1、1考点 61 空间两点间的距离公式要点阐述在空间直角坐标系中，给定两点 P1(x1， y1， z1)， P2(x2， y2， z2)，则 d(P1， P2)，(x2 x1)2+(y2 y1)2+(z2 z1)2特别地，设点 A(x， y， z)，则 A 点到原点 O 的距离为 d(O， A) x2 y2 z2典型例题【例】已知 A（2，1，1） ， B（1，1，2） ， C（2，0，1） ，则下列说法正确的是（ ）A A， B， C 三点可构成直角三角形B A， B， C 三点可构成锐角三角形C A， B， C 三点可构成钝角三角形D A， B， C 三点不能构成任何三角形【答案】A【解题策略
2、】已知空间中三点的坐标，判断三角形的形状，可以利用空间两点间的距离公式求出三边长，从三边的关系上考虑问题小试牛刀1空间直角坐标系中，点 A（3，4，0）与点 B（ x，1，6）的距离为 86，则 x等于（ ）A2 B8C2 或8 D8 或2【答案】C【解析】由 22213460()(-)(-)，得 235x， 28x或 2【思想方法】空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想2已知 1At， ，()， 2Bt， ，()，则 AB的最小值为（ ）A 5 B 5C 3 D 1【答案】C3点 P（ a， b， c
3、）到坐标平面 xOz的距离是（ ）A 2 B aC b D c【答案】C【解析】点 P（ a， b， c）在平面 xOz上的射影为 0Pac， ，()， Pb4在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，若 D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线 AC1的长为( )A9 B 29C5 D2 6【答案】B【解析】由已知求得 C1(0,2,3)，|AC 1| 295已知 A(3,5，7)， B(2,4,3)，则线段 AB 在 yOz 平面上的射影长为_【答案】 101【解析】点 A(3,5，7)， B(2,4,3)在 yOz 平面上的射影分别为 A(0,5
4、，7)， B(0,4,3)，线段 AB 在 yOz 平面上的射影长| A B| 222(0)(45)(37) 1016 如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，| AB| AD|3，| AA1|2，点 M 在 A1C1上，|MC1|2| A1M|， N 在 D1C 上且为 D1C 中点，求 M， N 两点间的距离3【规律总结】求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立合适的坐标系，确定两点的坐标，确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定考题速递1 点 P（ x， y， z）满
5、足 2，则点 P 在（ ）(x 1)2 (y 1)2 (z 1)2A以点（1，1，1）为球心，以 为半径的球面上2B以点（1，1，1）为中心，以 为棱长的正方体内2C以点（1，1，1）为球心，以 2 为半径的球面上D无法确定【答案】C【解析】 P 满足到定点（1，1，1）的距离为 22 与两点 A（3，4，5） ， B（2，3，0）的距离相等的点 M（ x， y， z）满足的条件是（ ）4A 102370xyzB 5C 10370xyzD 2【答案】A【解析】由 MAB，即 222223453xyzxyz()()()()()化简得 10270xyz，故选 A3 在空间直角坐标系中，已知点 A(
6、1,0,2)， B(1，3,1)，点 M 在 y 轴上，且点 M 到点 A， B 的距离相等，则点 M 的坐标是_【答案】(0，1,0)【解析】因为点 M 在 y 轴上，所以可设点 M 的坐标为(0， y,0)由| MA| MB|，得(01) 2( y0)2(02) 2(01) 2( y3) 2(01) 2，整理得 6y60，解得 y1，即点 M 的坐标为(0，1,0)4在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在 x 轴上求一点 P，使它与点 P0(4,1,2)的距离为 ；30（2）在 xOy 平面内的直线 x y1 上确定一点 M，使它到点 N(6,5,1)的距离最短55试在坐标平面 yOz 内的直线 2y z1 上确定一点 P，使 P 到 Q(1,0,4)的距离最小【解析】因为 P 在 yOz 平面内，且 P 在直线 2y z1 上，所以可设 P(0， y,2y1)，由两点间的距离公式得|PQ| 2(01)()(14)y 5y2 20y 26 5 y 2 2 6显然当 y2 时，| PQ|取最小值 ，这时 P 点坐标为(0,2,3)6数学文化三维空间三维空间中两点间的距离
