1、1第 3 讲 等比数列及其前 n 项和考纲解读 1.理解等比数列的概念及等比数列与指数函数的关系2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题(重点)3.熟练掌握等比数列的基本运算和相关性质(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的重点预测 2020 年高考将会以等比数列的通项公式及其性质、等比数列的前 n 项和为考查重点，也可能将等比数列的通项、前 n 项和及性质综合考查，此外，还可能会与等差数列综合考查题型以客观题或解答题的形式呈现，属中档题型.1等比数列的有关概念(1)等比
2、数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于 同一常数，那01 02 么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，公比通常用字母 q(q0)03 04 表示数学语言表达： q(n2)， q 为常数， q0.anan 1(2)等比中项如果 a， G， b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即： G 是 a 与 b 的等比05 中项 a， G， b 成等比数列 G2 ab.06 2等比数列的通项公式及前 n 项和公式(1)若等比数列 an的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 an a1qn1 ；可推广为01 an amqn m.02 (2
3、)等比数列的前 n 项和公式：当 q1 时， Sn na1；当 q1 时， Sn a1 1 qn1 q.a1 anq1 q3等比数列的相关性质设数列 an是等比数列， Sn是其前 n 项和(1)若 m n p q，则 aman apaq，其中 m， n， p， qN *.特别地，若 2s p r，则01 apar a ，其中 p， s， rN *.2s(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak， ak m， ak2 m，仍是等比数列，2公比为 qm(k， mN *)02 (3)若数列 an， bn是两个项数相同的等比数列，则数列 ban， panqbn和(其中 b， p， q 是非零
4、常数 )也是等比数列panqbn(4)Sm n Sn qnSm Sm qmSn.(5)当 q1 或 q1 且 k 为奇数时， Sk， S2k Sk， S3k S2k，是等比数列，公比为 qk.当 q1 且 k 为偶数时， Sk， S2k Sk， S3k S2k，不是等比数列(6)若 a1a2an Tn，则 Tn， ， ，成等比数列T2nTnT3nT2n(7)若数列 an的项数为 2n，则 q；若项数为 2n1，则 q.S偶S奇 S奇 a1S偶1概念辨析(1)满足 an1 qan(nN *， q 为常数)的数列 an为等比数列( )(2)G 为 a， b 的等比中项 G2 ab.( )(3)如果
5、数列 an为等比数列，则数列lg an是等差数列( )(4)若数列 an的通项公式是 an an，则其前 n 项和为 Sn .( )a 1 an1 a(5)若数列 an为等比数列，则 S4， S8 S4， S12 S8成等比数列答案 (1) (2) (3) (4) (5)2小题热身(1)在等比数列 an中， a32， a78，则 a5等于( )A5 B5 C4 D4答案 C解析 设等比数列 an的公比为 q，则 q4 4， q22，所以 a5 a3q2224.a7a3 82(2)在等比数列 an中，已知 a11， a464，则公比 q_， S4_.答案 4 51解析 q3 64， q4， S4
6、 51.a4a1 a1 a4q1 q 1 64 41 4(3)已知数列 an是递增的等比数列， a1 a49， a2a38，则数列 an的前 n 项和为_答案 2 n1解析 因为数列 an是等比数列，所以 a1a4 a2a38.又 a1 a49，所以 a1， a4是方程 x29 x80 的两个根又因为 a10，并不适合所有情xq3xq况)，这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便(2)基本量计算过程中涉及的数学思想方法方程思想，即“知三求二” 分类讨论思想，即分 q1 和 q1 两种情况，此处是常考易错点，一定要引起重视整体思想应用等比数列前 n 项和公式时，常把 qn， 当成整体求解
