1、18.2 空间几何体的表面积与体积最新考纲 考情考向分析会计算柱、锥、台、球的表面积和体积.本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算命题形式以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想.1多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面展开图侧面积公式 S 圆柱侧 2 rlS 圆锥侧 rlS 圆台侧 ( r1 r2)l3.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几
2、何体 表面积 体积柱体(棱柱和圆柱)S 表面积 S 侧 2 S 底 V Sh锥体(棱锥和圆锥)S 表面积 S 侧 S 底 V Sh132台体(棱台和圆台)S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V (S上 S 下 )h13 S上 S下球 S4 R2 V R343概念方法微思考1如何求旋转体的表面积？提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和2如何求不规则几何体的体积？提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面
3、积之和( )(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( )(3)锥体的体积等于底面积与高之积( )(4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R a.( )32(5)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2 S.( )题组二 教材改编2P27 练习 T1已知圆锥的表面积等于 12cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A1cmB2cmC3cmD. cm32答案 B解析 S 表 r2 rl r2 r2r3 r212， r24， r2.3P28A 组 T3如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与
4、剩下的几何体体积的比为_3答案 147解析 设长方体的相邻三条棱长分别为 a， b， c，它截出棱锥的体积V1 a b c abc，剩下的几何体的体积 V2 abc abc abc，所以13 12 12 12 12 148 148 4748V1 V2147.题组三 易错自纠4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A3B4C24D34答案 D解析 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示表面积为 2221 21243.125(2018浙江省杭州名校协作体月考)三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为 ，3， 1，则该三棱锥的外接球的表面积是( )2A24B18C10D6
5、答案 D解析 由题意得，外接球的直径是 2R ，3 2 1 6所以表面积为 4 R2( )26.66已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_4答案 163解析 由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为2 22 2 22 .13 163题型一 求空间几何体的表面积1(2018全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1， O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )A12 B12C8 D102 2答案 B解析 设圆柱的轴截面的边长为 x，则由 x28，得 x2 ，2 S 圆柱表 2 S 底 S 侧 2( )22
6、 2 12.故选 B.2 2 22(2018浙江省“七彩阳光”联盟联考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为( )A84 B6 22 2 3C64 D62 22 2 3答案 A解析 由三视图知该四棱锥是如图所示的棱长为 2 的正方体中的四棱锥 PBCDE，其表面积为 222 222 22 84 .故选 A.12 12 2 253(2018浙江省嘉兴一中联考)一个圆锥的表面积为 ，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为( )A1B. C2D22 2答案 B解析 设圆锥底面半径是 r，母线长为 l，所以 r2 rl，即 r2 rl1，根据圆心角公式 ，23 2 rl即 l3
7、 r，解得 r ， l ，所以 h .12 32 l2 r2 2思维升华空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量题型二 求空间几何体的体积命题点 1 求以三视图为背景的几何体的体积例 1(2018浙江省杭州市七校联考)已知图中的网格是由边长为 1 的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为( )A64B. C. D128643 1283答案 B解析 由三视图知该几何体是一个三棱锥，其直观图如图
