1、18.4 直线、平面平行的判定与性质最新考纲 考情考向分析理解空间线面平行、面面平行的判定定理和性质定理.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1线面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行线面平行”)Error!l 性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)Error!l b2.面
2、面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)Error! 2性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行Error!a b概念方法微思考1一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？提示 不都平行该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面2一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示 平行可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行” ，这就是面面平行的判定定理题组一 思考辨析1判断下列
3、结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面( )(2)平行于同一条直线的两个平面平行( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( )(5)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a .( )(6)若 ，直线 a ，则 a .( )题组二 教材改编2P58 练习 T3平面 平面 的一个充分条件是( )A存在一条直线 a， a ， a B存在一条直线 a， a ， a C存在两条平行直线 a， b， a ， b ， a ， b D存
4、在两条异面直线 a， b， a ， b ， a ， b 答案 D解析 若 l， a l， a ， a ，则 a ， a ，故排除 A.若 l， a ， a l，则 a ，故排除 B.若 l， a ， a l， b ， b l，则 a ， b ，故排除 C.故选 D.33P62A 组 T3如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为 DD1的中点，则 BD1与平面 AEC 的位置关系为_答案 平行解析 连接 BD，设 BD AC O，连接 EO，在 BDD1中， E 为 DD1的中点， O 为 BD 的中点，所以 EO 为 BDD1的中位线，则 BD1 EO，而 BD1平面 ACE，
5、EO平面 ACE，所以 BD1平面 ACE.题组三 易错自纠4对于空间中的两条直线 m， n 和一个平面 ，下列命题是真命题的是( )A若 m ， n ，则 m n B若 m ， n ，则 m nC若 m ， n ，则 m n D若 m ， n ，则 m n答案 D解析 对 A，直线 m， n 可能平行、异面或相交，故 A 错误；对 B，直线 m 与 n 可能平行，也可能异面，故 B 错误；对 C， m 与 n 垂直而非平行，故 C 错误；对 D，垂直于同一平面的两直线平行，故 D 正确5若平面 平面 ，直线 a平面 ，点 B ，则在平面 内且过 B 点的所有直线中( )A不一定存在与 a 平
6、行的直线B只有两条与 a 平行的直线C存在无数条与 a 平行的直线D存在唯一与 a 平行的直线答案 A解析 当直线 a 在平面 内且过 B 点时，不存在与 a 平行的直线，故选 A.46设 ， ， 为三个不同的平面， a， b 为直线，给出下列条件： a ， b ， a ， b ； ， ； ， ； a ， b ， a b.其中能推出 的条件是_(填上所有正确的序号)答案 解析 在条件或条件中， 或 与 相交；由 ， ，条件满足；在中， a ， a bb ，又 b ，从而 ，满足题型一 直线与平面平行的判定与性质命题点 1 直线与平面平行的判定例 1 (2018绍兴模拟)如图，在直三棱柱 ABC
7、A1B1C1中， BAC90， AB AC2，点M， N 分别为 A1C1， AB1的中点(1)证明： MN平面 BB1C1C；(2)若 CM MN，求三棱锥 MNAC 的体积(1)证明 连接 A1B， BC1，点 M， N 分别为 A1C1， A1B 的中点，所以 MN 为 A1BC1的一条中位线，所以 MN BC1，又 MN平面 BB1C1C， BC1平面 BB1C1C，所以 MN平面 BB1C1C.(2)解 设点 D， E 分别为 AB， AA1的中点， AA1 a，连接 ND， CD，则 CM2 a21， MN21 ， CN2 5 ，a2 44 a2 84 a24 a2 2045由 C