7、a11 q1等比数列 an的前 n 项和为 Sn3 2n1 r，则 r 的值为( )A. B C. D13 13 19 19答案 B解析 当 n2 时， an Sn Sn1 3 2n1 r3 2n3 r83 2n3 ，当 n1 时， a1 S13 21 r3 r，数列是等比数列，当 a1满足 an83 2n3 ，即 8323 3 r ，即 r ，故选 B.83 132(2018滨海新区期中)已知递增等比数列 an的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去 1,3,9 后成等差数列(1)求 an的首项和公比；(2)设 Sn a a a ，求 Sn.21 2 2n解 (1)根据等比数列
8、的性质，可得 a3a5a7 a 512，35解得 a58.设数列 an的公比为 q，则 a3 ， a78 q2，8q2由题设可得 (8 q29)2(83)10，(8q2 1)解得 q22 或 .12 an是递增数列，可得 q1， q22，得 q .2因此 a5 a1q44 a18，解得 a12.(2)由(1)得 an的通项公式为an a1qn1 2( )n1 ( )n1 ，2 2 a ( )n1 22 n1 ，2n 2可得 a 是以 4 为首项，公比等于 2 的等比数列2n5因此 Sn a a a 2 n2 4.21 2 2n4 1 2n1 2题型 等比数列的判断与证明二(2018全国卷)已知
9、数列 an满足 a11， nan1 2( n1) an，设 bn .ann(1)求 b1， b2， b3；(2)判断数列 bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求 an的通项公式解 (1)由条件可得 an1 an.2 n 1n将 n1 代入，得 a24 a1，而 a11，所以 a24.将 n2 代入，得 a33 a2，所以 a312.从而 b11， b22， b34.(2)bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列由题设条件可得 ，即an 1n 1 2annbn1 2 bn，又 b11，所以 bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列(3)由(2)可得 2 n1 ，所以 an n2n1 .ann条
10、件探究 1 将举例说明条件改为“ a11， a (2 an1 1) an2 an1 0，且 an0”，2n求 an的通项公式解 由 a (2 an1 1) an2 an1 0 得 2an1 (an1) an(an1)2n因为 an的各项都为正数，所以 .an 1an 12故 an是首项为 1，公比为 的等比数列，12因此 an .12n 1条件探究 2 将举例说明条件改为“对任意的 nN *，有 an Sn n.设 bn an1” ，求证：数列 bn是等比数列证明 由 a1 S11 及 a1 S1，得 a1 .12又由 an Sn n 及 an1 Sn1 n1，得an1 an an1 1，2
11、an1 an1.2( an1 1) an1，即 2bn1 bn.数列 bn是以 b1 a11 为首项， 为公比的等比数列12 126等比数列的判定方法(1)定义法：若 q(q 为非零常数， nN *)或 q(q 为非零常数且an 1an anan 1n2， nN *)，则 an是等比数列见举例说明(2)(2)等比中项公式法：若数列 an中， an0 且 a anan2 (nN *)，则数列 an是2n 1等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an cqn(c， q 均是不为 0 的常数， nN *)，则 an是等比数列(4)前 n 项和公式法：若数列 an的前 n 项和 Sn kqn
12、 k(k 为常数且 k0， q0,1)，则 an是等比数列提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可 1已知 an， bn都是等比数列，那么( )A an bn， anbn都一定是等比数列B an bn一定是等比数列，但 anbn不一定是等比数列C an bn不一定是等比数列，但 anbn一定是等比数列D an bn， anbn都不一定是等比数列答案 C解析 an1， bn(1) n，则 an， bn都是等比数列，但 an bn不是等比数列；设等比数列 an的公比为
13、 p，等比数列 bn的公比为 q，则 pq.an 1bn 1anbn an 1an bn 1bn所以数列 anbn一定是等比数列2(2016全国卷)已知数列 an的前 n 项和 Sn1 a n，其中 0.(1)证明 an是等比数列，并求其通项公式；(2)若 S5 ，求 .3132解 (1)证明：由题意得 a1 S11 a 1，故 1， a1 ， a10.11 由 Sn1 a n， Sn1 1 a n1 得 an1 a n1 a n，即 an1 ( 1) a n.由a10， 0 得 an0，所以 .an 1an 1因此 an是首项为 ，公比为 的等比数列，11 1于是 an n1 .11 ( 1