8、所示，高为 4，底面三角形一边长为 8，对应的高为 4，则此三棱锥的体积 V 844 ，故选 B.13 12 6436命题点 2 求简单几何体的体积例 2 如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 ， D 为 BC 的中点，则三棱锥3A B1DC1的体积为( )A3 B.32C1 D.32答案 C解析 如题图，因为 ABC 是正三角形，且 D 为 BC 中点，则 AD BC.又因为 BB1平面 ABC， AD平面 ABC，故 BB1 AD，且 BB1 BC B， BB1， BC平面 BCC1B1，所以 AD平面 BCC1B1，所以 AD 是三棱锥 A B1DC1的高所以
9、1DCVS三 棱 锥 1.13 3 3思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)直接利用公式进行求解(2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图跟踪训练 1(1)(2018嘉兴模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈；上棱长 2 丈，高 1丈，问它的体积是多少？”已知 1 丈为 10 尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为 1 丈，则该楔体的体积为( )7A5
10、000 立方尺 B5500 立方尺C6000 立方尺 D6500 立方尺答案 A解析 (分割法)该楔体的直观图如图中的几何体 ABCDEF.取 AB 的中点 G， CD 的中点 H，连接 FG， GH， HF，则该几何体的体积为四棱锥 F GBCH 与三棱柱 ADE GHF 的体积之和又可以将三棱柱 ADE GHF 割补成高为 EF，底面积为S 31 (平方丈)的一个直棱柱，故该楔体的体积 V 2 2315(立方丈)12 32 32 135000(立方尺)(2)如图，直三棱柱 ABC A1B1C1的各条棱长均为 2， D 为棱 B1C1上任意一点，则三棱锥D A1BC 的体积是_答案 233解
11、析 111123.3DABCABBCBCVVS 题型三 与球有关的切、接问题例 3 已知直三棱柱 ABC A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB3， AC4， AB AC， AA112，则球 O 的半径为( )A. B2 C. D33172 10 132 10答案 C8解析 如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M.又 AM BC ， OM AA16，12 52 12所以球 O 的半径 R OA .(52)2 62 132引申探究1本例若将直三棱柱改为“棱长为 4 的正方体” ，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线
12、长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为 R，内切球的半径为 r.又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4 ，3从而 V 外接球 R3 (2 )332 ，43 43 3 3V 内切球 r3 2 3 .43 43 3232本例若将直三棱柱改为“正四面体” ，则此正四面体的表面积 S1与其内切球的表面积 S2的比值为多少？解 正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S14 a2 a2，其内切球半径 r 为正34 3四面体高的 ，即 r a a，因此内切球表面积为 S24 r2 ，则 14 14 63 612 a26 S1S2 3a2 a26.633本例中若将直
13、三棱柱改为“侧棱和底面边长都是 3 的正四棱锥” ，则其外接球的半径2是多少？9解 依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为 3 6，高为 3，2 2322 (126)2因此底面中心到各顶点的距离均等于 3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3.思维升华“切” “接”问题的处理规律(1)“切”的处理首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心(2)“接”的处理抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径跟踪训练 2(1)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为( )A34B25C41D50答案 A解析 根据题中所给的三视图可以断定该几何体应
14、该是由长、宽、高分别是 4,3,3 的长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角线就是其外接球的直径，所以有 R ，从而求得其表面积为42 32 322 342S4 R234，故选 A.(2)(2018全国)设 A， B， C， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 9 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为( )3A12 B18 C24 D543 3 3 3答案 B解析 由等边 ABC 的面积为 9 ，可得 AB29 ，334 3所以 AB6，所以等边 ABC 的外接圆的半径为 r AB2 .33 3设球的半径
