1、1一元二次方程的代数应用一、选择题1. （2018 四川绵阳，8，3 分） 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的人数为A.9 人 B.10 人 C.11 人 D.12 人【答案】C.【解析】解：设这次参加酒会的人数为 x 人，根据题意可得 52)1(x，解得 x1=11， x2= -10（舍去）.故选C.【知识点】一元二次方程的应用1. （2018 江苏省宿迁市，8，3） 在平面直角坐标系中，过点（1，2）作直线 l若直线 l 与两坐标轴围成的面积为 4，则满足条件的直线 l 的条数是（ ）A5 B4 C3 D2【答案】C【思路分析】设直线 l 的解析式为 y
2、 kx b， l 过点（1，2） ，2 k b， b2 k y kx2 k与 x轴的交点为（ k2，0） ，与 y 轴的交点为（0，2 k） 与坐标轴围成的面积 S 1丨丨 丨丨 丨 2 k 丨8解得 k12， k264 ， k364 2，故选 C【知识点】一次函数，一元二次方程2. （2018 山东省泰安市，10，3）一元二次方程 (1)325xx根的情况是（ ）A无实数根 B有一个正根，一个负根C有两个正根，且都小于 3 D有两个正根，且有一根大于 3【答案】D【解析】一是可以利用一元二次方程的求根公式进行计算，再根据结果进行各项判断；二是可以利用一元二次方程与二次函数的图象关系进行判断。
3、2解法一：整理得： 24+0x，解得： 12=+xx ； ，故选 D.解法二：设 12()3;5yy ，画出草图（如右图）：二次函数与一次函数的交点所对应的横坐标即为方程的根，故选 D【知识点】一元二次方程的解法；二次函数与一元二次方程的关系.二、填空题1. （2018 山东省日照市，14，4 分）为创建“国家生态园林城市”某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为 1 200 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 40 米.设绿地宽为 x 米，根据题意，可列方程为 . 【答案】 x(x+40)=1 200【解析】设绿地宽为 x 米，则绿地长为（ x+40）米. 根据矩形的面积公式，可列方程为 x
4、(x+40)=1 200.【知识点】一元二次方程的应用2. （2018 贵州安顺，T14，F4）若 2(3)16xmx是关于 x 的完全平方式，则 m=_.【答案】7 或-1【解析】 2(3)16xmx是关于 x 的完全平方式， （m-3）=16.解得 m=7 或-1.【知识点】完全平方式的特点，解一元二次方程.33. （2018 四川自贡，15，4 分）若函数 2yxm的图象与 x轴有且只有一个交点，则 m的值为 . 【答案】1【解析】函数 mxy2的图象与 x轴有且只有一个交点，一元二次方程 02mx有两个相等的实根，即 04)(142， 1.【知识点】函数与方程，一元二次方程根与系数的关
5、系三、解答题1. （2018 四川省南充市，第 20 题，8 分）已知关于 x的一元二次方程22()()0xmx.（1）求证：方程有两个不相等的实数根.（2）如果方程的两实数根为 1x， 2，且210x，求 的值.【思路分析】(1)根据题意，利用根的判别式公式可得代数式，整理化简即可.(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，用含 m 的式子表示出 x1+x2和 x1x2的值，再代入210x，化简整理即可.【解题过程】解：(1)根据题意，得： =(2m2) 24(m 22m)40， -3 分方程有两个不相等第实数根. -4 分(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：x1+x2=2m2， x1x
6、2=m22 m， -5 分 120， 12120x. -6 分(2 m2) 22( m22 m)=10.化简，得 m22 m3=0，解得： m1=3， m2=1. m 的值为 3 或1. -8 分【知识点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数第关系；完全平方公式42. （2018重庆 B 卷，23，10）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设该县政府计划：2018 年前 5 个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计 50 个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的 4 倍（1）按计划，2018 年前 5 个月至少要修建多少个沼气池？（2）到 2018
7、年 5 月底前，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金 78 万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值据核算，前 5 个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为 12为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后 7 个月，在前 5 个月花费资金的基础上增加投入 10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设经测算：从今年 6 月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018 年前 5 个月的基础上分别增加 a%，5 a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在 2018 年前 5 个月的基础上分别增加 5a%，8 a%求 a 的值【思路分析】 （1）根据“沼气池的个数
8、不低于垃圾集中处理点个数的 4 倍”列不等式，并求不等式的最小整数解即可；（2）先求出到 2018 年 5 月底前，该县修建的沼气池 40 个，修建垃圾集中处理点 10 个；再求出前 5个月修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用；最后根据题意，列出关于 a 的一元二次方程，解方程即可求出 a 的值【解题过程】23解：（1）设 2018 年前 5 个月要修建 x 个沼气池，则修建垃圾集中处理点(50 x)个，根据题意，得x4(50 x)，解得 x40答：按计划，2018 年前 5 个月至少要修建 40 个沼气池（2）由题意可知，到 2018 年 5 月底前，该县修建的沼气池 40 个，修建垃圾