8、M MN，得 CM2 MN2 CN2，解得 a ，2又 NE平面 AA1C1C， NE1，V 三棱锥 MNAC V 三棱锥 NAMC S AMCNE13 2 1 .13 12 2 23所以三棱锥 MNAC 的体积为 .23命题点 2 直线与平面平行的性质例 2 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形， PA平面 ABCD， E， F 分别是线段AD， PB 的中点， PA AB1.(1)证明： EF平面 PDC；(2)求点 F 到平面 PDC 的距离(1)证明 取 PC 的中点 M，连接 DM， MF， M， F 分别是 PC， PB 的中点， MF CB， MF CB，12 E 为
9、 DA 的中点，四边形 ABCD 为正方形， DE CB， DE CB，12 MF DE， MF DE，四边形 DEFM 为平行四边形， EF DM， EF平面 PDC， DM平面 PDC， EF平面 PDC.6(2)解 EF平面 PDC，点 F 到平面 PDC 的距离等于点 E 到平面 PDC 的距离 PA平面 ABCD， PA DA，在 Rt PAD 中， PA AD1， DP ，2 PA平面 ABCD， PA CB， CB AB， PA AB A， PA， AB平面 PAB， CB平面 PAB， CB PB，则 PC ，3 PD2 DC2 PC2， PDC 为直角三角形，其中 PD CD
10、， S PDC 1 ，12 2 22连接 EP， EC，易知 VE PDC VC PDE，设 E 到平面 PDC 的距离为 h， CD AD， CD PA， AD PA A，AD， PA平面 PAD， CD平面 PAD，则 h 1 1，13 22 13 12 12 h ，24 F 到平面 PDC 的距离为 .24思维升华判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)(2)利用线面平行的判定定理( a ， b ， a ba )(3)利用面面平行的性质( ， a a )(4)利用面面平行的性质( ， a ， a a )跟踪训练 1(2019崇左联考)如图，在四棱锥 P ABCD
11、中，平面 PAC平面 ABCD，且PA AC， PA AD2，四边形 ABCD 满足 BC AD， AB AD， AB BC1.点 E， F 分别为侧棱PB， PC 上的点，且 ( 0)PEPB PFPC7(1)求证： EF平面 PAD；(2)当 时，求点 D 到平面 AFB 的距离12(1)证明 ( 0)， EF BC.PEPB PFPC BC AD， EF AD.又 EF平面 PAD， AD平面 PAD， EF平面 PAD.(2)解 ， F 是 PC 的中点，12在 Rt PAC 中， PA2， AC ，2 PC ，PA2 AC2 6 PF PC .12 62平面 PAC平面 ABCD，且
12、平面 PAC平面 ABCD AC， PA AC， PA平面 PAC， PA平面 ABCD， PA BC.又 AB AD， BC AD， BC AB，又 PA AB A， PA， AB平面 PAB， BC平面 PAB， BC PB，在 Rt PBC 中， BF PC .12 62连接 BD， DF，设点 D 到平面 AFB 的距离为 d，在等腰三角形 BAF 中， BF AF ， AB1，62 S ABF ，54又 S ABD1，点 F 到平面 ABD 的距离为 1，8由 VF ABD VD AFB，得 11 d ，13 13 54解得 d ，455即点 D 到平面 AFB 的距离为 .455题
13、型二 平面与平面平行的判定与性质例 3 如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1中， E， F， G， H 分别是 AB， AC， A1B1， A1C1的中点，求证：(1)B， C， H， G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.证明 (1) G， H 分别是 A1B1， A1C1的中点， GH 是 A1B1C1的中位线， GH B1C1.又 B1C1 BC， GH BC， B， C， H， G 四点共面(2) E， F 分别是 AB， AC 的中点， EF BC. EF平面 BCHG， BC平面 BCHG， EF平面 BCHG.又 G， E 分别为 A1B1， AB 的中点， A1
14、B1 AB 且 A1B1 AB， A1G EB， A1G EB，四边形 A1EBG 是平行四边形， A1E GB.又 A1E平面 BCHG， GB平面 BCHG， A1E平面 BCHG.又 A1E EF E， A1E， EF平面 EFA1，平面 EFA1平面 BCHG.9引申探究1在本例中，若将条件“ E， F， G， H 分别是 AB， AC， A1B1， A1C1的中点”变为“ D1， D 分别为 B1C1， BC 的中点” ，求证：平面 A1BD1平面 AC1D.证明 如图所示，连接 A1C， AC1，交于点 M，四边形 A1ACC1是平行四边形， M 是 A1C 的中点，连接 MD，
