1、1知识点 18 二次函数概念、性质和图象一、选择题1.（2018 山东滨州，10，3 分）如图，若二次函数2yaxbc（ a0）图象的对称轴为 x1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、点 B（1，0）则二次函数的最大值为 a b c； a b c0； b4 ac0；当 y0 时，1 x3其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4第 10 题图【答案】B【解析】由图像可知，当 x1 时，函数值取到最大值，最大值为： a b c,故正确；因为抛物线经过点B（1,0） ，所以当 x1 时， y a b c0,故错误；因为该函数图象与 x 轴有两个交点 A、 B，所以b4 ac0，故错误；
2、因为点 A 与点 B 关于直线 x1 对称，所以 A(3，0)，根据图像可知，当 y0 时，1 x3，故正确；故选 B【知识点】数形结合、二次函数的图像和性质2. （2018 四川泸州，10 题，3 分）已知二次函数 223yax（其中 x是自变量） ，当 2x时，y随 x的增大而增大，且 21x时， 的最大值为 9，则 的值为（ ）A.1或 2 B. 或 C. 2 D. 1【答案】D【解析】原函数可化为 y=a(x+1)2+3a2-a+3，对称轴为 x=-1，当 2x时， y随 x的增大而增大，所以 a0，抛物线开口向上，因为 1x时， y的最大值为 9，结合对称轴及增减性可得，当 x=1
3、时，y=9，带入可得，a1=1，a 2=-2，又因为 a0，所以 a=1【知识点】二次函数，增减性23. （2018 甘肃白银，10，3）如图是二次函数 2(,yaxbc是常数， 0)a图像的一部分，与 x轴的交点 A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是 =1，对于下列说法： b， 20b，ac， ()abm为 常 数 ） ， 当 13-,bab 正确。当 x=-1 时， yc=3a，由对称轴为 x=1 和抛物线过 x轴上的 A 点，A 点在 2 与 3 之间，则抛物线与 轴的另一个交点则在 -1 到 0 之间，所以当 x= -1 时，抛物线 30yac。所以错误。 当 x=1 时，抛物
4、线 yabc,此点为抛物线的顶点，即抛物线的最高点，也是抛物线的最大值。当m时， 2()mbc，此时有： ()abcabc，即 ()a，所以正确。抛物线过 x轴上的 A 点，A 点在 2 与 3 之间，则抛物线与 x轴的另一个交点则在-1 到 0 之间，由图知，当23时，有一部分图像位于 x轴下方，说明此时 0(a+c)2；点（3， y1） ， （1， y2）都在抛物线上，则有 y1y2.其中正确的结论有（ ）A.4 个 B.3 个 C.2 个 D. 1 个 【答案】 B【解析】观察图象知抛物线开口向上，所以 a0，对称轴在 x 轴负半轴，所以 a， b 同号，所以 b0，抛物线与y 轴交于负
5、半轴，所以 c1，所以2ba2a，2 a-b0， a+c b，因为 b(a+c)2不一定成立，故错误；设抛物线与 x 轴两交点横坐标分别为 x1， x2且 x1在 x2左边，因为 x1-31-x2，所以 y1y2，正确，所以正确的个数是 3，故选 B.【知识点】二次函数图象 数形结合 2511. （2018 广东广州，11，3 分）已知二次函数 y x2，当 x0 时， y 随 x 的增大而_（填“增大”或“减小” ） 【答案】增大【解析】二次函数 y x2的图像为抛物线，开口向上，对称轴为 y 轴，在对称轴的右侧（ x0） ， y 随 x 的增大而增大【知识点】二次函数的图像和性质12. （
6、2018 广东省深圳市，11，3 分）二次函数 2(0)yaxbc的图像如图所示，下列结论正确是( )A 0abc B 20ab C 30ac D 230axbc有两个不相等的实数根【答案】B【思路分析】根据二次函数图象开口判断 a 的符号，再由“左同右异”判断 b 的符号，再根据抛物线与 y 轴的交点位置判断 c 的符号，根据抛物线对称轴判断 2a b 的符号，当 x1 时，y a b c a2 a c3 a c，故可根据 x1 时， y 值的符号判断 a c 的符号；由当 y3 时对应的 x 值的个数可以判断出 0xb的实数根情况【解析】由二次函数图象开口向下可知， a0，由“左同右异”可
7、知 b0，由图象与 y 轴交于正半轴可知c0，故 abc0，故 A 选项错误；由图象可知，对称轴为：直线 x1，即 12a，则 b2 a，故2ab0，故 B 选项正确；当 x1 时， y a b c a2 a c3 a c，由图象与 x 轴交于（1，0）可知，当 x1 时， y0，即 3a c0，故 C 选项错误；当 y3 时， 23b，即 230c，由图象可知，当 y3 时 x1，故 20有两个相等的实数根错误，故 D 选项错误；故选 B【知识点】二次函数；对称轴；开口方向；点的坐标2613. （2018 贵州安顺，T10，F3）已知二次函数20()axbca的图象如图，分析下列四个结论：
8、abc0; 3a + c 0； (a + c)2 0，故正确；当 x=-2 时，y0，即 4a-2b+c0（1） ，当 x=1 时，y0，即 a+b+c0（2） ， （1）+（2）2，得6a+3c0，a0，a+（2a+c）0，故错误；x=1 时，y=a+b+c0，x=-1 时，y=a-b+c0，（a+b+c）（a-b+c）=（a+c）-b0.（a+c）b，故正确.综上所述，正确的结论有 2 个，故选 B.【知识点】二次函数图象与系数的关系.14. （2018 四川雅安，11 题，3 分）已知函数 y= x，则此函数的图象大致是A B C D【答案】A【解析】由解析式可知，x0，y0，故排除 B
