1、1第 6 讲 空间向量及运算考纲解读 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义2.能应用空间两点间的距离公式，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，并能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一直是空间立体几何的基础，一般不单独命题预测 2020 年会与多面体相结合进行考查，题型为解答题，解题时利用空间向量法解决问题，试题难度不会太大，属中档题型.1空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式设点 A(x1， y1，
2、 z1)， B(x2， y2， z2)，则| AB| .01 x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2设点 P(x， y， z)，则与坐标原点 O 之间的距离为|OP| .02 x2 y2 z2(2)中点公式设点 P(x， y， z)为 P1(x1， y1， z1)， P2(x2， y2， z2)的中点，则 Error!.03 2空间向量的数量积ab| a|b|cos a， b 3空间向量的坐标运算a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3)(a， b 均为非零向量)：21概念辨析(1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同( )(2)在向量的数量积运算中( ab
3、)c a(bc)( )(3)若 a， b， c是空间的一个基底，则 a， b， c 中至多有一个零向量( )(4)对空间任意一点 O 与不共线的三点 A， B， C，若 x y z (其中OP OA OB OC x， y， zR)，则 P， A， B， C 四点共面( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， M 为 A1C1与 B1D1的交点若 a，AB b， c，则下列向量中与 相等的向量是( )AD AA1 BM 3A a b c B a b c12 12 12 12C a b c D a b c12 12 12 12答
4、案 A解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则， ( ) cBM BB1 B1M AA1 12AD AB (b a) a b c.故选 A.12 12 12(2)若 a， b， c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )A a， a b， a b B b， a b， a bC c， a b， a b D a b， a b， a2 b答案 C解析 A，B，D 中三组向量都是共面向量，不能构成基底， c， a b， a b 不共面可以构成基底(3)已知向量 a(2，3,5)， b ，且 a b，则 等于_(3， ，152)答案 92解析 因为 a b，所以 ，所以 .32 3
5、1525 92(4)已知 a(1,2，2)， b(0,2,4)，则 a， b 夹角的余弦值为_答案 2515解析 cos a， b .ab|a|b| 2515题型 空间向量的线性运算一如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，设 a， b， c， M， N， P 分别AA1 AB AD 是 AA1， BC， C1D1的中点，试用 a， b， c 表示以下各向量：4(1) ；AP (2) ；A1N (3) .MP NC1 解 (1) P 是 C1D1的中点， a a c a c b.AP AA1 A1D1 D1P AD 12D1C1 12AB 12(2) N 是 BC 的中点， a
6、b a b a b c.A1N A1A AB BN 12BC 12AD 12(3) M 是 AA1的中点， aError! a c bError!MP MA AP 12A1A AP 12 12 a b c，12 12又 c a.NC1 NC CC1 12BC AA1 12AD AA1 12 a b c.MP NC1 (12a 12b c) (a 12c) 32 12 32条件探究 在举例说明条件下，若 ， 2 ，试用 a， b， c 表示 .AE 12EC A1F FD EF 解 如图，连接 AF，则 .EF EA AF 5由已知四边形 ABCD 是平行四边形，故 b c，AC AB AD a
7、 c.A1D A1A AD 又 (b c)，EA 13AC 13由已知 2 ，A1F FD 所以 AF AD DF AD FD AD 13A1D c (c a) (a2 c)，13 13所以 (b c) (a2 c) (a b c)EF EA AF 13 13 13用已知向量表示某一向量的注意事项(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2)要正确理解和运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义向量加法的多边形法则对空间向量仍然成立(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立提醒：灵活运用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知
8、基向量表示出来 1如图所示，在四面体 OABC 中， a， b， c， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的OA OB OC 中点，则 _(用 a， b， c 表示)OE 答案 a b c12 14 14解析 因为 D 为 BC 的中点，6所以 ( ) (b c)，OD 12OB OC 12又因为 E 为 AD 的中点，所以 ( ) a b c.OE 12OA OD 12a 12 b c 12 14 142如图所示，已知 P 为矩形 ABCD 所在平面外一点， PA平面 ABCD，点 M 在线段 PC上，点 N 在线段 PD 上，且 PM2 MC， PN ND，若 x y z ，则MN A
9、B AD AP x y z_.答案 23解析 ( ) ( ) ( )MN PN PM 12PD 23PC 12AD AP 23PA AC 12AD 12AP 23AP 23AB AD ，23AB 16AD 16AP 所以 x y z .23 16 16 23题型 共线向量与共面向量定理的应用二1(2018郑州调研)已知 a(2,1，3)， b(1,2,3)， c(7,6， )，若a， b， c 三向量共面，则 等于_答案 9解析 由题意知 c xa yb，即(7,6， ) x(2,1，3) y(1,2,3)，Error! 解得 9.2(2018唐山质检)如图所示，已知斜三棱柱 ABC A1B1
10、C1，点 M， N 分别在 AC1和 BC上，且满足 k ， k (0 k1)AM AC1 BN BC 7(1)向量 是否与向量 ， 共面？MN AB AA1 (2)直线 MN 是否与平面 ABB1A1平行？解 (1) k ， k ，AM AC1 BN BC MN MA AB BN k kC1A AB BC k( )C1A BC AB k( )C1A B1C1 AB k kB1A AB AB AB1 k( )AB AA1 AB (1 k) k ，AB AA1 由共面向量定理知向量 与向量 ， 共面MN AB AA1 (2)当 k0 时，点 M， A 重合，点 N， B 重合， MN 在平面 ABB1A1内，故直线 MN 与平面ABB1A1不平行当 00，则实数29 _.答案 3解析 因为 a b(4,1 ， )，所以| a b| ，42 1 2 2 29所以 2 60( 0)，所以 3.