15、D 为 BC 的中点， A1B DM. A1B平面 A1BD1， DM平面 A1BD1， DM平面 A1BD1，又由三棱柱的性质知， D1C1 BD 且 D1C1 BD，四边形 BDC1D1为平行四边形， DC1 BD1.又 DC1平面 A1BD1， BD1平面 A1BD1， DC1平面 A1BD1，又 DC1 DM D， DC1， DM平面 AC1D，因此平面 A1BD1平面 AC1D.2在本例中，若将条件“ E， F， G， H 分别是 AB， AC， A1B1， A1C1的中点”变为“点 D， D1分别是 AC， A1C1上的点，且平面 BC1D平面 AB1D1”，试求 的值ADDC解
16、连接 A1B， AB1，交于点 O，连接 OD1.由平面 BC1D平面 AB1D1，且平面 A1BC1平面 BC1D BC1，平面 A1BC1平面 AB1D1 D1O，所以 BC1 D1O，则 1.A1D1D1C1 A1OOB10同理， AD1 C1D，又 AD C1D1，所以四边形 ADC1D1是平行四边形，所以 AD D1C1，又 AC A1C1，所以 ，A1D1D1C1 DCAD所以 1，即 1.DCAD ADDC思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义(2)面面平行的判定定理(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(5)利用“线线
17、平行” 、 “线面平行” 、 “面面平行”的相互转化跟踪训练 2 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形， BF平面 ABCD， DE平面ABCD， BF DE， M 为棱 AE 的中点(1)求证：平面 BDM平面 EFC；(2)若 AB1， BF2，求三棱锥 A CEF 的体积(1)证明 如图，设 AC 与 BD 交于点 N，则 N 为 AC 的中点，连接 MN，又 M 为棱 AE 的中点， MN EC. MN平面 EFC， EC平面 EFC， MN平面 EFC. BF平面 ABCD， DE平面 ABCD，且 BF DE， BF DE 且 BF DE，11四边形 BDE
18、F 为平行四边形， BD EF. BD平面 EFC， EF平面 EFC， BD平面 EFC.又 MN BD N， MN， BD平面 BDM，平面 BDM平面 EFC.(2)解 连接 EN， FN.在正方形 ABCD 中， AC BD，又 BF平面 ABCD， BF AC.又 BF BD B， BF， BD平面 BDEF， AC平面 BDEF，又 N 是 AC 的中点， V 三棱锥 A NEF V 三棱锥 C NEF， V 三棱锥 A CEF2 V 三棱锥 A NEF2 ANS NEF132 2 ，13 22 12 2 23三棱锥 A CEF 的体积为 .23题型三 平行关系的综合应用例 4 如
19、图所示，四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形(1)求证： AB平面 EFGH， CD平面 EFGH；(2)若 AB4， CD6，求四边形 EFGH 周长的取值范围(1)证明 四边形 EFGH 为平行四边形， EF HG. HG平面 ABD， EF平面 ABD， EF平面 ABD.12又 EF平面 ABC，平面 ABD平面 ABC AB， EF AB，又 AB平面 EFGH， EF平面 EFGH， AB平面 EFGH.同理可证， CD平面 EFGH.(2)解 设 EF x(0x4)， EF AB， FG CD， ，则 1 .CFCB x4 FG6 BFBC B
20、C CFBC x4 FG6 x.32四边形 EFGH 为平行四边形，四边形 EFGH 的周长 l2 12 x.(x 632x)又0 x4，8 l12，即四边形 EFGH 周长的取值范围是(8,12)思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决跟踪训练 3 如图， E 是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 DD1的中点，过 A， C， E 三点作平面 与正方体的面相交(1)画出平面 与正方体 ABCD A1B1C1D1各面的交线；(2)求证： BD1平面 .(1)解 如图，交线即为 EC， AC， AE，平
21、面 即为平面 AEC.(2)证明 连接 AC， BD，设 BD 与 AC 交于点 O，连接 EO，四边形 ABCD 为正方形， O 是 BD 的中点，又 E 为 DD1的中点13 OE BD1，又 OE平面 ， BD1平面 . BD1平面 .1(2018温州模拟)已知 ， 为两个不同的平面，直线 l ，那么“ l ”是“ ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 B解析 若 l ，且 l ，则 ， 相交或平行，故 l 且 lD / ，而 且 l l ，所以 “l ”是“ ”的必要不充分条件，故选 B.2已知 m， n 是两条不同直线， ， 是两个不同平