15、为 R，球心到等边 ABC 的外接圆圆心的距离为 d，则 d 2.R2 r2 16 12所以三棱锥 D ABC 高的最大值为 246，所以三棱锥 D ABC 体积的最大值为 9 618 .13 3 3101(2018湖州模拟)一个棱锥的三视图如图(单位：cm)，则该棱锥的表面积是( )A42 cm2 B46 cm26 2C. cm2 D22 cm243 6答案 A解析 由三视图得该几何体是底面为底为 2，高为 2 的等腰三角形，高为 2 的三棱锥，且三棱锥的顶点在底面的投影为底面等腰三角形的底边的中点，则其表面积为 222 212 12 2242 (cm2)，故选 A.2 312 62(201
16、8浙江金华十校调研)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是 2 的圆，则这个几何体的表面积是( )A16B14C12D8答案 A解析 根据给定的三视图可知该几何体为 个球体，其半径为 2，因此该几何体的表面积为34S 42 22 216，故选 A.343 算术书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成11一，该术相当于给出圆锥的底面周长 l 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V l2h，它实际136上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取 3，那么，近似公式 V l2h
17、 相当于将圆锥体25942积公式中的 近似取( )A. B. C. D.227 258 15750 355113答案 C解析 V r2h 2h l2h，由 ，得 ，故选 C.13 13 (l2 ) 112 112 25942 157504(2018浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A2B4C6D8答案 C解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为 2 的直四棱柱，直角梯形的上、下底边长分别为 2,1，高为 2，该几何体的体积为 V2 6.122 12故选 C.5(2018浙江考前热身联考)如图，网格纸上小正方形的边长为
18、1，粗实线和虚线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B. C2D423 43答案 B12解析 构造棱长为 2 的正方体如图所示，由三视图知该几何体是图中的四棱锥 PABCD，其中 B， D 分别为棱的中点，则其体积 V 2 .故选 B.13 22 2(1221) 436(2018浙江省联盟校联考)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A3B. C. D6154 334答案 B解析 由三视图还原直观图知，该几何体为底面半径为 1，高为 的圆锥挖去一个球心为圆3锥底面圆的圆心且与圆锥相切的半球，易知圆锥的母线长为 2，则圆锥的轴截面为边长为 2的等边三角
19、形，球的半径为 ，故该几何体的表面积为3212 4 21 2 2 ，故选 B.12 (32) (32) 1547(2018浙江名校联盟联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A82 B8C8 D8 2 4答案 A解析 由三视图可知该几何体为一个正方体截去两个 圆柱，正方体的体积为 2228，1413截去的 圆柱的底面半径为 ，高为 2，两个 圆柱的体积为 ( )2222，14 2 14 14 2故该几何体的体积为 82，故选 A.8(2018浙江省十校联盟高考适应性考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_，侧面积等于_答案 4 3 55 2解析 如图，构造底面边长
20、为 3 和 2，高为 2 的长方体，由三视图可知该空间几何体为底面边长为 3 和 2，高为 2 的四棱锥 SABCD，其中平面 SCD底面 ABCD，所以该几何体的体积V 3224，侧面积为 4 个三角形的面积之和，所以侧面积13S 23 22 2 32 3 5 .12 12 2 12 5 12 2 5 29(2019绍兴质检)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为_答案 23 12解析 由三视图可知，该几何体由四分之一个底面半径为 1、高为 1 的圆锥与一个底面为长方形，高为 1 的四棱锥组成，如图所示14该几何体的体积 V 1 21 121
21、.14 13 13 23 1210长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为_答案 14解析 长方体的顶点都在球 O 的球面上，长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径设球的半径为 R，则 2R .32 22 12 14球 O 的表面积为 S4 R24 214.(142)11从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的多面体，其三视图如图，则该几何体的体积为_，表面积为_答案 9 927 932 2解析 由三视图知该几何体是如图所示的四棱锥 PABCD，因此，其体积V333 333 3339；表面积 S3 3333 (3 )12
