1、8.2 空间几何体的表面积与体积,第八章 立体几何与空间向量,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是 ，表面积是侧面积与底面面积之和.,ZHISHISHULI,所有侧面的面积之和,2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式,2rl,rl,(r1r2)l,3.柱、锥、台、球的表面积和体积,Sh,4R2,1.如何求旋转体的表面积？,【概念方法微思考】,提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面
2、积与底面积之和.,2.如何求不规则几何体的体积？,提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积.( ) (4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R a.( ) (5)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.P
3、27练习T1已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm,1,2,3,4,5,解析 S表r2rlr2r2r3r212， r24，r2.,6,3.P28A组T3如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_.,147,解析 设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，,1,2,3,4,5,所以V1V2147.,6,题组三 易错自纠 4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A.3 B.4 C.24 D.34,1,2,3,4,5,解析 由几何体的三视图可知
4、，该几何体为半圆柱，直观图如图所示.,6,1,2,3,4,5,A.24 B.18 C.10 D.6,6,1,2,3,4,5,6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,1.(2018全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为,题型一 求空间几何体的表面积,自主演练,解析 设圆柱的轴截面的边长为x，,2.(2018浙江省“七彩阳光”联盟联考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为,解析 由三视图知该四棱锥是如图所示的棱长为2的正方体中的四棱锥PB
5、CDE，,3.(2018浙江省嘉兴一中联考)一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为,解析 设圆锥底面半径是r，母线长为l，,空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.,题型二 求空间几何体的体积,命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积 例1 (2018浙江省杭州市七校联考)已知图中的网格是由边长为1的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为,多维探
6、究,解析 由三视图知该几何体是一个三棱锥，其直观图如图所示，高为4，底面三角形一边长为8，对应的高为4，,解析 如题图，因为ABC是正三角形， 且D为BC中点，则ADBC. 又因为BB1平面ABC，AD平面ABC， 故BB1AD，且BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1， 所以AD平面BCC1B1， 所以AD是三棱锥AB1DC1的高. 所以,空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)直接利用公式进行求解. (2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解. (3)以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图.,跟踪训练1 (1)(2018嘉兴模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书
7、中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为 A.5 000 立方尺 B.5 500 立方尺 C.6 000 立方尺 D.6 500 立方尺,解析 (分割法)该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF. 取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF， 则该几何体的体积为四棱锥FGBCH与三棱柱ADEGHF的体积之和.,(2)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各
8、条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥DA1BC的体积是_.,解析,题型三 与球有关的切、接问题,师生共研,例3 已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为,解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线， 则垂足为BC的中点M.,1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？,解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.,2.本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切
9、球的表面积S2的比值为多少？,3.本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3 的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？,因此底面中心到各顶点的距离均等于3， 所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.,“切”“接”问题的处理规律 (1)“切”的处理 首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心. (2)“接”的处理 抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.,跟踪训练2 (1)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为A.34 B.25 C.41 D.50,解析 根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是4,3,3的长方体
10、所截成的四棱锥， 所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角线就是其外接球的直径，,从而求得其表面积为S4R234，故选A.,所以AB6，,所以三棱锥DABC高的最大值为246，,3,课时作业,PART THREE,1.(2018湖州模拟)一个棱锥的三视图如图(单位：cm)，则该棱锥的表面积是,基础保分练,解析 由三视图得该几何体是底面为底为2，高为2的等腰三角形，高为2的三棱锥，且三棱锥的顶点在底面的投影为底面等腰三角形的底边的中点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2018浙江金华十校调研)一个几何体的三视图如图所示
11、，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是 A.16 B.14 C.12 D.8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2018浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是 A.2 B.4 C.6 D.8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的上、下底边长分别为2,1，高为2，,5.(2018浙
12、江考前热身联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 构造棱长为2的正方体如图所示，由三视图知该几何体是图中的四棱锥PABCD，其中B，D分别为棱的中点，,6.(2018浙江省联盟校联考)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2018浙江名校联盟联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,
13、14,15,16,故该几何体的体积为82，故选A.,8.(2018浙江省十校联盟高考适应性考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_，侧面积等于_.,解析 如图，构造底面边长为3和2，高为2的长方体，由三视图可知该空间几何体为底面边长为3和2，高为2的四棱锥SABCD，其中平面SCD底面ABCD，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,9.(2019绍兴质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由三视图
14、可知，该几何体由四分之一个底面半径为1、高为1的圆锥与一个底面为长方形，高为1的四棱锥组成，如图所示.,10.长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_.,14,解析 长方体的顶点都在球O的球面上， 长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的多面体，其三视图如图，则该几何体的体积为_，表面积为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9,解析 由三视图知该几何体是如图
15、所示的四棱锥PABCD，,12.如图，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5.求此几何体的体积.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 方法一 如图，取CMANBD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥. 则V几何体V三棱柱V四棱锥.,则几何体的体积为VV1V2722496.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
16、,11,12,13,14,15,16,13.(2019宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为_，该三棱锥的外接球的体积为_.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018温州模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是_ cm3，表面积是_ cm2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,解析 如图，在长方体中作
17、出该几何体的直观图，记为四棱锥PABCD，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为PB2PA2AB21222126，BC22， PC2PD2CD222228， 所以PC2PB2BC2，所以PBBC，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以四棱锥PABCD的表面积,拓展冲刺练,15.(2018浙江省联盟校联考)已知矩形ABCD的周长为20，当矩形ABCD的面积最大时，沿对角线AC将ACD折起，且二面角BACD的大小为，则折叠后形成的四面体ABCD的外接球的体积为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
18、,12,13,14,15,16,由于正方形ABCD的外接圆的圆心即AC的中点，它到各个顶点的距离相等， 所以沿对角线AC折叠后形成的四面体ABCD的外接球的球心为AC的中点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.(2016浙江)如图，在ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PDDA，PBBA，则四面体PBCD的体积的最大值是_.,解析 设PDDAx,0x2. 在ABC中，ABBC2，ABC120，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,在ABD中，由余弦定理得，,在PBD中，由余弦定理得，,过P作直线BD的垂线，垂足为O，设POd，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设PO与平面ABC所成角为，则点P到平面ABC的距离hdsin ，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
