1、1第 2 讲 空间几何体的表面积与体积考纲解读 1.掌握与三视图相结合求解球、柱、锥、台的表面积和体积(重点)2.会用计算公式，会处理棱柱、棱锥与球组合体的“接” “切”问题(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲属于高考必考内容预测 2020 年会一如既往的对本内容进行考查，命题方式为：根据三视图，求几何体的表面积或体积；涉及与球有关的几何体的外接与内切问题题型以客观题为主，且试题难度不会太大，属中档题型.1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2柱、锥、台和球的表面积和体积21概念辨析(1)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2 S.( )(2)锥体
2、的体积等于底面面积与高之积( )(3)设长方体的长、宽、高分别为 2a， a， a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 3 a2.( )(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)(2016全国卷)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )3A20 B24C28 D32答案 C解析 由三视图可得圆锥的母线长为 4， S 圆锥侧 248.22 23 2又 S 圆柱侧 22416， S 圆柱底 4，该几何体的表面积为816428.故选 C.(2)(2016浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几
3、何体的表面积是_cm2，体积是_ cm 3.答案 72 32解析 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中 AB BC2 cm， BD4 cm，所以该几何体的体积V224232 cm 3，表面积 S(223243)236272 cm 2.4(3)(2017江苏高考)如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是 .V1V2答案 32解析 设球 O 的半径为 R，球 O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱 O1O2的高为 2R，圆柱 O1O2的
4、底面半径为 R. .V1V2 R22R43 R3 32(4)已知某棱台的上、下底面面积分别为 6 和 24 ，高为 2，则其体积为_3 3答案 28 3解析 由已知得此棱台的体积V (6 24 )2 42 228 .13 3 3 63243 13 3 3题型 空间几何体的表面积一1(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1， O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )A12 B122C8 D102答案 B解析 根据题意，可得截面是边长为 2 的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的2底面为半径是 的圆，且高为 2 ，所以其表面积为
5、 S 2( )22 2 12.2 2 2 2 2故选 B.2(2018四川南充诊断)如图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图，其俯视图是面积为 8 的矩形，则该几何体的表面积是( )25A208 B2482 2C8 D16答案 A解析 此几何体是一个三棱柱，且其高为 4，由于其底面是等腰直角三角形，直8222角边长为 2，所以其面积为 222.又此三棱柱的高为 4，故其侧面积为(222 )12 24168 ，表面积为 22168 208 .2 2 23某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A2 B45 5C22 D55答案 C解析 根据三视图画出该空间几何体的立体图：S AB
6、C 222；126S ABD 1 ；12 5 52S CBD 1 ；12 5 52S ACD 2 ，所以12 5 5S 表 S ABC S ABD S CBD S ACD2 2 2.故选 C.52 52 5 5三类几何体表面积的求法已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )7A. B.73 172C13 D.17 3102答案 C解析 由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示则 CC平面 ABC，上下底均为等腰直角三角形， AC BC， AC BC1， A C B C C C2， AB ， A B2 .棱台的上底面积为 11 ，下底面积为 222，2 212 12 12梯形
7、 ACC A的面积为 (12)23，梯形 BCC B的面积为 (12)23，过 A12 12作 AD A C于 D，过 D 作 DE A B，则 AD CC2， DE 为 A B C斜边高的 ，12 DE ， AE ，梯形 ABB A的面积为 ( 2 ) ，几22 AD2 DE2 32 12 2 2 32 92何体的表面积 S 233 13.12 92题型 空间几何体的体积二角度 1 根据几何体的三视图计算体积81(2018汕头一模)如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )A15 B16 C. D.503 533答案 C解析 由三视图可得，该几何体是
8、一个以俯视图为底面，高为 5 的四棱锥 P A1D1FE，其体积 V 5 .13 (1244 1222) 503角度 2 根据几何体的直观图计算体积2. (2018天津高考)已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E， F， G， H， M(如图)，则四棱锥 M EFGH 的体积为_9答案 112解析 依题意得：该四棱锥 M EFGH 为正四棱锥，其高为正方体棱长的一半，即为 ，12正方体 EFGH 的边长为 ，其面积为 ，所以四棱锥 M EFGH 的体积22 12VM EFGH Sh .13 13 12 12 112求体积的常用
9、方法直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换1(2018浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A2 B4 C6 D8答案 C解析 由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面面积 S3，高 h2，所以 V Sh6. 1 2 222祖暅是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原
