1、8.6 空间向量及其运算,第八章 立体几何与空间向量,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.空间向量的有关概念,ZHISHISHULI,0,1,相等,相同,相反,相等,平行或重合,平面,2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得ab. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p_，其中x，yR，a，b为不共线向量. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_
2、，a，b，c叫做空间的一个基底.,xayb,xaybzc,做向量a，b的夹角，记作_，其范围是_，若a，b 则称a与b ，记作ab. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则_叫做向量a，b的数量积，记作_，即ab_.,3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角,0a，b,互相垂直,a，b,|a|b|cosa，b,ab,|a|b|cosa，b,(2)空间向量数量积的运算律 (a)b_； 交换律：ab_； 分配律：a(bc)_.,(ab),ba,abac,4.空间向量的坐标表示及其应用 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).,a1b1a2b2a3b3,a
3、1b1，a2b2，a3b3,a1b1a2b2a3b30,【概念方法微思考】,1.共线向量与共面向量相同吗？,提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.,2.零向量能作为基向量吗？,提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.,3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？,提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)空间中任意两个非零向量a，
4、b共面.( ) (2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc).( ) (3)对于非零向量b，由abbc，则ac.( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( ),1,2,3,4,5,6,(6)若ab0，则a，b是钝角.( ),1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,3.P98T3正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_.,1222122(12cos 120021cos 120)2，,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠 4.在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，
5、0)，则直线AB与CD的位置关系是 A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直,又AB与CD没有公共点，ABCD.,1,2,3,4,5,6,5.已知a(2，3，1)，b(4，2，x)，且ab，则|b|_.,解析 ab，ab2(4)321x0，,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 空间向量的线性运算,例1 如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，,M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：,师生共研,解 因为P是C1D1的中点，,解 因为M是AA1的中点，,用基向量表示指定向量的方法 (1)结
6、合已知向量和所求向量观察图形. (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.,题型二 共线定理、共面定理的应用,例2 如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点.,师生共研,(2)用向量方法证明平面EFG平面AB1C.,EG与AC无公共点， EGAC，EG平面AB1C，AC平面AB1C， EG平面AB1C.,FG与AB1无公共点， FGAB1， FG平面AB1C，AB1平面AB1C， FG平面AB1C， 又FGEGG，FG，EG平面EFG，
7、平面EFG平面AB1C.,证明三点共线和空间四点共面的方法比较,(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？,解 当k0时，点M，A重合，点N，B重合， MN在平面ABB1A1内， 当0k1时，MN不在平面ABB1A1内，,MN平面ABB1A1. 综上，当k0时，MN在平面ABB1A1内； 当0k1时，MN平面ABB1A1.,题型三 空间向量数量积的应用,例3 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.,(1)求证：MNAB，MNCD；,师生共研,由题意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60.,同理可证MNCD.,(2)求异
8、面直线AN与CM所成角的余弦值.,(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置. (2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角.,跟踪训练3 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.,则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.(0，3，6) B.(0，6，20) C.(0，6，6) D.(6，6，6),1,2,3,4,5,6,7,8,9,1
9、0,11,12,13,14,15,16,2.在下列命题中： 若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行； 若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； 若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面； 已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc. 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故不正确； 根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故不正确； 三个向量a，b，c中任意两个
10、一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确； 只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2018台州模拟)已知向量a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且ab，则实数m的值等于,解析 当m0时，a(1，3，1)，b(2，0，0)， a与b不平行，m0，ab，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.在空间直角坐标系中，已知A(1，2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足|PA|P
11、B|，则P点坐标为 A.(3，0，0) B.(0，3，0) C.(0，0，3) D.(0，0，3),解析 设P(0，0，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知a(1，0，1)，b(x，1，2)，且ab3，则向量a与b的夹角为,解析 abx23，x1，b(1，1，2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(
12、2019舟山模拟)已知a(2，1，3)，b(1，2，3)，c(7，6，)，若a，b，c三向量共面，则_.,解析 由题意知cxayb， 即(7，6，)x(2，1，3)y(1，2，3)，,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.已知a(x，4，1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，则c_.,此时a(2，4，1)，b(2，4，1)， 又因为bc，所以bc0， 即68z0，解得z2，于是c(3，2，2).,(3，2，2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,平行,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
13、10,11,12,13,14,15,16,又VA平面PMN， VA平面PMN.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知ABCDA1B1C1D1为正方体，,其中正确的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)判断点M是否在平面ABC内.,M，A，B，C四点共面. 点M在平面ABC内.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1
14、3,14,15,16,12.已知a(1，3，2)，b(2，1，1)，A(3，1，4)，B(2，2，2). (1)求|2ab|；,解 2ab(2，6，4)(2，1，1)(0，5，5)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(3t，1t，42t)，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当1时取最小值，此时Q点坐标为(1，1，2).,(1，1，2),拓
15、展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当点P与点B重合时，点P在直线AD1上的射影为点A，,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又因为点P在正方体的表面上， 所以点P所在的图形为点F由点A运动到点D的过程中，以射线D1F，D1E为角的 两边的平面与正方体的侧面的交线构成的区域. 设棱BC的中点为N， 则由图易得点P构成的图形为D1DA、直角梯形ABND和ENB及他们的内部，,
