)解 由已
6、知分布列为：(1)由 a2 a3 a4 a5 a1，得 a .115(2)P P P P( 1) .( 35) ( 35) ( 45) 315 415 515 45(或 P( 35) 1 P( 25) 1 (115 215) 45.)(3)因为 只有 ， 满足，110 710 1525 35故 P(110 710) P P P( 15) ( 25) ( 35) .115 215 315 25条件探究 若将举例说明条件变为“ P( n) (n1,2,3,4) ”求 Pan n 1的值(12 52)解 P( n) .an n 1 1， a .a2 a6 a12 a20 54P P( 1) P( 2
7、) .(12 52) 565结论探究 举例说明条件下，求 5 1 的分布列解 由举例说明解析得 的分布列为所以 5 1 的分布列为1分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值及检查分布列的正确性(2)随机变量 X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率提醒：求分布列中的参数值时，要保证每个概率值均为非负数2随机变量 X 的线性组合的概率及分布列问题(1)随机变量 X 的线性组合 aX b(a， bR)是随机变量(2)求 aX b 的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列.1设离散型随机变量 的分布列如下表
8、所示：则下列各式正确的是( )A P( 3) B P( 1)25 45C P(2 4) D P( 0.5)025答案 C6解析 由离散型随机变量 的概率分布列得，P( 3) P( 1) P( 0) P( 1) P( 2) ，故 A 错误； P( 1) P( 2) P( 3) ，故 B 错110 15 110 15 35 15 25 35误； P(2 4) P( 3) ，故 C 正确； P( 0.5) P( 1) P( 0)25 ，故 D 错误110 15 3102设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则 q 的值为( )A1 B. 32 336C. D. 32 336 32 336答案 C
9、解析 由分布列的性质知Error!解得 q .32 336题型 超几何分布二(2018济南模拟)某外语学校的一个社团中有 7 名同学，其中 2 人只会法语，2 人只会英语，3 人既会法语又会英语，现选派 3 人到法国的学校交流访问求：(1)在选派的 3 人中恰有 2 人会法语的概率；(2)在选派的 3 人中既会法语又会英语的人数 X 的分布列解 (1)设事件 A：选派的 3 人中恰有 2 人会法语，则 P(A) .C25C12C37 47(2)依题意知， X 服从超几何分布， X 的可能取值为 0,1,2,3，P(X0) ，C34C37 435P(X1) ，C24C13C37 1835P(X2
10、) ，C14C23C37 12357P(X3) ，C3C37 135 X 的分布列为1超几何分布的两个特点(1)超几何分布是不放回抽样问题(2)随机变量为抽到的某类个体的个数2超几何分布的应用条件(1)考察对象分两类(2)已知各类对象的个数(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体个数 的概率分布3求超几何分布的分布列的步骤某高校一专业在一次自主招生中，对 20 名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：8由于部分数据丢失，只知道从这 20 名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 .25(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生
11、中任意抽取 2 名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的 20 名学生中任意抽取 2 名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为 X，求随机变量 X 的分布列解 (1)用 A 表示“从这 20 名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生” ，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6 n)名， P(A) ，解得 n2，6 n20 25 m4，用 B 表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名，其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生” ， P(B)1 .C26C29 712(2)随机变量 X 服从超几何分
12、布， X 的可能取值为 0,1,2.在 20 名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有 8 名， P(X0) ，C21C20 3395P(X1) ，C18C12C20 4895P(X2) ，C28C20 1495 X 的分布列为X 0 1 2P 3395 4895 14959题型 求离散型随机变量的分布列三角度 1 与互斥事件有关的分布列问题1已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需
13、要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的分布列和均值(数学期望)解 (1)记第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品为事件 A，则 P(A) .A12A13A25 310(2)X 的可能取值为 200,300,400.P(X200) ，A2A25 110P(X300) ，A3 C12C13A2A35 310P(X400)1 P(X200) P(X300)1 .110 310 610故 X 的分布列为X 200 300 400P 110 310 610E(X)200 300 400 350.110 310 610角度
14、2 与统计有关的分布列的求法2随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出 1 吨该商品可获利润 0.5 万元，未售出的商品，每 1 吨亏损 0.3 万元根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示已知电商为下一个销售季度筹备了 130 吨该商品，现以 x(单位：吨，100 x150)表示下一个销售季度的市场需求量， T(单位：万元)表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润10(1)视 x 分布在各区间内的频率为相应的概率，求 P(x120)；(2)将 T 表示为 x 的函数，求出该函数表达式
15、；(3)在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值(组中值)代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率(例如x100,110)，则取 x105 的概率等于市场需求量落入100,110)的频率)，求 T 的分布列解 (1)根据频率分布直方图及两两互斥事件的概率的可加性得，P(x120) P(120 x130) P(130 x140) P(140 x150)0.030100.025100.015100.7.(2)当 x100,130)时， T0.5 x0.3(130 x)0.8 x39；当 x130,150时， T0.513065，所以 TError
16、!(3)由题意及(2)可得，当 x100,110)时， T0.81053945， P(T45)0.010100.1；当 x110,120)时， T0.81153953, P(T53)0.020100.2；当 x120,130)时， T0.81253961， P(T61)0.030100.3；当 x130,150时， T65， P(T65)(0.0250.015)100.4；所以 T 的分布列为T 45 53 61 65P 0.1 0.2 0.3 0.4所以 E(T)450.1530.2610.3650.459.4 万元离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且
17、每一个取值所表示的意义(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率(3)画表格：按规范要求形式写出分布列(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确11提醒：求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和.1某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会(1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率；(2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量
18、 X 的分布列解 (1)由已知，有 P(A) .C13C14 C23C210 13所以事件 A 发生的概率为 .13(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2.P(X0) ，C23 C23 C24C210 415P(X1) ，C13C13 C13C14C210 715P(X2) .C13C14C210 415所以随机变量 X 的分布列为X 0 1 2P 415 715 4152甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪 70 元，每单抽成 4 元；乙公司无底薪，40 单以内(含 40 单)的部分每单抽成 5 元，超出 40 单的部分每单抽成 7 元，假设同一公司送餐员一天
19、的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 100 天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 10 20 20 40 10(1)现从甲公司记录的 100 天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于 40 的概率；(2)若将频率视为概率，回答下列问题：记乙公司送餐员日工资为 X(单位：元)，求 X 的分布列和数学期望；小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说
20、明理由解 (1)记“抽取的两天送餐单数都大于 40”为事件 M，12则 P(M) .C20C2100 19495(2)设乙公司送餐员送餐单数为 a，则当 a38 时， X385190，当 a39 时， X395195，当 a40 时， X405200，当 a41 时， X40517207，当 a42 时， X40527214.则 X 的所有可能取值为 190,195,200,207,214.所以 X 的分布列为X 190 195 200 207 214P 110 15 15 25 110故 E(X)190 195 200 207 214 .110 15 15 25 110 10115依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.4400.2410.1420.139.5.所以甲公司送餐员日平均工资为 70439.5228(元)由得乙公司送餐员日平均工资为 202.2 元因为 202.2228，故推荐小明去甲公司应聘
