1、1第三章 函数的应用周练卷(六)(时间:90 分钟 满分:120 分)【选题明细表】 知识点、方法 题号方程的根或函数零点个数及应用 8,10,12,13,16,17函数零点所在的区间 1,2,9二分法求方程根的近似值 7,15几类不同增长的函数模型 5,6函数模型 3,4,11,14,18,19,20一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)1.函数 f(x)=log2x+x-2 的零点所在的区间是( B )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:函数 f(x)=log2x+x-2 在(0,+)上连续,f(1)=0+1-20,故函数 f(x)=log2x+
2、x-2 的零点所在的区间是(1,2).故选 B.2.设 x0是函数 f(x)=ln x+x-4 的零点,则 x0所在的区间为( C )(A)(0,1) (B)(1,2)(C)(2,3) (D)(3,4)解析:因为 f(2)=ln 2+2-4=ln 2-2ln e-1=0,f(2)f(3) = 21.8,又 nN *,所以 n21.故选 C.5.若 x(0,1),则下列结论正确的是( A )2(A)2x lg x (B)2xlg x(C) 2xlg x (D)lg x 2x解析:取 x= ,则 lg 1.所以 2x lg x.故选 A.6.某商场一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,下
3、列四个函数中,能较准确反映商场月销售额 f(x)与月份 x 关系且满足 f(1)=8,f(3)=2 的函数为( D )(A)f(x)=20( )x(B)f(x)=-6log3x+8(C)f(x)=x2-12x+19(D)f(x)=x2-7x+14解析:A.f(x)=20( )x为减函数,不满足条件先下降后上升的趋势;B.f(x)=-6log3x+8 为减函数,不满足条件先下降后上升的趋势;C.f(x)=x2-12x+19 满足销售额先下降后上升的趋势,f(1)=1-12+19=8,f(3)=9-123+19=-8,不满足条件 f(3)=2;D.f(x)=x2-7x+14 满足销售额先下降后上升
4、的趋势,f(1)=1-7+14=8,f(3)=9-73+14=2,满足条件.故满足条件的函数为 f(x)=x2-7x+14.7.某方程在区间 D=(2,4)内有一无理根,若用二分法求此根的近似值,要使所得近似值的精确度达到 0.1,则应将 D 等分( D )(A)2 次 (B)3 次 (C)4 次 (D)5 次解析:等分 1 次,区间长度为 1,等分 2 次区间长度为 0.5,等分 4 次,区间长度为 0.125,等分 5 次,区间长度为 0.062 50 (B)a0 (C)a0 (D)aln e-1=0.所以 f(x)的零点在(e-1,2)内.故选 C.310.函数 f(x)= 的零点有(
5、A )(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个解析:由 =0 解得 x=1 或 x=3.由 解得 x2 且 x3.所以 f(x)的定义域为x|x2 且 x3.又 1x|x2 且 x3,3x|x2 且 x3,所以函数 f(x)没有零点.故选 A.11.如表显示出函数 y 随自变量 x 变化的一组数据,由此可判断它最可能的函数模型为( C )x -2 -1 0 1 2 3y 0.26 1.11 3.96 16.05 63.98(A)一次函数模型 (B)二次函数模型(C)指数函数模型 (D)对数函数模型解析:由表格可知,无论 x0,都有 y0,且随着 x 增大,y 增大速度变快,故最有
6、可能的是指数函数模型.设 y=f(x)=cax(a0 且 a1),由解得所以 f(x)=4x.验证:f(-1)=4 -1=0.25 接近 0.26,f(0)=1 接近 1.11,f(1)=4 接近 3.96,f(3)=43=64 接近 63.98.由上面验证可知,取函数 f(x)=4x与所给表格拟合的较好.故选 C.12.已知函数 f(x)= 则函数 y=ff(x)+1 的零点个数是( A )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:由函数 f(x)=可得 y=ff(x)+1=由 y=0故函数 y=ff(x)+1 共 4 个零点,选 A.4二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)13.函数
