1、1第 5 课时 解直角三角形的实际应用类型一 母子型1. (2017 邵阳)如图所示，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火箭到达 A 点时，从位于地面 R 处的雷达测得 AR 的距离是 40km，仰角是 30.n 秒后，火箭到达 B 点，此时仰角是 45，则火箭在这 n 秒中上升的高度是_km.第 1 题图2. (2017 新疆建设兵团)如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离 BC 为 30 m，在 A 点测得 D 点的仰角 EAD 为 45，在 B 点测得 D 点的仰角 CBD 为 60.求这两座建筑物的高度(结果保留根号)第 2 题图3. (2017 潍坊)如图，某数学兴趣小组要
2、测量一栋五层居民楼 CD 的高度该楼底层为车库，高 2.5 米；上面五层居住，每层高度相等测角仪支架离地 1.5 米，在 A 处测得五楼顶部点 D 的仰角为 60，在 B 处测得四楼顶部点 E 的仰角为 30， AB14 米求居民楼的高度(精确到 0.1 米参考数据： 1.73)32第 3 题图4. 如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的信号塔 PQ 的高度，他们在 A 处测得信号塔顶端 P 的仰角是 45，信号塔底端点 Q 的仰角为 31，沿水平地面向前走 100 米到 B处，测得信号塔顶端 P 的仰角是 68，求信号塔 PQ 的高度(结果精确到 0.1 米，参考数据： sin680.93，
3、 cos680.37， tan682.48， sin310.52， cos310.86， tan310.60)第 4 题图5. (2017 黄冈)在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌 ABCD(如图所示)已知标语牌的高 AB5 m，在地面的点 E 处，测得标语牌点 A 的仰角为 30，在地面的点 F 处，测得标语牌点 A 的仰角为 75，且点 E， F， B， C 在同一直线上，求点 E 与点F 之间的距离(计算结果精确到 0.1 米，参考数据： 1.41， 1.73)2 33第 5 题图6. (2017 株洲)如图，一架水平飞行的无人机 AB 的尾端点 A 测得正前方的桥的左端
4、点P 的俯角为 ，其中 tan 2 ，无人机的飞行高度 AH 为 500 米，桥的长度为 12553 3米(1)求点 H 到桥左端点 P 的距离；(2)若无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30，求这架无人机的长度第 6 题图类型二 背靠背型7. (2016 长沙)如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为 30，看这栋楼底部 C 处的俯角为 60，热气球 A 与楼的水平距离为 120 m，这栋楼的高度为( )A. 160 m B. 120 m3 3C. 300 m D. 160 m24第 7 题图8. 如图，水库大坝的横断面为四边形 ABCD，
5、其中 AD BC，坝顶 BC10 米，坝高 20米，斜坡 AB 的坡度 i12.5，斜坡 CD 的坡角为 30.求坝底 AD 的长度(结果精确到 1米，参考数据： 1.73)3第 8 题图9. (2017 南京)如图，港口 B 位于港口 A 的南偏东 37方向，灯塔 C 恰好在 AB 的中点处，一艘海轮位于港口 A 的正南方向，港口 B 的正西方向的 D 处，它沿正北方向航行 5 km到达 E 处，测得灯塔 C 在北偏东 45方向上，这时， E 处距离港口 A 有多远？(参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75)第 9 题图10. (2016 达州)如图，在一条笔直
6、的东西向海岸线 l 上有一长为 1.5 km 的码头 MN 和灯塔 C，灯塔 C 距码头的东端 N 有 20 km.一轮船以 36 km/h 的速度航行，上午 1000 在 A处测得灯塔 C 位于轮船的北偏西 30方向，上午 1040 在 B 处测得灯塔 C 位于轮船的北5偏东 60方向，且与灯塔 C 相距 12 km.(1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线 l?(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由(参考数据： 1.4，21.7)3第 10 题图类型三 其他类型11. (2017 山西)如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度 AB，其中一名小组成员站在距离树 10
7、米的点 E 处，测得树顶 A 的仰角为 54.已知测角仪的架高 CE1.5 米，则这棵树的高度为_米(结果保留一位小数参考数据：sin540.8090，cos540.5878，tan541.3764)第 11 题图12. (2017 常德)图，分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座 BC0.60米，底座 BC 与支架 AC 所成的角 ACB75，支架 AF 的长为 2.50 米，篮板顶端 F 点到篮框 D 的距离 FD1.35 米，篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角 FHE60，求篮框 D 到地面的距离(精确到 0.01 米)(参考数据：cos750.2588，sin750.965
8、9，tan753.732， 1.732， 1.414)3 26第 12 题图13. (2017 黔东南州)如图，某校教学楼 AB 后方有一斜坡，已知斜坡 CD 的长为 12 米，坡角 为 60，根据有关部门的规定， 39时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡 CD 进行改造，在保持坡脚 C 不动的情况下，学校至少要把坡顶 D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin390.63，cos390.78，tan390.81， 1.41， 1.73， 2.24)2 3 5第 13 题图7答案1. 20 20 【解析】由题意知， ARL30， BRL45，