22、 13 12 12 2 34 22 9 .272 932 212如图，在 ABC 中， AB8， BC10， AC6， DB平面 ABC，且AE FC BD， BD3， FC4， AE5.求此几何体的体积15解 方法一 如图，取 CM AN BD，连接 DM， MN， DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥则 V 几何体 V 三棱柱 V 四棱锥由题知三棱柱 ABC NDM 的体积为 V1 86372.12四棱锥 D MNEF 的体积为V2 S 梯形 MNEFDN13 (12)6824，13 12则几何体的体积为 V V1 V2722496.方法二 用“补形法”把原几何体补成
23、一个直三棱柱，使 AA BB CC8，所以 V 几何体 V 三棱柱 S ABCAA 24896.12 12 1213(2019宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为 120的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为_，该三棱锥的外接球的体积为_答案 4 3 15205316解析 由三视图得该几何体为一个底面是底为 2 ，高为 1 的等腰三角形，高为 2 的三棱锥，3且该三棱锥的顶点在底面的投影为底面等腰三角形的顶点，则该三棱锥的表面积为2 22 12 2 4 .三棱锥的底面所在的截面圆的半径为12 12 3 12 5 3 3 152，则三棱锥的外接球的半径为
24、，则该三棱锥的外接球的体积为232sin120 22 (22)2 5( )3 .43 5 205314(2018温州模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是_cm3，表面积是_cm 2.答案 1 9 52 3解析 如图，在长方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥 PABCD，所以该四棱锥的体积 V S 梯形 ABCDPD (12)121.13 13 12因为 PB2 PA2 AB21 22 21 26， BC22， PC2 PD2 CD22 22 28，所以PC2 PB2 BC2，所以 PB BC，所以 S PBC PBBC ， S 梯形12 12 6 2 3ABCD
25、(12)1 ，12 32S PAD PDAD 211，12 12S PCD PDCD 222，12 12S PAB PAAB 1 ，12 12 5 52所以四棱锥 PABCD 的表面积17S 12 .332 52 9 52 315(2018浙江省联盟校联考)已知矩形 ABCD 的周长为 20 ，当矩形 ABCD 的面积最大时，2沿对角线 AC 将 ACD 折起，且二面角 BACD 的大小为 ，则折叠后形成的四面体 ABCD的外接球的体积为( )A. B1005003C. D与 的大小有关100023答案 A解析 设矩形 ABCD 的长、宽分别为 x， y，则 2x2 y20 2 ，所以 xy5
26、0，当2 2x2y且仅当 x y5 时取等号，即当矩形 ABCD 为边长为 5 的正方形时，矩形 ABCD 的面积2 2最大由于正方形 ABCD 的外接圆的圆心即 AC 的中点，它到各个顶点的距离相等，所以沿对角线 AC 折叠后形成的四面体 ABCD 的外接球的球心为 AC 的中点，故外接球的半径 r5，外接球的体积 V r3 ，故选 A.43 500316(2016浙江)如图，在 ABC 中， AB BC2， ABC120.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D，满足 PD DA， PB BA，则四面体 PBCD 的体积的最大值是_答案 12解析 设 PD DA x,0x2 .
27、3在 ABC 中， AB BC2， ABC120， AC AB2 BC2 2ABBCcos ABC 2 ，4 4 222cos120 3 CD2 x，且 ACB (180120)30，312 S BCD BCDCsin ACB12 2(2 x) (2 x)12 3 12 12 318在 ABD 中，由余弦定理得，BD2 AD2 AB22 ABADcos DAB x22 x4，3 BD ，x2 23x 4在 PBD 中，由余弦定理得，cos BPD ， BPD30，32过 P 作直线 BD 的垂线，垂足为 O，设 PO d，则 S PBD BDd PDPBsin BPD，12 12则 d x2s
28、in30，x2 23x 4 d ，xx2 23x 4设 PO 与平面 ABC 所成角为 ，则点 P 到平面 ABC 的距离 h dsin ， V 四面体 P BCD S BCDh S BCDdsin S BCDd13 13 13 (2 x)13 12 3 xx2 23x 4 .16 x23 xx2 23x 4设 t ，x2 23x 4 x 32 1又 0x2 ，1 t2，3则| x | .3 t2 1(1)当 0x 时，1 t2，| x | x ， x ，3 3 3 t2 1 3 t2 1 V 四面体 P BCD 16 3 t2 123 3 t2 1t ，16 4 t2t 16(4t t)易知函数 f(t) 在1,2)上单调递减，又 f(1) ，16(4t t) 12当 0x 时， V 四面体 P BCD的最大值为 ，此时 x .312 3(2)当 x2 时，1 t2，| x | x ，3 3 3 3 t2 1 x ，3 t2 119 V 四面体 P BCD 16 3 t2 123 3 t2 1t ，16 4 t2t 16(4t t)由(1)知，当 x2 时， V 四面体 P BCD的最大值为 ，此时， x .3 312 3综上，当 x 时，四面体 P BCD 的体积取最大值 .312