22、面，则下列命题正确的是( )A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m， n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m， n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面答案 D解析 A 项， ， 可能相交，故错误；B 项，直线 m， n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若 m ， n， m n，则 m ，故错误；D 项，假设 m， n 垂直于同一平面，则必有 m n，所以原命题正确，故 D 项正确3.如图所示的三棱柱 ABC A1B1C1中，过 A1B1的平面与平面 ABC 交于 DE，则 DE 与 AB 的位置关
23、系是( )A异面B平行C相交D以上均有可能答案 B解析 在三棱柱 ABC A1B1C1中， AB A1B1.14 AB平面 ABC， A1B1平面 ABC， A1B1平面 ABC.平面 A1B1EC平面 ABC DE， DE A1B1， DE AB.4(2019台州模拟)若平面 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面 平行的棱有( )A0 条 B1 条C2 条 D0 条或 2 条答案 C解析 如图设平面 截三棱锥所得的四边形 EFGH 是平行四边形，则 EF GH， EF平面 BCD， GH平面 BCD，所以 EF平面 BCD，又 EF平面 ACD，平面 ACD平面 BCD CD，则
24、EF CD， EF平面 EFGH， CD平面 EFGH，则 CD平面 EFGH，同理 AB平面 EFGH，所以该三棱锥与平面 平行的棱有 2 条，故选 C.5已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出 m 的是( )A 且 m B 且 m C m n 且 n D m n 且 答案 C解析 由线面垂直的判定定理，可知 C 正确6如图，在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )15答案 A解析 A 项，作如图所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中
25、点，则 QD AB. QD平面 MNQ Q， QD 与平面 MNQ 相交，直线 AB 与平面 MNQ 相交；B 项，作如图所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ， AB MQ，又 AB平面 MNQ， MQ平面 MNQ， AB平面 MNQ；C 项，作如图所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ， AB MQ，又 AB平面 MNQ， MQ平面 MNQ， AB平面 MNQ；D 项，作如图所示的辅助线，则 AB CD， CD NQ， AB NQ，又 AB平面 MNQ， NQ平面 MNQ， AB平面 MNQ.故选 A.7(2018杭州模拟)设 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面
26、，给出下列四个命题：若 m ， n ，则 m n；若 ， ， m ，则 m ；若 n， m n， m ，则 m ；16若 m ， n ， m n，则 .其中是真命题的是_(填序号)答案 解析 m n 或 m， n 异面，故错误；易知正确； m 或 m ，故错误； 或 与 相交，故错误8棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， M 是棱 AA1的中点，过 C， M， D1作正方体的截面，则截面的面积是_答案 92解析 由面面平行的性质知截面与面 AB1的交线 MN 是 AA1B 的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为 .929.如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1中
27、， AB2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上若 EF平面 AB1C，则线段 EF 的长度为_答案 2解析 在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB2， AC2 .2又 E 为 AD 中点， EF平面 AB1C， EF平面 ADC，平面 ADC平面 AB1C AC， EF AC， F 为 DC 中点， EF AC .12 210(2018金华模拟)如图所示，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， E， F， G， H 分别是棱CC1， C1D1， D1D， DC 的中点， N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 只需满足条件_时，就有 MN平