9、AR40，在 Rt3ALR 中， AL ARsin3040 20 km，由勾股定理得 RL 20 km，在12 AR2 AL2 3Rt BLR 中， BRL45， BL RL20 km， AB BL AL(20 20) km，即火3 3箭上升的高度是(20 20) km.32. 解：如解图，延长 AE 交 DC 于点 F，则 AF DC，第 2 题解图在 Rt ADF 中， DAF45， AF BC30 m， DF AF30 m，在 Rt BCD 中， DBC60， DC BCtan6030 m，3 AB FC DC DF(30 30) m.3答：甲建筑物的高度为(30 30)m，乙建筑物的高
10、度为 30 m.3 33. 解：由题意知 AB AB14 米，DAC60， EB C30， MC2.5 米， CC1.5 米，8 MC1 米，设每层楼的高度为 x 米，则 DC(5 x1)米， EC(4 x1)米，在 Rt DCA 中， DAC 60， AC 米，DCtan605x 13 53x 33在 Rt EC B中， EB C30， BC (4 x )米，ECtan304x 133 3 3 BC AC AB ，即 4 x 14，3 353x 33解得 x2 ，327 CD5 x2.55(2 )2.518.4(米)327答：居民楼的高度约为 18.4 米4. 解：如解图，延长 PQ 交直线
11、 AB 于点 M，第 4 题解图则 PMA90，设 PM 的长为 x，在 Rt PAM 中， PAM45， AM PM x，又 AB100 米， BM( x100)米，9在 Rt PBM 中， tan PBM ，PMBMtan68 2.48，xx 100解得 x167.57，即 AM PM167.57(米)，在 Rt QAM 中，QM AMtan QAM167.57tan31167.570.60100.54(米)， PQ PM QM167.57100.5467.0(米)答：信号塔 PQ 的高度约为 67.0 米5. 解：如解图，过点 F 作 FM AE 于点 M. AFB75， E30， EA
12、F45， AM MF，在 Rt ABE 中， AB5 m，E30， AE 2AB10 m，设 AM MF x，则 EF2 x， EM x，3又 AE AM EM，10 x x，解得 x5( 1)，3 3 EF2 x10( 1)10(1.731)7.3 m.3答：点 E 与点 F 之间的距离约为 7.3 m.第 5 题解图6. 解：(1)tan APHtan 2 ，3 2 ，AHHP 3又 AH500 ，310 HP250，答：点 H 到桥左端点 P 的距离为 250 米；(2)如解图，设 HA、 QB 的延长线交于点 M，第 6 题解图 HQ HP PQ25012551505， BQH30，
13、MH HQtan301505 (米)，33 150533 MA MH AH (米)，533又在 Rt ABM 中， MBA30， AB MA5(米)MAtan30 3答：这架无人机的长度为 5 米7. A 【解析】如解图，设过点 A 垂直于 BC 的直线与 BC 的交点为 D， AD120 m， BAD30， CAD60，则 BD ADtan BAD120tan3040 3m， CD ADtan CAD120tan60120 m，BC BD CD160 m.3 3第 7 题解图8. 解：如解图，过点 B 作 BE AD 于点 E，过点 C 作 CF AD 于点 F，则四边形 BEFC 是矩形，
14、 EF BC10 米，11 BE20 米，斜坡 AB 的坡度 i12.5， AE2.5BE50 米， CF20 米，斜坡 CD 的坡角为 30， DF 20 35 米，CFtan30 3 AD AE EF DF50103595 米答：坝底 AD 的长度约为 95 米第 8 题解图9. 解：如解图，过点 C 作 CH AD，垂足为 H，设 AH x km.第 9 题解图在 Rt ACH 中， A37， CH AHtan37 xtan37，在 Rt CEH 中， CEH45， EH CH xtan37， CH AD， BD AD， CH BD， ，AHHD ACCB又 C 为 AB 的中点， AC
15、 CB， AH HD，即 x xtan375，12 x 20，51 tan37 51 0.75 HE CH20tan37200.7515( km) AE AH HE201535( km)答： E 处距离港口 A 大约 35 km.10. 解：(1)如解图，过点 A 作 AD l 于点 D，过点 B 作 BE l 于点 E，延长 AB 与直线l 相交于点 F，第 10 题解图则 BCE906030， ACD903060， ACB90， AB36 24 km，BC12 km，4060sin BAC ，BCAB 1224 12 BAC30，则 ABC60， EBF60， EBF EBC， BF BC
16、12 km，则 t (小时)20(分钟)1236 13答：轮船照此速度与航向航行，上午 1100 能到达海岸线 l；(2)由(1)可知， BC BF， BE CF， ME EC BCsin6012 6 km，32 3 CF CE EF12 20.4 km，3又 CN20 km，MN1.5 km，13 CM CN MN201.521.5 km，20 km20.4 km21.5 km，轮船能停靠在码头11. 15.3 【解析】根据题意得 CD BE10 米， BD CE1.5 米， ACD54， ADCDtan54101.376413.8 米，这棵树的高度 AB AD BD13.81.515.3米
17、12. 解：如解图，延长 FE 交 CB 延长线于点 M，过点 A 作 AG FE 延长线于点 G，第 12 题解图 HE AG， FAG FHE60，在 Rt AFG 中， FG AFsin602.5 2.165，32在 Rt ACB 中， AB BCtan ACB0.6tan750.63.7322.2392，在矩形 ABMG 中， GM AB2.2392， DM FG GM FD2.1652.23921.353.05423.05(米)答：篮框 D 到地面的距离约为 3.05 米13. 解：如解图，设平移后的点为 D，过 D 作 DE AC 交 AC 的延长线于点 E，过 D作 DG AC 交 AC 的延长线于点 G.14第 13 题解图在 Rt CDE 中， CD12 米， DCE 60， CE CDcos 6 米，DE CDsin 6 米，3 DE AC， DG AC， DE DG ， DD AG，四边形 DEGD 是矩形， DG DE6 米，3 DCG 39， CG ，D Gtan39 DD EG CG CE 67 米63tan39答：点 D 向后至少要平移 7 米才能保证教学楼的安全
