1、8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图,第八章 立体几何与空间向量,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.多面体的结构特征,ZHISHISHULI,平行且,平行四边形,平行,平行且相等,一点,平行四边形,截面,底面,一点,多边形,三角形,三角形,梯形,全等,2.旋转体的结构特征,一点,矩形,垂直,一点,等腰三角形,等腰梯形,圆,矩形,扇形,扇环,3.三视图与直观图,垂直,45或135,平行于坐标轴,不变,原来的一半,1.底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗，为什么？,【概念方法微思考】,提示
2、不一定.因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱.,2.什么是三视图？怎样画三视图？,提示 光线自物体的正前方投射所得的正投影称为正视图，自左向右的正投影称为侧视图，自上向下的正投影称为俯视图，几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为三视图.画几何体的三视图的要求是正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等.,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分.( )
3、(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.( ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.( ) (6)菱形的直观图仍是菱形.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编 2.P19T2下列说法正确的是 A.相等的角在直观图中仍然相等 B.相等的线段在直观图中仍然相等 C.正方形的直观图是正方形 D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行,1,2,3,4,5,6,解析 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变.,7,3.P8T1在如图所示的几何体中，是棱柱的为_.(填写所有正确的序号),1,
4、2,3,4,5,6,7,题组三 易错自纠 4.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是 A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱,1,2,3,4,5,6,解析 由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形.,7,5.如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是,1,2,3,4,5,6,解析 此几何体侧视图是从左边向右边看.故选C.,7,1,2,3,4,5,6,7,7.(2018全国)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆
5、柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为,1,2,3,4,5,6,7,解析 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M，N的位置如图所示.,圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径.,1,2,3,4,5,6,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,1.以下命题： 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,题型一 空间
6、几何体的结构特征,自主演练,解析 由圆锥、圆台、圆柱的定义可知错误，正确. 对于命题，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确.,2.给出下列四个命题： 有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱； 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正确的命题为_.(填序号),解析 对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错； 对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错； 对于，若底面不是矩形，则错； 由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故正确. 综上，命题不正确.,
7、空间几何体概念辨析题的常用方法 (1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定. (2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析.,题型二 简单几何体的三视图,命题点1 已知几何体识别三视图 例1 (2018全国)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是,多维探究,解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.,命题点2 已知三视图，判断简单
8、几何体的形状 例2 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是 A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱,解析 由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.,命题点3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图 例3 一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是,解析 A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图.,三视图问题的常见类型及解题策略 (1)注意观察方向，看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线. (2)还原几何体.要熟悉柱、锥
9、、台、球的三视图，结合空间想象还原. (3)由部分视图画出剩余的部分视图.先猜测，还原，再判断.当然作为选择题，也可将选项逐项代入.,A. B. C. D.,跟踪训练1 (1)(2018杭州模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则PAC在该正方体各个面上的正投影可能是,解析 P点在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以PAC在上底面或下底面的投影为，在前、后面以及左、右面的投影为.,(2)(2018宁波模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为 ，则该几何体的俯视图可以是,解析 该几何体为正方体
10、截去一部分后的四棱锥PABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C.,题型三 空间几何体的直观图,师生共研,例4 已知等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB ，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为_.,解析 如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图.,用斜二测画法画直观图的技巧 在原图形中与轴平行的线段在直观图中与轴平行，不平行的线段先画线段的端点再连线.,跟踪训练2 如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是,解析 由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，,3,课时
11、作业,PART THREE,1.在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是 A.圆面 B.矩形面 C.梯形面 D.椭圆面或部分椭圆面,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,基础保分练,解析 将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.,2.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用代
12、表图形),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A. B. C. D.,解析 正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是， 侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是； 俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是 A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体
13、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体.,4.某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 若几何体为两个圆锥体的组合体，则俯视图为A； 若几何体为四棱锥与圆锥的组合体，则俯视图为B； 若几何体为两个四棱锥的组合体，则俯视图为D； 不可能为C，故选C.,5.(2018丽水、衢州、湖州三地市质检)若将正方体(如图1)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
14、,11,12,13,14,15,16,解析 从左向右看，该几何体的侧视图的外轮廓是一个正方形，且AD1对应的是实线，B1C对应的是虚线.故选B.,6.(2011浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.,7.(2019台州模拟)已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该棱柱的侧视图的面积为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.用一个平面去截正方体，则截面不可能是 A.直角
15、三角形 B.等边三角形 C.正方形 D.正六边形,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 用一个平面去截正方体，则截面的情况为： 截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形； 截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形； 截面为五边形时，不可能是正五边形； 截面为六边形时，可以是正六边形.,9.(2018湖州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 在棱长为2
16、的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AD，BC的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1MNB1，,故该三棱锥中最长棱的长为3.,10.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图OABC如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的正视图与侧视图的面积的比值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,解析 如
17、题图所示，设正方体的棱长为a，则三棱锥PABC的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是 a2，故面积的比值为1.,12.给出下列命题： 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 存在每个面都是直角三角形的四面体. 其中正确命题的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；
18、正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角； 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面； 正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形.,13.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切.由于两球球心连线AB
19、1与面ACC1A1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为图B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是.他对九章算术中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分.如果“牟合方盖”的正视图和侧视图都是圆，则其俯视图的形状为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
20、,11,12,13,14,15,16,解析 由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到的几何体的直观图如图所示，由图易得其俯视图为B，故选B.,拓展冲刺练,15.(2018嘉兴模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是 A.圆弧 B.抛物线的一部分 C.椭圆的一部分 D.双曲线的一部分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 根据几何体的三视图，可得侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得， 故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.(2018台州模拟)如图是一个几何体的三视图，则该几何体中最长棱的长是_.,解析 由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中三棱锥MA1B1N，如图所示，M是棱AB上靠近点A的一个三等分点，N是棱C1D1的中点，所以,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