28、面 B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案 点 M 在线段 FH 上(或点 M 与点 H 重合)解析 连接 HN， FH， FN，则 FH DD1， HN BD，17平面 FHN平面 B1BDD1，只需 M FH，则 MN平面 FHN， MN平面 B1BDD1.11.如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形(1)证明：平面 A1BD平面 CD1B1；(2)若平面 ABCD平面 B1D1C直线 l，证明： B1D1 l.证明 (1)由题设知 BB1 DD1且 BB1 DD1，所以四边形 BB1D1D 是平行四边形，所以 BD B1
29、D1.又 BD平面 CD1B1， B1D1平面 CD1B1，所以 BD平面 CD1B1.因为 A1D1 B1C1 BC 且 A1D1 B1C1 BC，所以四边形 A1BCD1是平行四边形，所以 A1B D1C.又 A1B平面 CD1B1， D1C平面 CD1B1，所以 A1B平面 CD1B1.又因为 BD A1B B， BD， A1B平面 A1BD，所以平面 A1BD平面 CD1B1.(2)由(1)知平面 A1BD平面 CD1B1，又平面 ABCD平面 B1D1C l，平面 ABCD平面 A1BD BD，所以直线 l直线 BD，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，四边形 BDD1B1为平行
30、四边形，所以 B1D1 BD，所以 B1D1 l.12(2018绍兴模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，底面 ABCD 为梯形， AB CD， AB2 DC2 ，且 PAD 与 ABD 均为正三角形， E 为 AD 的中点， G 为 PAD3的重心18(1)求证： GF平面 PDC；(2)求三棱锥 GPCD 的体积(1)证明 连接 AG 并延长交 PD 于点 H，连接 CH.由梯形 ABCD 中， AB CD 且 AB2 DC 知， .AFFC 21又 E 为 AD 的中点， G 为 PAD 的重心， .AGGH 21在 AHC 中， ，故 GF HC.AGGH
31、AFFC 21又 HC平面 PCD， GF平面 PCD， GF平面 PDC.(2)解 方法一 由平面 PAD平面 ABCD， PAD 与 ABD 均为正三角形， E 为 AD 的中点，知 PE AD， BE AD，又平面 PAD平面 ABCD AD， PE平面 PAD， PE平面 ABCD，且 PE3，由(1)知 GF平面 PDC， V 三棱锥 GPCD V 三棱锥 FPCD V 三棱锥 PCDF PES CDF.13又由梯形 ABCD 中， AB CD，且 AB2 DC2 ，3知 DF BD ，13 233又 ABD 为正三角形，得 CDF ABD60，19 S CDF CDDFsin BD
32、C ，12 32得 V 三棱锥 PCDF PES CDF ，13 32三棱锥 GPCD 的体积为 .32方法二 由平面 PAD平面 ABCD， PAD 与 ABD 均为正三角形， E 为 AD 的中点，知PE AD， BE AD，又平面 PAD平面 ABCD AD， PE平面 PAD， PE平面 ABCD，且 PE3，连接 CE， PG PE，23 V 三棱锥 GPCD V 三棱锥 EPCD V 三棱锥 PCDE23 23 PES CDE，23 13又 ABD 为正三角形，得 EDC120，得 S CDE CDDEsin EDC .12 334 V 三棱锥 GPCD PES CDE23 13
33、3 ，23 13 334 32三棱锥 GPCD 的体积为 .3213.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1， E， F 是线段 B1D1上的两个动点，且 EF ，22则下列结论中错误的是( )A AC BFB三棱锥 A BEF 的体积为定值C EF平面 ABCD20D异面直线 AE， BF 所成的角为定值答案 D解析 ABCD A1B1C1D1为正方体，易证 AC平面 BDD1B1， BF平面 BDD1B1， AC BF，故 A 正确；对于选项 B， E， F， B 在平面 BDD1B1上， A 到平面 BEF 的距离为定值， EF ， B 到直线 EF 的距离为 1，22 B
34、EF 的面积为定值，三棱锥 A BEF 的体积为定值，故 B 正确；对于选项 C， EF BD， BD平面 ABCD， EF平面 ABCD， EF平面 ABCD，故 C 正确；对于选项 D，异面直线 AE， BF 所成的角不为定值，令上底面中心为 O，当 F 与 B1重合时， E与 O 重合，易知两异面直线所成的角是 A1AO，当 E 与 D1重合时，点 F 与 O 重合，连接BC1，易知两异面直线所成的角是 OBC1，可知这两个角不相等，故异面直线 AE， BF 所成的角不为定值，故 D 错误14.如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12， AB
