1、1高考专题突破五 高考中的立体几何问题题型一 求空间几何体的表面积与体积例 1 (1)一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图和俯视图均为边长等于 2 的正方形，则这个几何体的表面积为( )A.164 B.1643 5C.204 D.2043 5答案 D解析 由三视图可知，该几何体是棱长为 2 的正方体的内部挖去一个底面边长为 2 的正四棱锥，将三视图还原可得如图，可得其表面积为 S52 24 2 204 ，故选 D.12 5 5(2)(2018浙江省嘉兴市第一中学期中)如图，已知 AB 为圆 O 的直径， C 为圆上一动点，PA圆 O 所在平面，且 PA AB
2、2，过点 A 作平面 PB，交 PB， PC 分别于 E， F，当三棱锥 P AEF 体积最大时，tan BAC_.2答案 2解析 PB平面 AEF， AF PB，又 AC BC， AP BC， AC AP A， AC， AP平面 PAC， BC平面 PAC，又 AF平面 PAC， AF BC，又 PB BC B， PB， BC平面 PBC， AF平面 PBC， AFE90，设 BAC ，在 Rt PAC 中，AF .APACPC 22cos21 cos2 2cos1 cos2在 Rt PAB 中， AE PE ， EF ，2 AE2 AF2 V 三棱锥 P AEF AFEFPE AF 13
3、12 16 2 AF2 2 26 2AF2 AF4 ，26 AF2 12 1 26当 AF1 时，三棱锥 P AEF 的体积取最大值 ，26此时 1，且 0二面角 AQRP 的平面角二面角 APRQ 的平面角，即 0).(1)证明： BC1平面 AB1D；(2)若直线 BC1与平面 ABB1A1所成角的大小为 ，求 h 的值. 6(1)证明 方法一 如图 1，连接 A1B，交 AB1于点 E，连接 DE，则 DE 是 A1BC1的中位线，图 1所以 DE BC1.又 DE平面 AB1D， BC1平面 AB1D，所以 BC1平面 AB1D.方法二 如图 2，取 AC 的中点 F，连接 BF， C
4、1F， DF.图 2因为 AF DC1，且 AF DC1，所以四边形 AFC1D 是平行四边形，故 AD FC1.又 FC1平面 BFC1， AD平面 BFC1，所以 AD平面 BFC1.因为 DF B1B，且 DF B1B，所以四边形 DFBB1是平行四边形，故 DB1 FB.又 FB平面 BFC1， DB1平面 BFC1，所以 DB1平面 BFC1.20又 AD DB1 D， AD， DB1平面 ADB1，所以平面 ADB1平面 BFC1.又 BC1平面 BFC1，故 BC1平面 AB1D.(2)解 方法一 取 A1B1的中点 H，连接 C1H， BH.因为 A1B1C1与 ABC 都是正
5、三角形，所以 C1H A1B1.在直三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ABB1A1平面 A1B1C1，平面 ABB1A1平面 A1B1C1 A1B1，又 C1H平面 A1B1C1，故 C1H平面 ABB1A1.所以 C1BH 就是 BC1与平面 ABB1A1所成的角，即 C1BH . 6在 Rt C1BH 中， BC12 HC12 ，3在 Rt BCC1中， BC1 .BC2 CC21 h2 4所以 2 ，解得 h2 .h2 4 3 2方法二 以 AB 的中点 O 为坐标原点， OB， OC 所在直线分别为 x 轴， y 轴，过点 O 且与平面ABC 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系
6、，如图 3 所示，图 3则 B(1，0，0)， C1(0， ， h).3易得平面 ABB1A1的一个法向量为 n(0，1，0).又 (1， ， h)，BC1 3所以 sin |cos ， n| ， 6 BC1 |BC1 n|BC1 |n|即 ，解得 h2 .3h2 4 12 213.(2018绍兴市适应性考试)如图，在 ABC 中， ACB90， CAB ， M 为 AB 的中21点.将 ACM 沿着 CM 翻折至 A CM，使得 A M MB，则 的取值不可能为( )A. B. C. D. 9 6 5 3答案 A解析 如图，设点 A在平面 BMC 上的射影为 A，则由题意知，点 A在直线 C
7、M 的垂线 A A上.要使 A M MB，则 A M MB，所以只需考虑其临界情况，即当 A M MB 时，点 A 与点 A关于直线 CM 对称，所以 AMD A MD BMC ，又 AM MC，所以 AMC 是以 MAC 为底角的等腰三角形，所 4以 CAM MCA2 ，所以 .因此当 时，有 A M MB，所以 的取值 4 8 8不可能为 ，故选 A. 914.(2018温州高考适应性测试)已知线段 AB 垂直于定圆所在的平面， B， C 是圆上的两点，H 是点 B 在 AC 上的射影，当 C 运动时，点 H 运动的轨迹( )A.是圆B.是椭圆C.是抛物线D.不是平面图形答案 A解析 设在
8、定圆内过点 B 的直径与圆的另一个交点为点 D，过点 B 作 AD 的垂线，垂足为点E，连接 EH， CD.因为 BD 为定圆的直径，所以 CD BC，又因为 AB 垂直于定圆所在的平面，22所以 CD AB，又因为 AB BC B，所以 CD平面 ABC，所以 CD BH，又因为BH AC， AC CD C，所以 BH平面 ACD，所以 BH EH，所以动点 H 在以 BE 为直径的圆上，即点 H 的运动轨迹为圆，故选 A.15.(2018浙江省镇海中学模拟)已知直三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为 6，且底面是边长为2 的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱 AA1， BB1， CC1分别
9、交于三点 M， N， Q，若 MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( )A.2B.4C.2 D.22 3答案 D解析 取 D， D1分别为 AC， A1C1的中点，连接 DD1， DB，根据题意以 D 为原点， DB， DC， DD1所在直线分别为 x， y， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，点 M 在侧棱 AA1上，设 M(0，1， a)，点 N 在 BB1上，设 N( ，0， b)，点 Q 在 CC1上，设3Q(0，1， c)，不妨设 cba，则 ( ，1， b a)， ( ，1， b c).因为 MNQ 为MN 3 QN 3直角三角形，由 cba，得 MNQ 为直角，
10、所以 0，即( b a)(b c)20，斜边MN QN MQ 2 ，当且仅4 a c2 4 a b b c2 4 4a bb c 4 42 3当 a b b c 时取等号，故选 D.16.已知三棱锥 P ABC 中，点 P 在底面 ABC 上的投影正好在等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB上(不包含两端点)，点 P 到底面 ABC 的距离等于等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 的长.设平面PAC 与底面 ABC 所成的角为 ，平面 PBC 与底面 ABC 所成的角为 ，则 tan( )的最小值为_.答案 427解析 设点 P 在底面 ABC 上的投影为 H，连接 PH，则 PH平面 ABC.过 H 作 HM AC 于M， HN BC 于 N，连接 PM， PN，则 PMH， PNH.设 AC BC1， AH t(0t )，223则 PH AB .因为 ABC 为等腰直角三角形，所以 MH AHsin45 ， NH BHsin4522t2 ，所以 tan ，tan ，22 t2 PHMH 222t 2t PHNH 2222 t 22 t所以 tan( ) .tan tan1 tan tan2t 22 t1 2t 22 t 22t2 2t 422(t 22)2 72因为 0t ，所以当 t 时，tan( )取得最小值，最小值为 .222 427