9、、C 两项，因为 y= x，所以，随着 x 的增大，y 也在增大，但27是变大的速度会变慢，因此，选 A【知识点】函数的取值范围，增减性15. （2018 湖北荆门，12，3 分）二次函数 20yaxbc的大致图象如图所示，顶点坐标为2,9a，下列结论： 420abc； 5；若方程 51ax有两个根 1x和 2，且 1x，则 15x；若方程 21xc有四个根，则这四个根的和为 4.其中正确的结论有（ ）A 1个 B 2个 C.3个 D 4个【答案】B.【解析】二次函数 20yaxbc的顶点坐标为 2,9a， abc-942，解得 a-c54.抛物线的开口向上， a0，284 a+2b+c=4a
10、+8a-5a=7a0，故正确；5 a-b+c=5a-4a-5a=-4a0，故错误； y=ax2+bx+c=ax2+4ax-5c=a(x2+4x-5)=a(x+5)(x-1)，二次函数与 x 轴的交点坐标为（-5，0）和（1，0） ，若方程 a(x+5)(x-1)=-1 有两个根 1x和 2，且 12x，则 125x，故正确；二次函数的对称轴为直线 x=-2，若方程 21axbc有四个根，则这四个根的和为-8.故错误.故选 B.【知识点】二次函数的图象与性质，二次函数与方程16.（2018 广西玉林，12 题，3 分）如图，一段抛物线 y=-x2+4(-2x2)为 C1，与 x 轴交于 A0、A
11、 1两点，顶点为 D1；将 C1绕点 A1旋转 180得到 C2，顶点为 D2；C 1与 C2组成一个新的图象，垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)，与线段 D1D2交于点 P3(x3,y3)，设 x1,x2,x3均为正数，t=x 1+x2+x3，则 t 的取值范围是A.6t8 B.6t8 C.10t12 D.10t12【答案】C【解析】当-2x2 时，表达式为 y=-x2+4，其对称轴为 x=0，所以此时 x1+x2=0，但 x1、x 2中必有一个负数，因此这种情况不考虑；由旋转的特点和方式可知，当 2x6 时，表达式为 y=(x-4)2-4，其对
12、称轴为 x=4，所以此时 x1+x2=8，又可求得 D1(0,4)，A 1(2,0)，D 2(4,-4)，所以当 2x6 时，2x 34，当直线 l 为 x 轴时，与 C1C2有 3 个公共点，与题意不符，故舍去，因此当 2x6 时，x 1+x2=8，2x 34，故 10t12，选 C 【知识点】二次函数，对称性2917. （2018 湖南省永州市，9，4）在同一平面直角坐标系中，反比例函数 0byx与 二次函数y=ax2+bx(a0)的图象大致是 （ ） xyOxyOxyOxyOA B C. D【答案】D【解析】A、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上，则 a0，对称轴位于 y 轴的右侧，
13、则 a、b 异号，即 b0所以反比例函数 0byx的图象位于第二、四象限，故本选项错误；B、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上，则a0，对称轴位于 y 轴的左侧，则 a、b 同号，即 b0所以反比例函数 0x的图象位于第一、三象限，故本选项错误；C、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下，则 a0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b 异号，即b0所以反比例函数 0x的图象位于第一、三象限，故本选项错误；D、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下，则 a0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b 异号，即 b0所以反比例函数 0x的图象位于第一、三象限，故本选项正确因此，本题选 D【知识点】
14、反比例函数、 二次函数的图象与性质18. （2018 四川攀枝花，6，3）抛物线 22xy的顶点坐标为 ( )A.(1.1) B.(-1,1) C.(1,3) D.(-1,3)【答案】A【解析】化为顶点式得， 1222xxy，所以抛物线的顶点坐标为 1,，所以选 A30【知识点】抛物线的顶点19.（2018 湖北省孝感市，9，3 分）如图，在 ABC中， 90， 3ABcm， 6Cc，动点 P从点A开始沿 B向点以 以 1/cms的速度移动，动点 Q从点 开始沿 向点 以 2/s的速度移动.若 ，Q两点分别从 ， 两点同时出发， P点到达 点运动停止，则 P的面积 S随出发时间 t的函数关系图象大致是（ ）A B C D 【答案】C【解析】由题意可知：PB=3-t，BQ=2t所以 PBQS 12PBBQ （3t）2t 2t3t由二次函数图象的性质可知， PBQ的面积 S随出发时间 t的函数关系图象大致是开口向下的抛物线故选 C【知识点】二次函数的图象；动点问题的图象.20. （2018 四川凉山州，12，4 分）二次函数 20yaxbc的部分图象如图所示，