9、集中处理点 10 个，若令修建的沼气池每个 y 元，则修建的垃圾集中处理点的每个 2y 元，从而由题意得 40y102 y78，解得 y1.3，即到2018 年 5 月底前，修建的每个沼气池与垃圾集中处理点的费用分别为 1.3 万元和 2.6 万元根据题意，得 40(15 a%)1.3(1 a%)10(18 a%)2.6(15 a%)78(110 a%)令 a% t，则 52(15 t)(1 t)26(18 t)(15 t)78(110 t)，整理，得10t2 t0，解得 t10.1， t20（不合题意，舍去） ，从而 a%0.1， a10答： a 的值为 10【知识点】一元一次不等式的应用
10、一元二次方程的应用3. （2018 江苏省盐城市，23，10 分） 一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为_件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？5【思路分析】 （1）由题意得，20+2326，所以若降价 3 元，则平均每天销售数量为 26 件； （2）本题中的相等关系：每天每件的盈利每天的销量每天销售利润【解题过程】解：（1）26；（2）设当每件商
11、品降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1200 元由题意，得（40 x） （202 x）1200整理，得 x 230 x2000（ x10） （ x20）0x110， x220又每件盈利不少于 25 元， x20不合题意舍去答：当每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元【知识点】一元二次方程的应用4. （2018 四川省宜宾市，6，3 分）某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业。据统计，该市 2017 年“竹文化”旅游收入约为 2 亿元。预计 2019“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿元，据此估计该市 2018 年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率
12、约为（ ）A.2% B.4.4% C.20% D.44%【答案】C【解析】设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x，根据题意得：2（1+x） 2=2.88，解得：x 1=0.2=20%，x 2=-2.2（不合题意，舍去） ，故选择 C.【知识点】一元二次方程的实际应用1. （2018重庆 A 卷，23，10）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造（1）原计划今年 1 至 5 月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 50 千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的 4 倍，那么，原计划今年 1 至 5 月，道路硬化的里程数至少是多少
13、千米？（2）到今年 5 月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值2017 年通过政府投入 780 万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 45 千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为 12，且里程数之比为 21为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入经测算：6从今年 6 月起至年底，如果政府经费在 2017 年的基础上增加 10a%（ a0） ，并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在 2017 年的基础上分别增加增加 a%，5 a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年 1 至 5 月的基础上分别增加 5a%，
14、8 a%，求 a 的值【思路分析】 （1）根据“道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的 4 倍”列不等式，并求不等式的最小整数解即可；（2）先求出 2017 年道路硬化和道路拓宽的里程数及每千米的经费，最后根据题意，列出关于 a 的一元二次方程，解方程即可求出 a 的值【解析】23解：（1）设今年 1 至 5 月道路硬化的里程为 x 千米，则道路拓宽的里程为(50 x)千米，根据题意，得x4(50 x)，解得 x40答：今年 1 至 5 月道路硬化的里程为 40 千米（2）2017 年道路硬化和道路拓宽的里程数共 45 千米，且里程数之比为 21，道路硬化为 30 千米，道路拓宽为 15 千
15、米设 2017 年道路硬化每千米的经费为 y 万元，则道路拓宽每千米的经费为 2y 万元，根据题意，得30y152 y780，解得 y13从而 2017 年道路硬化每千米的经费为 13 万元，道路拓宽每千米的经费为 26万元根据题意，得 13(1 a%)40(15 a%)26(15 a%)10(18 a%)780(110 a%)令 a% t，则 520 (15 t)(1 t)260 (18 t)(15 t)780 (110 t)，整理，得10t2 t0，解得 t10.1， t20（不合题意，舍去） ，从而 a%0.1， a10答： a 的值为 10【知识点】一元一次不等式的应用 一元二次方程的
16、应用2. （2018 湖北宜昌，22，10 分）某市创建“绿色发展模范城市” ，针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”( 下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 值都以平均值 n计算，第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q值降低了 12. 经过三年治理，境内长江水质明显改善.(1)求的 n值；(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m,三年来用乙方案治理的工厂7数量共 190 家，求