10、理：“幂势既同，则积不容异 ”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等则这两个几何体的体积相等该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图所示，将底面直径皆为 2b，10高皆为 a 的半椭球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面 上以平行于平面 的平面在距平面 任意高度 d 处可横截得到 S 圆 及 S 环 两截面，可以证明 S 圆 S 环 总成立，据此，短轴长为 4 cm，长轴长为 6 cm 的椭球体的体积是_cm 3.答案 16解析 因为总有 S 圆 S 环 ，所以半椭球体的体积为 V 圆柱
11、V 圆锥 b2a b2a b2a.又 2a6,2 b4，即 a3， b2，所以椭球体的体积13 23V b2a 22316.43 43题型 几何体与球的切、接问题三1已知直三棱柱 ABC A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB3， AC4， AB AC， AA112，则球 O 的半径为( )A. B2 3172 10C. D3132 10答案 C解析 解法一：如图，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M.又 AM BC12 ， OM AA16 ，所以球 O 的半径 R OA .12 32 42 52 12 (52)2 62 132解法二：将直三棱柱补形为长方体
12、 ABEC A1B1E1C1，则球 O 是长方体 ABEC A1B1E1C1的外接球11所以体对角线 BC1的长为球 O 的直径因此 2R 13.故 R .32 42 1221322(2018全国卷)设 A， B， C， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 9 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为( )3A12 B183 3C24 D543 3答案 B解析 如图所示，点 M 为三角形 ABC 的重心， E 为 AC 的中点，当 DM平面 ABC 时，三棱锥 D ABC 体积最大，此时， OD OB R4. S ABC AB29 ，34 3 AB6，点
13、M 为三角形 ABC 的重心， BM BE2 ，23 3在 Rt OMB 中，有 OM 2.OB2 BM2 DM OD OM426，( V 三棱锥 D ABC)max 9 618 .故选 B.13 3 3条件探究 1 若将举例说明 2 中的三棱锥 D ABC 满足的条件改为“ AB 为球 O 的直径，若该三棱锥的体积为 ， BC 3， BD ， CBD90” ，计算球 O 的体积3 312解 设 A 到平面 BCD 的距离为 h，三棱锥的体积为 ，3BC3， BD ， CBD90 ，3 3 h ，13 12 3 3 h2，球心 O 到平面 BCD 的距离为 1.设 CD 的中点为 E，连接 O
14、E，则由球的截面性质可得 OE平面 CBD， BCD 外接圆的直径 CD2 ，球 O 的半径 OD2，3球 O 的体积为 .323条件探究 2 若将举例说明 1 的条件变为“正四棱锥的顶点都在球 O 的球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2”，求该球的体积解 如图，设球心为 O，半径为 r，则在 Rt AOF 中，(4 r)2( )2 r2，解得 r ，294则球 O 的体积 V 球 r3 3 .43 43 (94) 243161解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：2三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球(1)依据：长、宽、高分别为
15、 a， b， c 的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即2 R.a2 b2 c213(2)方法：补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心如举例说明 1 解法二 1(2017天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_答案 92解析 设正方体的棱长为 a，则 6a218， a .3设球的半径为 R，则由题意知 2R 3，a2 a2 a2 R .32故球的体积 V R3 3 .43 43 (32) 922某几何体的三视图如图所示，正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，则该几何体外接球的表面积是_答案 133解析 如图，易
16、知等腰梯形的外心为下底的中点 M，设该几何体的外接球的球心为 O，半径为 R， OM h，则14Error!整理得 R2 ，所以 S 球表 .1312 133高频考点 三视图与空间几何体表面积、体积的综合问题考点分析 三视图是高考重点考查的一个知识点，主要考查由几何体的三视图还原几何体的形状，进而求解表面积、体积等知识，所涉及的几何体既包括柱、锥、台、球等简单几何体，也包括一些组合体，处理此类题目的关键是通过三视图准确还原几何体典例 1 (2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A90
17、 B63C42 D36答案 B解析 (割补法) 由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点 A 处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的 ，所以该几何体的体积12V3 243 26 63.故选 B.12典例 2 某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积是( )15A2 2 2 B3 2 32 3 2 3C2 2 D3 32 3 2 3答案 D解析 由已知的四棱锥三视图，可得该四棱锥的直观图如图所示：其底面面积为 S 矩形 ABCD2 2 ，2 2侧面 S PBC 211， S PCD 2 ，12 12 2 2S PAB 222， S PAD ，12 12 2 22 2 2 3所以四棱锥的表面积为 S2 1 2 33 .所以 D 正确2 2 3 2 316
