1、14.1.2 圆的一般方程【选题明细表】 知识点、方法 题号圆的一般方程 1,3,4,5,8,10轨迹问题 2,12圆的一般方程的应用 6,7,9,11,131.(2018陕西延安期末)已知点 P(2,1)在圆 C:x2+y2+ax-2y+b=0 上,点 P 关于直线 x+y-1=0的对称点也在圆 C 上,则圆 C 的圆心坐标为( A )(A)(0,1) (B)(1,0)(C)(2,1) (D)(1,2)解析:由题意圆心 C(- ,1)在直线 x+y-1=0 上,从而有- +1-1=0,所以 a=0,所以圆 C 的圆心坐标为(0,1),故选 A.2.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如
2、果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于( B )(A) (B)4 (C)8 (D)9解析:设动点 P 坐标为(x,y),则由|PA|=2|PB|,知 =2 ,化简得(x-2) 2+y2=4,得轨迹为以(2,0)为圆心,以 2 为半径的圆,该圆的面积为 4.3.原点必位于圆 x2+y2-2ax-2y+(a-1)2=0(a1)的( C )(A)内部 (B)圆周上(C)外部 (D)均有可能解析:因为 02+02-2a0-20+(a-1)2=(a-1)20,所以原点在圆的外部.4.已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且与直线 3x+4y+4=0 相切,则
3、圆的方程是( A )(A)x2+y2-4x=0 (B)x2+y2+4x=0(C)x2+y2-2x-3=0 (D)x2+y2+2x-3=0解析:设圆心为 C(m,0)(m0),因为所求圆与直线 3x+4y+4=0 相切,所以 =2,整理,得|3m+4|=10,解得 m=2 或 m=- (舍去),故所求圆的方程为(x-2) 2+y2=4,即 x2+y2-4x=0,故选 A.5.在平面直角坐标系内,若曲线 C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0 上所有的点均在第二象限内,则实数 a 的取值范围为( C )2(A)(-,-2) (B)(-,-1)(C)(2,+) (D)(1,+)解析:曲线 C
4、 的方程可化为(x+a) 2+(y-2a)2=4,它表示以(-a,2a)为圆心,2 为半径的圆,又曲线 C 上所有的点均在第二象限内,所以 解得 a2,故选 C.6.若直线 l:ax+by+1=0 始终平分圆 M:x2+y2+4x+2y+1=0 的周长,则(a-2) 2+(b-2)2的最小值为 .解析:圆 M 的圆心为(-2,-1),由题意知,点 M 在直线 l 上,所以-2a-b+1=0,所以 b=-2a+1,所以(a-2) 2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+55.答案:57.(2018山东临沂二模)已知圆 x2+y2-2x-8y+1=0 的圆心到直线 ax-y+
5、1=0 的距离为 1,则a= . 解析:圆 x2+y2-2x-8y+1=0 的圆心 C(1,4),因为圆 x2+y2-2x-8y+1=0 的圆心到直线 ax-y+1=0 的距离为 1,所以 d= =1,解得 a= .答案:8.一个等腰三角形底边上的高等于 5,底边两端点的坐标分别是(-4,0),(4,0),求它的外接圆的方程.解:由题意得,等腰三角形顶点的坐标为(0,5)或(0,-5).当顶点坐标为(0,5)时,设三角形外接圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得所以圆的方程为 x2+y2- y-16=0.当顶点坐标是(0,-5)时,同理可得圆的方程为 x2+y2+ y-16=0.综
6、上,它的外接圆的方程为x2+y2- y-16=0 或 x2+y2+ y-16=0.9.若圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 关于直线 l1:x-y+4=0 和直线 l2:x+3y=0 都对称,则 D+E 的值为( D )(A)-4 (B)-2 (C)2 (D)4解析:由题知直线 l1,l2过已知圆的圆心,3所以所以所以 D+E=4.10.(2018天津南开区模拟)圆心在 y 轴上,且过点(3,1)的圆与 x 轴相切,则该圆的方程是( B )(A)x2+y2+10y=0 (B)x2+y2-10y=0(C)x2+y2+10x=0 (D)x2+y2-10x=0解析:圆心在 y 轴上且过点(3,1)的
7、圆与 x 轴相切,设圆的圆心为(0,r),半径为 r.则=r.解得 r=5,所求圆的方程为:x 2+(y-5)2=25,即 x2+y2-10y=0.故选 B.11.(2018北京朝阳区一模)已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x+2y=0 上任意一点,则ABC 面积的最小值是 . 解析:圆 x2+y2-2x+2y=0 化为(x 2-2x+1)+(y2+2y+1)=2,即(x-1) 2+(y+1)2=2,由题意即为在圆上找一点到线段 AB 的距离最小即可,kAB= =1,直线 AB:y-2=x,所以线段 AB:y=x+2(-2x0),圆心(1,-1)到其距离 d=
8、 =2 ,所以圆上某点到线段 AB 的距离最小值为 2 - = ,因为|AB|= =2 ,所以 SABCmin = |AB| = 2 =2.答案:212.设定点 M(-3,4),动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动,以 OM,ON 为两边作平行四边形 MONP,求点P 的轨迹.解:如图所示,设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为( , ),线段 MN 的中点坐标为( , ).由于平行四边形的对角线互相平分,4故 = , = ,从而又点 N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3) 2+(y-4)2=4.当点 P 在直线 OM 上时,有 x=- ,y= 或 x=- ,y=
9、因此所求轨迹为圆(x+3) 2+(y-4)2=4,除去点(- , )和点(- , ).13.已知曲线 C:(1+a)x2+(1+a)y2-4x+8ay=0.(1)当 a 取何值时,方程表示圆;(2)求证:不论 a 为何值,曲线 C 必过两定点;(3)当曲线 C 表示圆时,求圆面积最小时 a 的值.(1)解:当 a=-1 时,方程为 x+2y=0,为一条直线;当 a-1 时,(x- )2+(y+ )2= 表示圆.(2)证明:方程变形为 x2+y2-4x+a(x2+y2+8y)=0.令解得 或故 C 过定点 A(0,0),B( ,- ).(3)解:因为圆恒过点 A,B,所以以 AB 为直径的圆面积最小.则圆心为( ,- ).所以 = ,解得 a= .