35、1， M， N 分别在 AD1， BC 上移动，始终保持 MN平面 DCC1D1，设BN x， MN y，则函数 y f(x)的图象大致是( )答案 C解析 过 M 作 MQ DD1，交 AD 于点 Q，连接 QN.21 MQ平面 DCC1D1， DD1平面 DCC1D1， MQ平面 DCC1D1， MN平面 DCC1D1，MN MQ M，平面 MNQ平面 DCC1D1.又平面 ABCD 与平面 MNQ 和 DCC1D1分别交于 QN 和 DC， NQ DC，可得 QN CD AB1， AQ BN x， 2， MQ2 x.MQAQ DD1AD在 Rt MQN 中， MN2 MQ2 QN2，即
36、y24 x21， y24 x21( x0， y1)，函数 y f(x)的图象为焦点在 y 轴上的双曲线上支的一部分故选 C.15.如图，在三棱锥 S ABC 中， ABC 是边长为 6 的正三角形， SA SB SC10，平面 DEFH分别与 AB， BC， SC， SA 交于 D， E， F， H，且 D， E 分别是 AB， BC 的中点，如果直线 SB平面 DEFH，那么四边形 DEFH 的面积为( )A. B.452 4532C15 D45 3答案 C解析 取 AC 的中点 G，连接 SG， BG.22易知 SG AC， BG AC， SG BG G， SG， BG平面 SGB，故 A
37、C平面 SGB，所以 AC SB.因为 SB平面 DEFH， SB平面 SAB，平面 SAB平面 DEFH HD，则 SB HD.同理 SB FE.又 D， E 分别为 AB， BC 的中点，则 H， F 也为 AS， SC 的中点，从而得 HF AC 且 HF AC， DE AC 且 DE AC，12 12所以 HF DE 且 HF DE，所以四边形 DEFH 为平行四边形因为 AC SB， SB HD， DE AC，所以 DE HD，所以四边形 DEFH 为矩形，其面积 S HFHD 15.(12AC) (12SB)16.如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD，四边形 AB
38、CD 为直角梯形， AC 与 BD 相交于点 O， AD BC， AD AB， AB BC AP3，三棱锥 P ACD 的体积为 9.(1)求 AD 的值；(2)过点 O 的平面 平行于平面 PAB，平面 与棱 BC， AD， PD， PC 分别相交于点E， F， G， H，求截面 EFGH 的周长解 (1)在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD，四边形 ABCD 为直角梯形，AD BC， AD AB， AB BC AP3，所以 V 三棱锥 P ACD S ACDAP13 AP 9，解得 AD6.13 ABAD2 3AD2(2)方法一 由题意知平面 平面 PAB，平面 平面 ABCD
39、 EF，点 O 在 EF 上，平面PAB平面 ABCD AB，根据面面平行的性质定理，得 EF AB，同理 EH BP， FG AP.因为 BC AD，所以 BOC DOA，且 .BCAD COOA 36 1223因为 EF AB，所以 .CEBC OCAC 13又易知 BE AF， AD2 BC，所以 FD2 AF.因为 FG AP，所以 ， FG AP2.FGAP FDAD 23 23因为 EH BP，所以 ，EHPB ECBC 13所以 EH PB .13 2如图，作 HN BC， GM AD，HN PB N， GM PA M，则 HN GM， HN GM，所以四边形 GMNH 为平行四
40、边形，所以 GH MN，在 PMN 中，MN PN2 PM2 2PNPMcos MPN ，8 1 222cos45 5又 EF AB3，所以截面 EFGH 的周长为 EF FG GH EH32 5 .5 2 5 2方法二 因为平面 平面 PAB，平面 平面 ABCD EF，点 O 在 EF 上，平面 PAB平面ABCD AB，所以 EF AB，同理 EH BP， FG AP.因为 BC AD， AD6， BC3，所以 BOC DOA，且 ，BCAD COAO 12所以 ， CE CB1， BE AF2，EOOF 12 13同理 ，CHPC EHPB COCA 13如图，连接 HO，则 HO PA，24所以 HO EO， HO1，所以 EH PB ，13 2因为 AD BC，所以 .OCAO OBDO 12因为 EF AB，所以 .FDDA ODBD 23因为 FG AP，所以 ，FGAP FDDA 23所以 FG PA2，23过点 H 作 HN EF 交 FG 于点 N，则 GH ，HN2 GN2 5又 EF AB3，所以截面 EFGH 的周长为 EF FG GH EH32 5 .5 2 5 2