7、 f(x)= 的零点个数是 . 解析:当 x0 时,令 x2-2=0,解得 x=- (正根舍去),所以在(-,0上有一个零点.当 x0 时,f(x)在(0,+)上是增函数.又因为 f(2)=-2+ln 20,f(2)f(3)0).又因为 f(x)=x+ 在(0,2上是减函数,在2,+)上是增函数.所以当 x=2 时,x+ 取得最小值 4,此时 y 取得最小值 4004+800=2 400.所以该容器的最低总造价为 2 400 元.答案:2 400 元15.根据下表,用二分法求函数 f(x)=x3-3x+1 在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度 0.1)是 . f(1)=-1 f(2)=3
8、f(1.5)=-0.125f(1.75)=1.109 375f(1.625)=0.416 015 625f(1.562 5)=0.127 197 265解析:由表中数据知 f(1.5)f(2)5 的解集;(2)若方程 f(x)- =0 有三个不同实数根,求实数 m 的取值范围.解:(1)当 x0 时,由 x+65,得-10 时,由 x2-2x+25,得 x3.综上所述,不等式的解集为(-1,0(3,+).(2)方程 f(x)- =0 有三个不同实数根,等价于函数 y=f(x)与函数 y= 的图象有三个不同的交点.由图可知,1 2,解得-2m- 或 m2.所以实数 m 的取值范围为(-2,- )
9、( ,2).18.(本小题满分 10 分)某地区西红柿从 2 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿的种植成本 Q(单位:元/100 kg)与上市时间 t(距 2 月 1 日的天数,单位:天)的数据如下表:时间 t 50 110 250成本 Q 150 108 150(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系,Q=at+b,Q=at 2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt(简单说明理由),并求出你所选函数的表达式;(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.解:(1)由表中数据可知,随着时间 t 的增
10、大,种植成本 Q 先减后增,在给出的函数中Q=at+b,Q=abt,Q=alogbt 都是单调函数,都不适合描述 Q 与 t 的变化关系,所以应选择Q=at2+bt+c 描述 Q 与 t 的变化关系.由 解得6所以 Q= t2- t+ (tN *).(2)由(1)知,Q= (t-150)2+100.所以当 t=150 时,Q 取得最小值 100.于是,西红柿种植成本最低时上市天数为 150 天,最低种植成本为 100 元/100 kg.19.(本小题满分 12 分)一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境
11、,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 .(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?解:(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0x1),则 a(1-x)10= a,即(1-x) 10= ,解得 x=1-( ) .(2)设经过 m 年,森林剩余面积为原来的 ,则 a(1-x)m= a,即( ) =( ) , = ,解得 m=5,故到今年为止,该森林已砍伐了 5 年.20.(本小题满分 10 分)某上市股票在 30 天内每股交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上,该股票在 30 天内的日交易
12、量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如下表所示:第 t 天 4 10 16 22Q(万股) 36 30 24 18(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系式;7(2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式;(3)用 y 表示该股票日交易额(万元),写出 y 关于 t 的函数关系式,并求在这 30 天中第几天日交易额最大,最大值是多少?解:(1)由题中图象知,前 20 天满足的是递增的直线方程,且过两点(0,2),(20,6),易求得直线方程为 P= t+2;从 20 天到 30 天满足递减的直线方程,且过两点(20,6),(30,5),求得方程为 P=- t+8,故每股交易价格 P(元)与时间 t(元)所满足的函数关系式为P=(2)由题中图表,易知 Q 与 t 满足一次函数关系,即 Q=-t+40,0t30,tN.(3)由(1)(2)可知y=即 y=当 0t20,t=15 时,y max=125,当 20t30,y 随 t 的增大而减小,y120,所以在 30 天中的第 15 天,日交易额最大,最大值为 125 万 元.