17、 m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q值比上一年都增加一个相同的数值 a. 在(2) 的情况下， 第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 值与当年因甲方案治理降低的 Q值相等.第三年，用甲方案使 Q值降低了 39.5.求第一年用甲方案治理降低的 值及 a的值.【思路分析】(1)平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数.解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数;(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m,三年来用乙方案治理的
18、工厂数量共 190 家，可得方程 240(1)40()190m，计算出增长率 m；(3)设第一年用甲方案整理降低的 Q值为 x，据题建立二元一次方程组 3029.5xa，解出方程组，写出答案.【解析】解：(1) 4012n0.3n(2) 24(1)40()190m解得： 127,（舍去）第二年用乙方案治理的工厂数量为 40(1)(150%)6m（家）(3)设第一年用甲方案整理降低的 Q值为 x，第二年 Q值因乙方案治理降低了 10.30n，由题得： 329.5xa0.， . Q 值为 20.5， a的值为 9.5.8【知识点】平均数，增长率，用二元一次方程组解决问题.3. （2018 山东德州
19、，23，12 分）为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为 30 万元,经过市场调研发现,每台售价为 40 万元时,年销售量为 600 台;每台售价为 45 万元时,年销售量为 550 台.假定该设备的年销售量 y(单位:台)和销售单价 x(单位:万元)成一次函数关系.(1)求年销售量 y与销售单价 x的函数关系式;(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于 70 万元,如果该公司想获得 10000 万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元? 【思路分析】(1)将有序实数对（40，600） 、 （45，550）代入 0ykxb求解
20、即可；(2)根据相等关系“年总利润=每台利润年销售量”列方程计算即可.【解析】解：（1）此设备的年销售量 y（单位：台）和销售单价 x（单位：万元）成一次函数关系.可设 0ykxb，将数据代入可得：4065解得： 10k，一次函数关系式是 yx；（2）此设备的销售单价是 万元，成本价是 30 方元，该设备的单件利润为 30万元，由题意得： 11xx，解得： 12=80,5，销售单价不得高于 70 万元，即 70x， 1x 不合题意，故舍去， 5 答：该公可若想获得 10000 万元的年利润，此设备的销售单价应是 50 万元【知识点】待定系数法，一元二次方程的应用4. （2018新疆维吾尔、生产
21、建设兵团，17，8）先化简，再求值： 21()1xx，其中 x 是方程x23 x0 的根9【思路分析】 （1）按分式的运算法则和运算顺序进行计算即可，注意结果的化简；（2）解一元二次方程x23 x0；（3）将方程的根代入化简后的式子进行计算，注意要使分式有意义 【解析】解：原式 1()xx (1)x x1， x 是方程 x23 x0 的根， x10， x23当 x0 时，原式无意义；当 x3 时，原式312【知识点】分式的运算；一元二次方程的解法；分式有意义的条件5. （2018 贵州安顺，T23，F12）某地 2015 年为做好“精准扶贫”，投入资金 1280 万元用于异地安置，并规划投入资
22、金 逐年增加，2017 年在 2015 年的基础上增加投入资金 1600 万元.（1）从 2015 年到 2017 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在 2017 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于 500 万元用于优先 搬迁租房奖励，规定前 1000 户（含第 1000 户）每户每天奖励 8 元，1000 户以后每户每天 奖励 5 元，按租房 400 天计算，求 2017 年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.【思路分析】(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x，根据 2015 年投入的资金（1+平均增长率）=2017 年投入的资金，列出方程求解即可
23、;(2)设 2017 年该地有 a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据前 1000 户活的的奖励总数+1000 户以后获得的奖励总和5000000，列出不等式求解即可.【解题过程】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x，根据题意得 1280（1+x）=1280+1600，解得 x=0.5 或 x=-2.5（舍）.答：从 2015 年到 2017 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为 50%.（2）设 2017 年该地有 a 户享受到优先搬迁租房奖励，81000400=32000005000000， a1000.根据题意得 10008400+（a-1000）54005000000，
24、解得 a1900.答：2017 年该地至少有 1900 户享受到优先搬迁租房奖励.10【知识点】一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用.6.（2018 湖北省孝感市，21，9 分）已知关于 x的一元二次方程 (3)2(1)xp.（1）试证明：无论 p取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根 1x， 2满足 22113xp，求 的值.【思路分析】 （1）将原方程化成一般形式，利用判别式 0 即可证明无论 p取何值此方程总有两个实数根.（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得出 125x， 2126x，再结合2113xxp即可求出 p 的值.【解题过程】 （1）证明： (3)2(1)x， 22560xp. 22()4)225441pp= 2（ ）+0.无论 p取何值此方程总有两个实数根.（2）解：由（1）知：原方程可化为 22560xp， 125x， 2126xp.又 1213， 2121()xxp. 2536)3， 2251831p. p， .【知识点】一元二次方程的应用；判别式法；一元二次方程根与系数的关系.1