14、)7(2)由(1)得 Sn1 n.( 1)由 S5 得 1 5 ，即 5 .3132 ( 1) 3132 ( 1) 132解得 1.题型 等比数列前 n 项和及性质的应用三角度 1 等比数列通项的性质1若等比数列 an的各项均为正数，且 a10a11 a9a122e 5，则 ln a1ln a2ln a20_.答案 50解析 因为等比数列 an中， a10a11 a9a12，所以由 a10a11 a9a122e 5，可解得 a10a11e 5.所以 ln a1ln a2ln a20ln ( a1a2a20)ln ( a10a11)1010ln ( a10a11)10ln e 550.角度 2
15、等比数列的前 n 项和的性质2数列 an是等比数列，前 2018 项中的奇数项之积是 1，偶数项之积是 m，则数列an的公比为( )A. B m1009 C D m1009109m 109m答案 A解析 设数列 an的公比为 q，由已知得 a1a3a20171， a2a4a2018 m，则公比 q 满足 q1009 m，解得 q .109m角度 3 等差数列与等比数列的综合3(2017全国卷)记 Sn为等比数列 an的前 n 项和已知 S22， S36.(1)求 an的通项公式；(2)求 Sn，并判断 Sn1 ， Sn， Sn2 是否成等差数列解 (1)设 an的公比为 q.由题设可得Erro
16、r!解得 q2， a12.故 an的通项公式为 an(2) n.(2)由(1)知 a12， q2，所以 Sn1 a1 a2 an an1 a1 qSn22 Sn.Sn2 a1 a2 a3 an2 a1 a2 q2Sn244 Sn24 Sn.8所以 Sn1 Sn2 (22 Sn)(24 Sn)2 Sn，所以 Sn1 ， Sn， Sn2 成等差数列1掌握运用等比数列性质解题的两个技巧(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出 a1， q 满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比
17、数列或为等差数列，例如：若 an是等比数列，且 an0，则log aan(a0 且 a1)是以 logaa1为首项，log aq 为公差的等差数列若公比不为 1 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，则 Sn， S2n Sn， S3n S2n仍成等比数列，其公比为 qn.如巩固迁移 3.2牢记与等比数列前 n 项和 Sn相关的几个结论(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列 an中，公比为 q.若共有 2n 项，则 S 偶 S 奇 q；若共有 2n1 项，则 S 奇 S 偶 (q1 且 q1)， q.a1 a2n 1q1 q S奇 a1S偶(2)分段求和： Sn m Sn qnSmqn (q
18、为公比 )如举例说明 3 和巩固迁移Sn m SnSm1. 1(2018青岛模拟)已知各项均为正数的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足a6,3a4， a5成等差数列，则 ( )S4S2A3 B9 C10 D13答案 C解析 设等比数列 an的公比为 q，因为 a6,3a4， a5成等差数列，所以 6a4 a6 a5，所以 6a4 a4(q2 q)由题意得 a40， q0.所以 q2 q60，解得 q3，所以 1 q210.S4S2 S2 q2S2S22(2015全国卷)已知等比数列 an满足 a13， a1 a3 a521，则a3 a5 a7( )A21 B42 C63 D84答案
19、B9解析 设 an的公比为 q，由 a13， a1 a3 a521 得 1 q2 q47，解得 q22(负值舍去) a3 a5 a7 a1q2 a3q2 a5q2( a1 a3 a5)q221242.故选 B.3各项均为正数的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2， S3n14，则 S4n等于( )A80 B30 C26 D16答案 B解析 由题意知公比大于 0，由等比数列的性质知 Sn， S2n Sn， S3n S2n， S4n S3n，仍为等比数列设 S2n x，则 2， x2,14 x 成等比数列由( x2) 22(14 x)，解得 x6 或 x4(舍去) Sn， S2n Sn， S3n S2n， S4n S3n，是首项为 2，公比为 2 的等比数列又 S3n14， S4n1422 330.故选 B.
