1、1262 二次函数的图象与性质2二次函数 yax 2bxc 的图象与性质第 5课时 二次函数最值的应用知|识|目|标1经过阅读、探究、讨论交流，能列出几何图形中两个变量之间的二次函数关系，并求出其最大值或最小值2在理解二次函数性质的基础上，通过对具体问题的分析、操作，能用二次函数知识求出实际问题中的最值3通过对实际问题中二次函数图象的绘制、观察与分析，能求出自变量取值受限制的二次函数的最值目标一 能用二次函数模型解决几何图形中的最值例 1 教材补充例题 如图 2624，在 Rt ABC中， C90， BC4， AC8，点 D在斜边 AB上，过点 D作 DE AC， DF BC，垂足分别为 E，
2、 F，得到四边形 DECF，设DE x， DF y.(1)用含 y的代数式表示 AE；(2)求 y与 x之间的函数关系式，并求出 x的取值范围；(3)设四边形 DECF的面积为 S，求 S与 x之间的函数关系式，并求出 S的最大值图 26242【归纳总结】用二次函数模型解决几何最值问题的 “三部曲”：(1)认真审题，联想几何图形的性质(包括图形面积、体积、周长，以及等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形的性质等)；(2)用已知条件和图形的性质列出问题中两个变量之间的二次函数关系式；(3)根据二次函数的性质求出所列关系式的最值，从而解决原问题目标二 能用二次函数模型解决实际问题中的最值例
3、 2 高频考题 某杂技团用 68米长的幕布围成一个矩形临时场地，并留出 2米作为出入口，设矩形的长为 x米，面积为 y平方米(1)求 y与 x之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)由于表演需要，矩形的长不小于 18 米，求能围成的矩形的最大面积【归纳总结】用二次函数求实际问题中的最值：(1)在实际问题中，列出函数关系式后，一般要考虑自变量的取值范围；(2)先确定二次函数图象的顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内，再应用二次函数的性质确定最值目标三 能求自变量的取值受限制的二次函数的最值例 3 教材补充例题 (1)已知 0 x1，那么函数 y2 x28 x6 的最大值是( )A6
4、 B0 C2 D4(2)函数 y x22 x3(2 x2)的最大值和最小值分别是( )A4 和3 B3 和4C5 和4 D1 和4【归纳总结】确定自变量的取值受限制的二次函数的最值：(1)根据函数关系式求最值：当自变量在某个范围内取值时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，并结合自变量的取值范围，从而得出最值(2)根据图象求最值：可以画出此函数完整的图象(虚线)，将在自变量的取值范围内的部分画成实线，函数在实线的最高点处取得最大值，在最低点处取得最小值知识点 二次函数 yax 2bxc 的最值3(1)二次函数 yax 2bxc 的最值有两种求法：配方法：将 yax 2bxc 配
5、方后整理为 ya ，则顶点坐标为 ，可知当 x_时，函数(xb2a)2 4ac b24a ( b2a， 4ac b24a )取得最值，y 最值 _；公式法：二次函数 yax 2bxc 在 x 时取得最值，b2ay 最值 _(2)如果自变量的取值范围受限制，即 x1xx 2，那么首先要看 是否在自变量的取值范b2a围内，若在此范围内，则当 x 时，y 有最大值或最小值为_；若 不在自变b2a b2a量的取值范围内，则需考虑函数在 x1xx 2范围内函数值的变化情况，如果 y随 x的增大而增大，则当 x_时，y 取得最大值，当 x_时，y 取得最小值而这种最大值、最小值的计算只需把自变量的取值代入
6、关系式中就可以求得某水果超市销售进价为 40元/箱的苹果，按照物价部门规定，该种苹果每箱售价不得高于55元，经市场调查发现，若每箱以 50元的价格销售，平均每天销售 90箱，价格每提高 1元，平均每天少销售 3箱求销售该苹果每天能获得的最大利润是多少解：设销售该苹果每天获得的利润为 y元，每箱苹果的售价为 x元，则 y(x40)903(x50)3x 2360x96003(x60) 21200.a30，抛物线开口向下，y 有最大值，最大值为 1200，销售该苹果每天能获得的最大利润是 1200元上面的解答过程正确吗？如果不正确，错在哪里？请你写出正确的解答过程4教师详解详析【目标突破】例 1 解
7、：(1)由题意可知，四边形 DECF为矩形，因此 AEACECACDF8y.(2)由 DEAC，C90得 DEBC，所以 ，即 ，DEBC AEAC x4 8 y8所以 y82x，x 的取值范围是 0x4.(3)Sxyx(82x)2x 28x2(x2) 28，当 x2 时，S 有最大值 8.例 2 解析 先列出函数关系式，再用配方法求最值解：(1)由矩形的长为 x米，可知矩形的宽为 (682)x(35x)米，12y(35x)xx 235x.(2)由于矩形的长不小于 18米，故 18x35.yx 235x(x17.5) 2306.25，当x17.5时，y 随 x的增大而减小，当 x18 时，y
8、有最大值，为18 23518306，能围成的矩形的最大面积为 306平方米例 3 解析 (1) B (2) C(1)y2x 28x62(x2) 22.该抛物线的对称轴是直线 x2，且当 x2 时，y 随 x的增大而增大又0x1，当 x1 时，y 取得最大值，y 最大值 2(12) 220.(2)先将一般式化为顶点式就可以求出最小值，再根据函数的增减性及自变量的取值范围就可以求出最大值yx 22x3(x1) 24(2x2)，抛物线的对称轴为直线 x1，当 x1 时，y 有最小值4.2x2，当 x2 时，y 有最大值 5.当2x2 时，函数的最大值为 5，最小值为4.【总结反思】小结 知识点 (1) (2) x 2 x 1b2a 4ac b24a 4ac b24a 4ac b24a反思 不正确，忽略了自变量的取值范围正解：设销售该苹果每天获得的利润为 y元，每箱苹果的售价为 x元，则 y(x40)903(x50)3x 2360x96003(x60) 21200.a30，抛物线开口向下，当 x60 时，y 随 x的增大而增大物价部门规定，该种苹果每箱售价不得高于 55元，当 x55 时，y 取得最大值，最大值为 1125，销售该苹果每天能获得的最大利润是1125元
